HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 DHSP HÀ NỘI
===================
Câu 1 1 Tự làm.
2 Ta có y’ = 6x2 – 6(2m+1)x + 6m(m+1) y’ = 0 khi x1 =m hoặc x2 = m+1 Do x1 x2 với mọi m nên hàm số luôn có cực đại, cực tiểu Gọi A(x1;y1), B(x2;y2) là các điểm cực trị thì
y1 = f(x1)= 2m3 +3m2 + 1; y2 = f(x2) = 2m3 + 3m2 AB = 2 không đổi (đpcm!)
Câu 2.1 Giải hệ: Điều kiện: y0; x – 2y 0; x + x 2y 0
Pt 2 x 2y 6y 0
y
x
22 2 6
y
y x y
y x
= 0 ( chia cả hai vế cho y)
y
y
x 2 = 3 hoặc
y
y
x 2 = - 2
Với
y
y
x 2
= 3
y y x y
2 9 0
2 thay vào pt(2) ta được nghiệm x =
9
24
,y =
9 4
Với
y
y
x 2
= -2
y y x y
2 4 0
2 thay vào pt(2) ta được nghiệm: x =12, y = - 2
Vậy hệ có hai nghiệm(x;y) = (12;-2),(
9
4
; 3
8
)
2 Giải phương trình lượng giác:
sin
cos sin
5 ) sin 2 1 ( 2 cos sin 4
cos
2 2
4
x
x x
x x
x x
5 +
x x
x
2 3
3
sin
1 2 sin
cos
= 0 cot3x – 2cot2x + 3 = 0 (cotx + 1)(cot2x – 3cot x + 3) = 0
cotx = -1 ( Vì cot2x – cotx + 3> 0) x = k ,kZ
4
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm: x = k ,kZ
4
Câu 3.1.Tính tích phân: Ta có
' 2 sin
1
x =
x
x
3
sin
cos 2
I =
2
4
sin
1 ( 2
1
2 4
sin
1 2
x
x
4 2
4
2
1 ) 2 2
( 2
1 sin
2
x x
dx
2
1
2 Tính thể tích khối chóp: Hạ SH BC SH (ABC) ( vì: (SBC) (ABC) )
Hạ HM AB, HN AC thì SMH = SNH = SHM = SHN HM = HN
H là trung điểm của BC ( vì tam giác ABC đều) HM =
4
3 2
a h
SH = HM.tan =
4
3
a
tan Vậy thể tích khối chóp là: VS.ABC =
3
1
.SH.SABC =
16
tan 3
a
Câu 4 1.Tìm nghiệm phức:
Ta có ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16 Vậy phương trình cho hai nghiệm là:
i
i i
i
2
5 2
3 2
) 1 )(
4 ( 1
4 ) 1 ( 2
4 ) 2 ( 2
i
i i
i
2
1 2
1 2
) 1 )(
( 1 ) 1 ( 2
4 ) 2 ( 2
2.Chứng minh BĐT:
Ta có:
2 2
) ( 2
) ( 2
2 )
x y x
y x x y x
xy x y
x
xy y x x y x
xy
(1)( vì x,y>0)
=============================================
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 DHSP HÀ NỘI
===================
Tương tự:
2
z y
yz
(2),
2
x z
zx
(3) Cộng từng vế (1),(2),(3) suy ra:
0 2 2
2
2 2
2
x z
zx z z y
yz y y
x
xy
x
.Đẳng thức xảy ra khi x = y = z (đpcm!)
Câu 5 1 Xác định tọa độ các đỉnh:
Đường thẳng AB đi qua M(2;-3) nên có phương trình: a(x – 2) + b(y + 3) = 0, ( a2 + b2 0)
Do tam giác ABC vuông cân tại A nên: 0 2 2
50
7 45
cos 2
1
b a
b a
12a2 -7ab -12b2 = 0
b a
b a
3 4
4 3
Với: 3a = 4b,Chọn a = 4, b = 3 ta được d1: 4x + 3y + 1 = 0
Với: 4a = - 3b, chọn a =3, b = - 4 ta được d2: 3x – 4y – 18 = 0
+)Nếu lấy AB là d1: 4x + 3y + 1 = 0 thì AC// d2 nên AC là:3(x -7) –4(y –7) = 0 3x –4y+7 = 0
Hệ phương trình tọa độ A:
0 7 4 3
0 1 3 4
y x y x
A(-1;1)
Hệ phương trình tọa độ B:
0 31 7
0 1 3 4
y x
y x
B( -4;5)
Ta có: MA ( 3 ; 4 ),MB ( 6 ; 8 ) MB 2MA M nằm ngoài đoạn AB ( Thỏa mãn)
Hệ phương trình tọa độ C:
0 31 7
0 7 4 3
y x
y x
C(3;4)
+) Nếu lấy AB là d2 sẽ không thỏa mãn
Vậy A(-1;1), B(-4;5) và C(3;4)
2 a) Đường thẳng đi qua M(0;-7;4) và có VTCP u1 ( 1 ; 2 ; 0 ).
Đường thẳng ’ đi qua N(0;2;6) có VTCP u2= ( ;11 31
11 1
1
; 1 1
) = (2;2;4)
Ta có [u1, u2 ] = (8;-4;-2) và MN ( 0 ; 9 ; 2 ) [u1, u2 ].MN = 0 – 36 – 4 = - 40 0
Vậy , ’ chéo nhau
b) Đường vuông góc chung d của , ’ có VTCP: u=(4;-2;-1) ( = ½.[u1, u2 ])
Gọi HK là đoạn đường vuông góc chung của , ’ với H ,K ’
Ta có: H=( t; -7+2t;4), K(s;2+s;6+2s) HK ( s – t; 9 + s – 2t; 2 + 2s) cũng là VTCP của d Suy ra :
1
2 2 2
2 9
t s t s s
s =
21
11
, t =
7
23
7
3
; 7
23
Vậy phương trình tham số đường vuông góc chung là:
t z
t y
t x
4
2 7
4 7
23
=============================================