Vật lý đại cương A1 pdf

Động lực học chất điểm Động lực học là một phần của cơ học, nghiên cứu chuyển động của vật trong mối liên hệ với các vật khác, nghĩa là có tính đến nguyên nhân gây ra sự thay đổi trong

VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A1

(Bài giảng tại Đại học Sư phạm kỹ thuật)

LƯU HÀNH NỘI BỘ

Tp HCM – 2011

Phần 1 CƠ HỌC

Cơ học là một phần của vật lý học, nghiên cứu dạng chuyển động cơ học của vật chất

Chương 1 Động học chất điểm Động học là một phần của cơ học, nghiên cứu những đặc trưng của chuyển động và những dạng chuyển động khác nhau của vật thể vĩ mô 1.1 Những khái niệm mở đầu

1.1.1 Chuyển động và hệ quy chiếu

Chuyển động của một vật là sự chuyển dời vị trí của vật đó đối với các vật khác trong không gian, theo thời gian

Để nhận biết vật có chuyển động hay không, ta phải so sánh vị trí của nó với một vật bất kỳ được coi là đứng yên và được chọn làm chuẩn Vật được

chọn này gọi là vật quy chiếu Để xác định vị trí của vật trong không gian người ta gắn với vật quy chiếu này một hệ tọa độ và để xác định được thời gian trôi qua, người ta gắn với vật quy chiếu một đồng hồ đo thời gian

Tập hợp hệ tọa độ và đồng hồ gắn với vật quy chiếu được gọi là hệ quy chiếu

Chuyển động có tính tương đối Một vật đứng yên hay chuyển động hoàn toàn phụ thuộc vào hệ quy chiếu mà ta đã chọn

1.1.2 Chất điểm và hệ chất điểm

Chất điểm là một vật có kích thước nhỏ không đáng kể so với những khoảng cách, kích thước mà ta đang khảo sát Khi xem xét như vậy, ta coi

toàn bộ khối lượng của vật tập trung vào một điểm Việc coi một vật có phải

là chất điểm hay không, phụ thuộc vào điều kiện bài toán mà ta đang xem xét

Một tập hợp chất điểm được gọi là một hệ chất điểm

1.1.3 Bán kính véctơ

Chọn một hệ quy chiếu và ký hiệu gốc

của hệ tọa độ trong hệ quy chiếu đó là 0

Xét chuyển động của một vật (chất điểm)

trong hệ quy chiếu đó Tại một thời điểm

nào đó, chất điểm đang ở tại một vị trí,

được ký hiệu là M Vị trí M của chất điểm

có thể được biểu diễn một cách đơn trị bởi

một véctơ, được kẻ từ gốc tọa độ 0 đến

điểm M Véctơ này được gọi là bán kính

véctơ và ký hiệu là r Rõ ràng, hai điểm

phân biệt không thể có cùng một bán kính

Có thể biểu diễn bán kính véctơ này trong một hệ tọa độ thông dụng nhất

là hệ tọa độ Đềcác Hệ tọa độ này có gốc tọa độ tại điểm 0 và gồm có 3 trục 0x, 0y, 0z vuông góc với nhau từng đôi một, hợp thành một tam diện thuận

Hệ tọa độ Đềcác này được ký hiệu là 0xyz

Trong hệ tọa độ, vị trí của chất điểm M tại thời điểm nào đó được đặc trưng bởi 3 tọa độ x, y, z của điểm M (là hình chiếu của đoạn thẳng 0M lên 3 trục 0x, 0y, 0z)

Ký hiệu i, j, k là những véctơ đơn vị hướng theo các trục 0x, 0y, 0z tương

ứng, ta có thể biểu diễn

r = x i + y j + z k 1.1.4 Phương trình chuyển động của chất điểm

Khi chất điểm chuyển động, tọa độ của nó thay đổi theo thời gian Như vậy, trong trường hợp tổng quát, chuyển động của chất điểm được xác định bởi 3 phương trình

1.1.5 Quỹ đạo chuyển động của chất điểm

Quỹ đạo chuyển động của một chất điểm là một đường tạo bởi tập hợp tất cả các vị trí của chất điểm đó trong không gian trong suốt quá trình chuyển động

Quỹ đạo của chuyển động có thể thu được từ các phương trình chuyển động

y = y(t) = y(x) Phương trình, biểu diễn mối liên hệ giữa các tọa độ x và y của quỹ đạo chất

điểm, được gọi là phương trình quỹ đạo

Tuỳ thuộc vào dạng của quỹ đạo mà chuyển động được gọi là chuyển động thẳng hay là chuyển động cong

1.1.6 Hoành độ cong và độ dài quãng đường

Xét chuyển động của một chất điểm dọc theo một quỹ đạo bất kỳ Chọn một điểm A nào đó cố định trên quỹ đạo làm gốc, chọn một chiều nào đó của quỹ đạo làm chiều dương và chọn thời điểm ban đầu (t = 0) là thời điểm khi chất điểm ở vị trí A Khi đó, tại mỗi thời điểm t, vị trí M của chất điểm sẽ

được xác định bởi cung AM, ký hiệu là s Ta gọi s là hoành độ cong của M

Khi M chuyển động s là hàm của thời gian

s = s (t) Nếu chiều dương được chọn là chiều AM, thì s khi đó có giá trị dương và đoạn quỹ đạo AM được gọi là độ dài quãng đường

Độ dài của đoạn quỹ đạo AM, mà

chất điểm đi được trong khoảng thời

gian t, được gọi là độ dài quãng

đường Độ dài quãng đường là một đại

lượng dương, ký hiệu là S, và là một hàm

vô hướng của thời gian S = S(t)

Trong hệ SI, độ dài được đo bằng đơn

Xét một chất điểm đang chuyển

động trong một hệ quy chiếu nào đó

Tại thời điểm t1 = t chất điểm ở tại

vị trí có bán kính véctơ r1, tại thời

điểm t2 = t+t chất điểm ở tại vị trí

có bán kính véctơ r2 Sau khoảng

thời gian t bán kính véctơ thay đổi

một lượng bằng r = r2 - r1 r

được gọi là véctơ dịch chuyển của

chất điểm sau khoảng thời gian t

Tỉ số giữa véctơ dịch chuyển r và khoảng thời gian t được gọi là véctơ vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian t Véctơ

vận tốc trung bình được ký hiệu là Vtb

Như vậy, véctơ vận tốc tức thời của chất điểm bằng đạo hàm bậc nhất

theo thời gian của bán kính véctơ của chất điểm

Véctơ vận tốc có phương trùng với phương của tiếp tuyến quỹ đạo chuyển động của chất điểm tại điểm r1, có chiều trùng với chiều của chuyển động

Rõ ràng, khi t  0, r trùng với độ dài quãng đường S Do đó







 ) ( ) (

Ta được

V = Vx i + Vy j + Vz k

Và V = 2 2 2

z y

Xét chuyển động của một chất điểm Tại thời điểm t1 = t chất điểm ở vị trí

A, vận tốc của nó bằng V1 Tại thời điểm t2 = t + t chất điểm ở vị trí B và có vận tốc bằng V2 Vận tốc V2 khác V1 cả về độ lớn lẫn về phương Độ biến

thiên của vận tốc sau thời gian t bằng

b/ Gia tốc tức thời

Giới hạn của tỉ số giữa độ biến thiên của vận tốc V và khoảng thời gian t khi t  0 được gọi là gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t Gia tốc tức thời được ký hiệu là a

Như vậy, gia tốc tức thời là một đại lượng véctơ, bằng đạo hàm bậc

nhất theo thời gian của véctơ vận tốc

c/ Biểu thức giải tích của véctơ gia tốc

x a a

a  

Trong hệ SI, đơn vị đo gia tốc là m/s2

d/ Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến

Vận tốc chuyển động của một chất điểm có thể thay đổi theo độ lớn và theo phương Xét một chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo nào đó Tại

thời điểm t chất điểm ở vị trí A, vận tốc của nó bằng V Ký hiệu  là véctơ đơn

vị trên tiếp tuyến của quỹ đạo, ta có thể biểu diễn

+ Gia tốc tiếp tuyến

Thành phần của gia tốc có phương trùng với phương của tiếp tuyến quỹ đạo được gọi là gia tốc tiếp tuyến Gia tốc tiếp tuyến được ký hiệu là at

t

a =

dt dV

Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của véctơ vận tốc

Giả sử, tại thời điểm t chất điểm ở vị trí A, véctơ đơn vị trên tiếp tuyến của

quỹ đạo là 1 Sau một khoảng thời gian t chất điểm chuyển động đến vị trí

B, véctơ đơn vị trên tiếp tuyến của quỹ đạo là 2 Khi đó

 = 2 - 1 Tam giác dựng trên ba véctơ 1 , 2 và  là tam giác cân Khi t  0, góc

ở đỉnh  0 và   vuông góc với 1 Khi đó

Xét khoảng thời gian đủ nhỏ Khi đó, có

thể coi đoạn quỹ đạo AB trùng với cung tròn

tâm O bán kính R (cung của đường tròn mật

tiếp) Các véctơ 1 và 2 tạo thành một góc

an = V2/R

Ký hiệu pháp tuyến của quỹ đạo là n, có phương vuông góc với tiếp tuyến,

có chiều hướng vào tâm đường cong quỹ đạo, có giá trị bằng đơn vị, ta có thể biểu diễn gia tốc pháp tuyến ở dạng

an =

R

V2

n

Véctơ gia tốc pháp tuyến an có phương vuông góc với véctơ vận tốc có

chiều hướng vào tâm đường cong quỹ đạo và có độ lớn bằng bình phương của vận tốc chia cho bán kính cong của quỹ đạo R

Gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về phương của véctơ vận tốc

Véctơ gia tốc toàn phần khi đó có thể được biểu diễn bằng tổng

1.3 Véctơ vận tốc góc và véctơ gia tốc góc

Khi chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo tròn, chuyển động đó có thể đặc trưng bởi véctơ vận tốc góc và véctơ gia tốc góc

1.3.1 Véctơ vận tốc góc

a/ Vận tốc góc trung bình

Cho rằng chất điểm chuyển động trên đường tròn

bán kính R Chọn một hệ tọa độ mà gốc tọa độ O

trùng với tâm của đường tròn quỹ đạo Giả sử tại

thời điểm t chất điểm ở tại một vị trí nào đó trên

đường tròn, được biểu diễn bởi bán kính véctơ R

Sau một khoảng thời gian t, bán kính véctơ của nó quay một góc 

Khi đó, vận tốc góc trung bình của chuyển động chất điểm trên đường

tròn là tỉ số giữa góc  và khoảng thời gian t Vận tốc góc trung bình

Giữa vận tốc dài V của chất điểm chuyển động trên quỹ đạo tròn và vận tốc góc  của nó có mối liên hệ đơn trị Thật vậy, vì S = R, nên

Do vận tốc dài của chất điểm chuyển động trên quỹ đạo tròn là một đại

lượng véctơ, nên có thể coi vận tốc góc cũng là một đại lượng véctơ

Véctơ vận tốc góc  được coi là nằm trên trục của đường tròn quỹ đạo, có

chiều theo chiều tiến của cái đinh vít khi quay đinh vít theo chiều chuyển động của chất điểm, có độ lớn bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay

Ký hiệu R là bán kính véctơ của chất điểm chuyển động, kẻ từ tâm quỹ

đạo Ta có thể biểu diễn

V = [R]

Giữa gia tốc pháp tuyến và vận tốc góc có mối liên hệ

an = V2/R = (R)2/R = 2R

1.3.2 Véctơ gia tốc góc

Nếu vận tốc góc thay đổi theo thời gian, ta có đại lượng đặc trưng cho sự

biến thiên theo thời gian của véctơ vận tốc góc là véctơ gia tốc góc Giới hạn

của tỉ số giữa độ biến thiên của véctơ vận tốc góc  và khoảng thời gian

t khi t  0 được gọi là véctơ gia tốc góc và được ký hiệu bằng 

O

V

R

Giữa gia tốc tiếp tuyến và gia tốc góc có mối liên hệ

Trong hệ SI, gia tốc góc được đo bằng đơn vị rad/s2

1.4 Một số chuyển động đơn giản của chất điểm

Nếu bắt đầu xét chuyển động từ thời điểm t0 = 0, ta có

x = x0 + V.t

b/ Chuyển động thẳng biến đổi đều

Chuyển động thẳng biến đổi đều là chuyển động thẳng có gia tốc không đổi Trong chuyển động thẳng biến đổi đều ta có a = ax = at = const

Nếu ta bắt đầu xét chuyển động từ thời điểm t0 = 0, thì

V = V0 + at

Vì V =

dt dx

nên ta có dx = Vdt Từ đây ta có

(V0 + V)/2 = S/t = Vtb

1.4.2 Chuyển động cong

Xem xét một chuyển động cong tiêu biểu là chuyển động ném xiên

Chuyển động ném xiên là chuyển động của chất điểm khi nó được ném lên dưới một góc  nào đó so với phương nằm ngang

Giả sử một chất điểm được ném lên với vận tốc V0, theo phương hợp với

điểm ném, trục 0x nằm ngang trong cùng mặt phẳng với véctơ vận tốc, còn trục 0y theo phương thẳng đứng hướng lên trên Bỏ qua sức cản của không khí Trong trường hợp này, chuyển động của chất điểm có thể phân tích thành hai chuyển động đồng thời :

- Chuyển động thẳng đều theo phương nằm ngang, với gia tốc ax = 0 và vận tốc

Chuyển động tròn đều là chuyển động tròn có vận tốc góc không đổi

Trong chuyển động tròn đều, sau một khoảng thời gian t chất điểm quay được

Do chuyển động tròn đều có tính tuần hoàn, nên có thể đặc trưng chuyển

động này bằng các đại lượng chu kỳ và tần số Chu kỳ là thời gian mà chất

điểm quay được một vòng, ký hiệu là T Do một vòng quay tương ứng với

một góc bằng 2, nên vận tốc góc sẽ bằng

 = 2/T Hay

b/ Chuyển động tròn biến đổi đều

Chuyển động tròn biến đổi đều là chuyển động tròn có gia tốc góc không đổi.

d = dt Lấy tích phân hai vế, ta thu được

d = dt Lấy tích phân, ta được

điểm chuyển động với vận tốc góc 

Gọi  là góc tạo bởi bán kính véctơ của

chất điểm, kẻ từ tâm đường tròn và trục

0x của một hệ tọa độ vuông góc nào đó

Khi đó, vị trí M của chất điểm có thể

được xác định bởi hai giá trị

- Khoảng cách từ M đến tâm 0 Giá trị này được ký hiệu là  và bằng

x = R.cos = R.cos(t + 0)

y = R.sin = R.sin(t + 0)

1.5 Phép biến đổi vận tốc và gia tốc

1.5.1 Phép biến đổi vận tốc và gia tốc trong chuyển động tịnh tiến

Cho một hệ quy chiếu 0xyz mà ta quy ước là đứng yên, và hệ quy chiếu 0’x’y’z’, chuyển động thẳng tương đối so với 0xyz

Xét chuyển động của một chất điểm trong cả hai hệ quy chiếu

Xét vị trí của chất điểm tại thời điểm t

nào đó Giả sử, tại thời điểm t chất điểm

ở vị trí M

Ký hiệu bán kính véctơ của điểm M

trong hai hệ tọa độ là r và r’, bán kính

véctơ của gốc tọa độ 0’ là r0, ta có

r = r’ + r0 a/ Quy tắc tổng hợp vận tốc

Lấy đạo hàm theo thời gian biểu thức

1.5.2 Phép biến đổi vận tốc và gia tốc trong hệ quy chiếu chuyển động

quay a/ Phép biến đổi vận tốc và gia tốc trong hai hệ quy chiếu bất kỳ

Ký hiệu hệ quy chiếu đứng yên là K, hệ quy chiếu chuyển động tương đối

so với K là K’ Xét một chất điểm chuyển động Bán kính véctơ của vị trí M

của chất điểm trong hệ quy chiếu K được ký hiệu là r, trong hệ quy chiếu K’

là r’ Ký hiệu bán kính véctơ của gốc tọa độ của hệ quy chiếu K’ là r0 Khi đó

Tiếp tục lấy đạo hàm theo thời gian của biểu thức trên, ta thu được

u - Gia tốc của gốc tọa độ của hệ quy chiếu K’ trong hệ quy chiếu K

Xử lý tương tự như phần vận tốc trên, ta có

Biểu thức này mô tả quy tắc tổng hợp gia tốc trong trường hợp tổng quát

b/ Phép biến đổi vận tốc và gia tốc trong hệ quy chiếu chỉ quay

Trong trường hợp hệ quy chiếu K’ chỉ quay, ta có

V = [r’] + V’

a = [r’] + [[r’]] + 2 [V’] + a’

Chương 2 Động lực học chất điểm Động lực học là một phần của cơ học, nghiên cứu chuyển động của vật trong mối liên hệ với các vật khác, nghĩa là có tính đến nguyên nhân gây

ra sự thay đổi trong chuyển động đó

2.1 Các định luật Newton Các định lý về động lượng Định luật hấp

Xu hướng của vật bảo toàn trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều

được gọi là quán tính Vì vậy, định luật thứ nhất của Newton còn được gọi

là định luật quán tính

+ Hệ quy chiếu quán tính

Định luật thứ nhất của Newton không phải được tuân thủ trong mọi hệ quy chiếu Hệ quy chiếu nào mà định luật này đúng, được gọi là hệ quy chiếu quán tính

Như vậy, hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu mà trong đó một chất

điểm bất kỳ, không chịu tác động từ bên ngoài, thì hoặc đứng yên, hoặc chuyển động thẳng đều

+ Khối lượng

Khi có tác động của bên ngoài, không phải mọi vật thay đổi trạng thái chuyển động (có gia tốc) như nhau Sự thay đổi này còn phụ thuộc vào tính

chất của vật – đó là khối lượng Vậy, khối lượng của vật, một đại lượng vật

lý, là một trong những đặc trưng chủ yếu của vật chất, xác định tính chất quán tính của nó Trong hệ SI, khối lượng được đo bằng đơn vị kilôgam

(kg)

+ Lực

Để mô tả tác động làm thay đổi trạng thái chuyển động, người ta đưa vào khái niệm lực Dưới tác dụng của lực, vật hoặc thay đổi trạng thái chuyển

động, hoặc bị biến dạng Tác động này phụ thuộc vào hướng Vậy, lực là một

đại lượng véctơ, là số đo tác động cơ học lên một vật từ phía các vật khác hoặc trường, mà kết quả là vật hoặc có gia tốc hoặc thay đổi hình dạng hay kích thước của mình

b/ Định luật Newton thứ hai

Định luật thứ hai của Newton là định luật cơ bản của động lực học của chuyển động tịnh tiến

Nếu xem xét tác động của những lực khác nhau lên cùng một vật, ta nhận thấy gia tốc mà vật có được luôn luôn tỉ lệ thuận với độ lớn của lực

a  F Khi tác động cùng một lực lên những vật có khối lượng khác nhau, ta nhận thấy gia tốc của chúng tỉ lệ nghịch với khối lượng

a  1/m Như vậy, chúng ta có thể viết

Trong hệ SI, hệ số tỉ lệ k = 1, nên

i

+ Lực tiếp tuyến và lực pháp tuyến

Trong chuyển động cong, ta có

a = at + an

Hai gia tốc này có thể được coi là do hai lực gây ra, nên trong chuyển động cong có thể phân tích lực thành hai thành phần : thành phần tiếp tuyến và thành phần pháp tuyến :

Ft = mat = m

dt dV

có thể khái quát cả hai định luật của Newton, mô tả quy luật chuyển động của

chất điểm, được gọi là phương trình cơ bản của động lực học chất điểm

Ở đây, F12 là lực tác động của chất điểm 1 lên chất điểm 2, F21 là lực tác

động của chất điểm 2 lên chất điểm 1 Các lực này được đặt lên các chất điểm (vật) khác nhau và luôn luôn tác động từng đôi một

d/ Các lực liên kết

Khi xem xét các lực tác dụng lên một vật, người ta chia các lực thành hai loại

- Các lực tác dụng từ bên ngoài : lực hút, lực kéo, lực đẩy…

- Các lực liên kết là các lực xuất hiện khi có sự hiện diện của các vật khác Cụ thể có các lực liên kết sau đây mà ta xem xét :

+ Trọng lực : Là lực hấp dẫn giữa Trái đất và một vật Trọng lực được ký hiệu là p và bằng

p = mg

Trong đó g là gia tốc trọng trường, có giá trị bằng 9,81 m/s2 và luôn hướng

về tâm của Trái đất

+ Lực pháp tuyến : Là phản lực của một bề mặt lên vật khi vật tác dụng

một lực nén vuông góc lên bề mặt, có phương vuông góc với bề mặt, có chiều

hướng khỏi bề mặt và có giá trị bằng lực nén Lực pháp tuyến ký hiệu là N

Lực pháp tuyến được xác định từ định luật thứ hai của Newton đối với vật theo phương vuông góc với bề mặt (phương của pháp tuyến)

Fn + N = man

Giá trị của lực này, trong trường hợp một vật khối lượng m nằm yên trên một bề mặt phẳng, bằng

N = mg.cos

Trong đó  là góc giữa bề mặt và phương nằm ngang

+ Lực ma sát : Là lực cản trở của bề mặt đối với vật chuyển động trên

* Lực ma sát nghỉ

Cho một vật nằm yên trên một bề mặt Tác dụng một lực F song song với

bề mặt lên vật mà không làm vật chuyển động Khi đó, trên vật có lực ma sát

nghỉ fmsn tác dụng Theo định luật 2 của Newton

Vì vậy, trong một số bài toán, có thể cho rằng, khi F  f0 thì vật chuyển động

và khi đó, vật chịu tác dụng của lực ma sát động

+ Lực căng : Là lực sinh ra khi một sợi dây, được buộc với một vật, bị kéo căng Lực căng ký hiệu là T, tác dụng lên vật, có phương dọc theo dây và

có chiều đi khỏi vật

+ Lực đàn hồi : Là lực xuất hiện khi vật bị biến dạng và có xu hướng

chống lại sự biến dạng đó Lực đàn hồi tuân theo định luật Hooke :

Trong giới hạn đàn hồi, lực đàn hồi tỉ lệ với độ biến dạng của vật

F = - kl

Với k là hệ số đàn hồi, l là độ biến dạng của vật

+ Lực cản (phụ thuộc vào vận tốc) : Là lực cản của môi trường lên vật,

khi vật chuyển động trong môi trường đó Lực cản có độ lớn phụ thuộc vào vận tốc Thực nghiệm cho thấy :

- Khi vật chuyển động với vận tốc V nhỏ, lực cản bằng

F = - V

- Khi vật chuyển động với vận tốc V lớn, lực cản bằng

+ Động lượng của chất điểm

Động lượng (hay xung lượng) của chất điểm là một đại lượng véctơ, bằng tích của khối lượng với véctơ vận tốc của nó Ký hiệu động lượng

bằng véctơ K, ta có

K = mV + Định lý thứ nhất về động lượng

Theo định luật thứ hai của Newton

Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một khoảng thời gian nào đó có giá trị bằng xung lượng của lực (hay tổng hợp lực) tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó

Nếu F = const, ta có

K = F.t

2.1.3 Định luật hấp dẫn

a/ Định luật vạn vật hấp dẫn

Định luật vạn vật hấp dẫn phát biểu như sau :

Hai chất điểm bất kỳ luôn hút nhau với một lực, gọi là lực hấp dẫn, tỉ

lệ thuận với tích khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng

Ký hiệu m1 và m2 là khối lượng của hai chất điểm, r là khoảng cách giữa chúng, ta có biểu thức của lực hấp dẫn

F = G.m1m2/r2 Với G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 - là hằng số hấp dẫn

Đối với hai vật ở cách nhau khá xa, có thể coi r là khoảng cách giữa các khối tâm của chúng

+ Trọng lượng : Là lực, dưới tác dụng của trọng lực, đè lên giá đỡ hoặc

kéo căng dây treo, mà giá đỡ hay dây treo đó ngăn không cho vật rơi tự do

trong hệ quy chiếu của vật Ký hiệu lực này là P’, và lực của giá đỡ tác dụng lên vật là N Theo định luật thứ ba của Newton, ta có

Cho một hệ quy chiếu quán tính K mà ta quy ước là đứng yên, và hệ quy chiếu K’, chuyển động tương đối so với K Trong trường hợp tổng quát, hệ quy chiếu K’ không quán tính

Xét chuyển động của một chất điểm trong cả hai hệ quy chiếu

Gia tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính đứng yên và hệ quy chiếu không quán tính có mối liên hệ như sau

a =  + [r’] + [[r’]] + 2 [V’] + a’

2.2.1 Hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến có gia tốc Lực quán tính

Nếu hệ quy chiếu K’ đang chuyển động tịnh tiến, nhưng không quay, ta có

Lực F’ có thể coi là tổng hợp của hai lực : một lực là lực F tác dụng thực tế

lực xuất hiện do hệ quy chiếu K’ chuyển động thẳng có gia tốc

2.2.2 Hệ quy chiếu chuyển động quay Lực ly tâm

Nếu hệ quy chiếu K’ không chuyển động tịnh tiến, nhưng đang quay đều

- Lực Fcor = - 2m[V’] được gọi là lực côriôlis Lực này chỉ xuất hiện khi

chất điểm chuyển động trong hệ quy chiếu quay

2.3 Nguyên lý tương đối Galileo

Xét một chất điểm khối lượng m chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính Oxyz

Nếu có một lực F tác dụng lên chất điểm đó, thì, do hệ quy chiếu Oxyz là

quán tính, nên định luật thứ hai của Newton áp dụng được ở đây Ta có

F = ma

Xét trường hợp một hệ quy chiếu O’x’y’z’ chuyển động thẳng đều so với

hệ quy chiếu quán tính Oxyz

Vì hệ quy chiếu O’x’y’z’ chuyển động không có gia tốc, nên

hệ quy chiếu O’x’y’z’

Như vậy, hệ quy chiếu O’x’y’z’ cũng là hệ quy chiếu quán tính

Kết quả trên cho phép phát biểu một nguyên lý :

Các định luật Newton được nghiệm đúng trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu quán tính Hệ quy chiếu, chuyển động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính, cũng là hệ quy chiếu quán tính

Hay : Các phương trình động lực học trong các hệ quy chiếu quán tính

có dạng như nhau

Nguyên lý này được gọi là nguyên lý tương đối Galileo

2.4 Cơ năng của chất điểm

2.4.1 Công và công suất

a/ Công

+ Công của một lực không đổi

Nếu một vật chuyển động thẳng, dưới tác dụng của một lực không đổi F,

hướng theo phương tạo thành một góc  với phương chuyển động, thì ta nói

rằng lực F đã sinh công và công của lực này bằng tích của hình chiếu của

lực trên phương của chuyển động với quãng đường dịch chuyển của điểm đặt lực :

A = Fs.S = F.S.cos

Nếu biểu diễn

S = 

i i

S

Ta có

i i

S

i i

A

Nghĩa là, công của lực F thực hiện trên một quãng đường bằng tổng công

thực hiện trên từng đoạn đường

+ Công của một lực biến thiên

Xét trường hợp chất điểm dịch chuyển dưới tác dụng của lực F theo một

đường cong, từ điểm 1 đến điểm 2 Trong trường hợp tổng quát, lực có thể thay đổi theo độ lớn cũng như theo phương Tính công của lực trong trường hợp này Để áp dụng được công thức tính công như định nghĩa, ta thay đường cong bằng một đường gấp khúc gồm N đoạn Xét một đoạn gấp khúc, ví dụ đoạn thứ i Ký hiệu Fi, cosi là giá trị đại diện của lực F và cos của góc  trên đoạn gấp khúc i, Si là độ dài của đoạn gấp khúc đó Khi đó, công Ai của lực

Nếu lưu ý rằng S = r Khi đó, ta có thể biểu diễn

Ai = Fi.cosi ri = (F.r)i Hay

dA = F.cos.dS = (F.dr) Khi đó, công của lực F trên một đoạn quỹ đạo từ điểm 1 đến điểm 2 bằng

Trong hệ SI, công được đo bằng đơn vị jun (J) 1 J = 1N.m

b/ Công suất

Để đặc trưng cho tốc độ thực hiện công, người ta đưa ra khái niệm công

suất Công suất là công thực hiện bởi lực trong một đơn vị thời gian Công

suất có thể tính bằng công thức

t

S F t

Trong hệ SI, công suất được đo bằng đơn vị watt (W) 1 W = 1 J/s

c/ Công và năng lượng

+ Khái niệm năng lượng

Động lượng của một vật là một đặc trưng quan trọng cho chuyển động cơ học của nó Nhưng đại lượng này không thể đặc trưng hoàn toàn cho sự biến đổi trong chuyển động của vật Ví dụ, xét trường hợp hai quả cầu nhựa mềm giống nhau, chuyển động ngược chiều nhau cùng tốc độ và va chạm nhau Sau khi va chạm nhau, hai quả cầu nhựa sẽ đứng yên và chuyển động của hai quả cầu chấm dứt Trước va chạm, tổng động lượng của hai quả cầu bằng 0 Sau

va chạm, tổng động lượng này cũng bằng không Vậy, động lượng của cả hệ trước và sau va chạm là không thay đổi Nhưng động lượng của từng quả cầu thì có thay đổi Trước va chạm các quả cầu tham gia chuyển động cơ học, còn sau va chạm thì chuyển động cơ học của chúng biến mất Tuy nhiên, nếu đo nhiệt độ của các quả cầu, thì có thể phát hiện ra rằng nhiệt độ của chúng tăng lên Vậy, dạng chuyển động cơ học của các quả cầu đã chuyển sang dạng chuyển động nhiệt Động lượng không đặc trưng được quá trình biến đổi này Đại lượng có thể đặc trưng cho quá trình thay đổi này là năng lượng

Năng lượng là một thuộc tính của vật chất, là một đại lượng vô hướng, đặc trưng cho mức độ vận động và tương tác của vật chất Một vật hay một hệ vật, ở một trạng thái chuyển động hay tương tác nhất định, có một năng lượng nhất định Những dạng chuyển động khác nhau của vật chất gắn liền với những dạng năng lượng khác nhau : cơ học, nhiệt học, điện từ, hạt nhân, …

+ Định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng

Trong một số hiện tượng, dạng chuyển động của vật chất không thay đổi, như trong hiện tượng truyền nhiệt từ vật nóng sang vật lạnh, trong những hiện tượng khác lại xảy ra việc chuyển từ dạng chuyển động này sang dạng khác, như trong hiện tượng ma sát, chuyển động cơ học biến thành chuyển động nhiệt Nhưng, trong tất cả các hiện tượng, năng lượng được một vật cho (ở dạng này hay dạng khác) bằng năng lượng một vật khác nhận được Điều này

là một minh họa cho định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng, là một

trong những định luật quan trọng nhất của tự nhiên : Năng lượng không tự

nhiên sinh ra, cũng không tự nhiên mất đi, nó chỉ chuyển hóa từ dạng này sang dạng khác, hoặc truyền từ vật này sang vật khác, còn tổng năng lượng không thay đổi

Theo định luật này, thì năng lượng toàn phần của một hệ cô lập không

thay đổi, bất kể trong hệ xảy ra quá trình gì

+ Quan hệ giữa năng lượng và công

Nếu một hệ không cô lập thì hệ có tương tác với bên ngoài và có trao đổi năng lượng với bên ngoài Xét một ví dụ cụ thể : một đoàn tàu chuyển động đều dưới tác dụng của lực kéo của đầu máy Nếu không có lực kéo của đầu máy thì đoàn tàu sẽ chuyển động chậm dần và dừng lại dưới tác dụng của lực

ma sát ( và khi đó năng lượng cơ học của đoàn tàu sẽ giảm đi ) Lực kéo của đầu máy là ngoại lực đối với đoàn tàu, có nguồn gốc từ việc đốt cháy nhiên liệu hay tiêu hao điện năng cung cấp từ bên ngoài Khi đoàn tàu chuyển động, lực kéo thực hiện một công và công này được dùng để duy trì năng lượng

không đổi cho đoàn tàu (duy trì chuyển động với vận tốc không đổi) Các khảo sát cho thấy rằng, công của lực kéo đúng bằng năng lượng đã cung cấp

từ bên ngoài Nghĩa là, môi trường bên ngoài đã truyền cho đoàn tàu một lượng năng lượng thông qua công của lực kéo Ví dụ trên cho thấy rằng, sinh công là một hình thức trao đổi năng lượng giữa các hệ hoặc các vật

Trong cơ học, công là cách trao đổi năng lượng giữa các vật thông qua tương tác lực Khi một lực bên ngoài tác dụng lên một vật làm nó thay đổi

trạng thái, năng lượng của vật thay đổi Khi đó, độ biến thiên năng lượng

của hệ bằng công mà hệ nhận được trong quá trình đó

W2 - W1 = A Hay, giữa độ thay đổi năng lượng dW của vật và công do lực ngoài sinh ra

dA có mối liên hệ như sau

dW = dA Đơn vị đo năng lượng cũng là đơn vị đo công Trong hệ SI, năng lượng được đo bằng đơn vị jun (J)

2.4.2 Động năng của chất điểm Định lý động năng

Động năng của một hệ cơ học là năng lượng chuyển động cơ học của

hệ đó

a/ Động năng của chất điểm

Xét một lực F tác dụng lên một vật khối lượng m đang đứng yên và làm

vật chuyển động Lực thực hiện một công, còn năng lượng của vật chuyển động được tăng lên một lượng, bằng công sinh ra Năng lượng này là động

mà vật di chuyển trong khoảng thời gian mà vận tốc của nó tăng từ 0 đến dV,

d 

2.4.3 Thế năng của chất điểm trong trường lực thế

Phần không gian, hữu hạn hay vô hạn, mà tại mỗi điểm của nó được ứng với một giá trị của một đại lượng véctơ nào đó, theo một quy luật nào

đó bất kỳ, được gọi là một trường véctơ Nếu đại lượng véctơ này là lực, ta

có một trường lực

a/ Trường lực thế

Xét một chất điểm chuyển động trong một trường lực Tại mỗi vị trí r đều

có một lực F(r) tác dụng lên chất điểm Khi chất điểm dịch chuyển, lực F(r) thực hiện công Công của lực khi dịch chuyển chất điểm từ vị trí r1 đến vị trí

Nếu hàm F(r) không phụ thuộc vào vận tốc của vật, không thay đổi theo

thời gian và công của lực khi dịch chuyển chất điểm theo một đường cong khép kín bất kỳ bằng không, nghĩa là

chỉ phụ thuộc vào điểm đầu r1 và điểm cuối r2

Vậy trường lực thế là trường mà công của lực khi dịch chuyển chất

điểm theo một đường cong khép kín bất kỳ bằng không hoặc không phụ

2

1

B

A

thuộc vào đường dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối

b/ Thế năng Định lý thế năng

Khái niệm thế năng chỉ có thể đưa ra khi chất điểm chịu tác động của một trường lực thế

+ Định nghĩa

Xét một chất điểm, chuyển động trong một trường lực thế Ta chọn một vị

trí bất kỳ của chất điểm, với bán kính véctơ r0 trong một hệ tọa độ nào đó, làm

vị trí ban đầu Khi đó, ta có định nghĩa : thế năng của chất điểm tại một vị

trí r của trường lực thế là một đại lượng, bằng công do tổng hợp lực của trường, tác dụng lên chất điểm, thực hiện khi dịch chuyển chất điểm từ vị trí r đến vị trí ban đầu r 0 Thế năng của chất điểm tại vị trí r được ký hiệu là

Wt(r) Vậy, theo định nghĩa, ta có

r 2 trong trường lực thế bằng hiệu thế năng giữa hai điểm r 1 và r 2

c/ Thế năng của một chất điểm trong trường hấp dẫn, trong trọng trường đều, trường lực đàn hồi

+ Thế năng của chất điểm trong trường hấp dẫn

Cho một chất điểm khối lượng m chuyển động trong một trường hấp dẫn,

ví dụ, trong trọng trường Chọn hệ tọa độ có gốc tọa độ tại tâm của Trái đất Tính công của trọng lực khi dịch chuyển một chất điểm từ vị trí 1 đến vị trí

2 bên trên bề mặt Trái đất

Công của trọng lực thực hiện khi chất điểm dịch chuyển một đoạn dl bằng

r dr Công của trọng lực thực hiện khi chất điểm dịch chuyển từ 1 đến 2 bằng

1

2 1

2 1

A(1  2) = Wt (r1) - Wt (r2) = GMm(

2

1

r - 1

1

r )

Wt (r) = -GMm

r

1

+ Thế năng của chất điểm trong trọng trường đều

Nếu chất điểm chuyển động bên trên bề mặt của trái đất, r1 và r2 xấp xỉ bán kính của Trái đất và hiệu của chúng nhỏ, ta có thể coi ở mẫu số của biểu thức trên r1 = r2 = R Khi đó

z = r – R

Từ đây, ta có thể có biểu thức đối với thế năng

Wt (z) = mgz + C Chọn vị trí ban đầu để tính thế năng là gốc tọa độ, đặt ngay tại mặt đất (z = 0) Ta suy ra

C = 0

Từ đây, ta có thế năng của một chất điểm ở tại một vị trí z sẽ bằng

Wt (z) = mgz

+ Thế năng trong trường lực đàn hồi

Giả sử vật bị biến dạng theo một chiều Ký hiệu độ biến dạng của vật là x

Ta có

F = - kx Khi đó, công do lực đàn hồi thực hiện bằng

A =  

2

1

) (

Wt (x) = ½kx2

2.4.4 Định luật bảo toàn cơ năng

Cơ năng của một chất điểm là tổng động năng và thế năng của nó Ta

ký hiệu tổng động năng và thế năng (cơ năng) này bằng W = Wđ + Wt

Xét một chất điểm chuyển động trong một trường lực thế Fg là lực của

trường lực thế Cho rằng có một lực F’, không phải là một lực bảo toàn, tác

dụng lên chất điểm trong khi di chuyển Khi đó tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm sẽ bằng

F = F’ + Fg

Khi chất điểm dịch chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2, công của lực sẽ bằng

A(1 2) = Wđ2 - Wđ1

Có thể biểu diễn

A(1 2) = A’(1 2) + Ag(1 2)

Đối với công của lực bảo toàn, ta có

Ag(1 2) = Wt1 - Wt2

Từ đây, ta có

A’(1 2) = Wđ2 - Wđ1 - Wt1 + Wt2 Hay, ta có

W = Wđ + Wt = const Định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế phát biểu như sau :

Khi chất điểm chuyển động trong một trường lực thế, không chịu tác dụng của một lực nào khác, thì cơ năng của chất điểm là một đại lượng bảo toàn

Trọng trường là một trường lực thế, vì vậy trong trọng trường, cơ năng

của chất điểm được bảo toàn, do đó

Chương 3 Động lực học hệ chất điểm và vật rắn 3.1 Định luật bảo toàn động lượng của hệ chất điểm

3.1.1 Động lượng của hệ chất điểm

Tập hợp những chất điểm, được xét như một thể thống nhất, được gọi là một hệ cơ học Các lực tương tác giữa các chất điểm của hệ gọi là nội lực Các lực, mà các vật bên ngoài tác dụng lên các chất điểm của hệ, gọi là ngoại lực

Một hệ cơ học, mà trên nó không có ngoại lực tác dụng, được gọi là hệ kín hay hệ cô lập

Nếu ta có một hệ cơ học, bao gồm nhiều chất điểm, thì theo định luật thứ

ba của Newton, các lực tương tác giữa các chất điểm đó sẽ bằng nhau và

ngược chiều nhau, nghĩa là, tổng hợp nội lực của một hệ chất điểm bằng

không

a/ Động lượng của một hệ chất điểm

Động lượng của một hệ chất điểm bằng tổng động lượng của tất cả các chất điểm của hệ

Ký hiệu K(t) là động lượng của hệ chất điểm

Ký hiệu

m2V2(t) là động lượng của chất điểm thứ hai,

…

Ta có động lượng của hệ chất điểm

K(t) = m1V1 (t) + m2V2 (t) + … + mNVN (t)

b/ Định lý về động lượng của một hệ chất điểm

Xét một hệ cơ học bao gồm N chất điểm (vật), mà khối lượng và vận tốc tương ứng của chúng bằng m1, m2, …, mN và V1, V2, …, VN Gọi F’1, F’2, …,

3.1.3 Sự bảo toàn động lượng theo phương

được viết ở dạng véctơ Nó sẽ đúng khi chiếu nó lên một phương bất kỳ

Cho một véctơ đơn vị s ( s = 1 ), hướng theo một phương nào đó Khi đó hình chiếu của phương trình đối với véctơ động lượng lên phương s sẽ bằng

Nếu hình chiếu của tổng hợp ngoại lực lên phương s bằng không, F s =

0, thì hình chiếu của động lượng lên phương đó được bảo toàn, K s = const

3.2 Khối tâm của hệ chất điểm

3.2.1 Định nghĩa

Xét một tập hợp gồm N chất điểm, có khối lượng m1, m2, …, mN Tập hợp chất điểm này là một hệ chất điểm Trong một hệ quy chiếu quán tính nào đó,

vị trí của các chất điểm, tại mỗi thời điểm t, được cho bởi các bán kính véctơ

bán kính véctơ của nó được biểu diễn qua bán kính véctơ của tất cả các chất điểm của hệ, theo công thức

rC (t) = (m1r1(t) + m2r2(t) + … + mNrN(t)) /(m1 + m2 + … + mN)

Khối tâm của một hệ chất điểm không nhất thiết phải trùng với một điểm nào đó của hệ Vị trí của khối tâm của hệ chất điểm đặc trưng cho sự phân bố khối lượng của hệ chất điểm đó

Nếu ta chọn một hệ tọa độ mà gốc của nó ở vị trí khối tâm của hệ, thì

Từ đó suy ra : trong hệ tọa độ, mà gốc tọa độ là khối tâm, ta có

3.2.2 Vận tốc của khối tâm

Ký hiệu tổng khối lượng của hệ chất điểm bằng

M = m1 + m2 + … + mN Viết lại biểu thức cho khối tâm của hệ ở dạng

M.rC (t) = (m1 r1(t) + m2r2(t) + … + mNrN(t)) Lấy đạo hàm theo thời gian của biểu thức này và ký hiệu

VC (t) là vận tốc của khối tâm của hệ

Ta được

M.VC (t) = (m1 V1(t) + m2V2(t) + … + mNVN(t)) Nhưng

(m1V1(t) + m2V2(t) + … + mNVN(t)) = K(t)

là động lượng của hệ chất điểm

Từ đó ta có mối liên hệ giữa động lượng của hệ chất điểm và vận tốc khối tâm

M.VC (t) = K(t) Biểu thức trên cho thấy : Động lượng của một chất điểm, đặt tại khối

tâm của hệ và có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ, bằng tổng động lượng của hệ chất điểm

Nếu ta không quan tâm đến chuyển động tương đối của từng chất điểm, mà quan tâm đến chuyển động của cả hệ như một thể thống nhất, ta có thể xem toàn bộ hệ chất điểm như một chất điểm, có vị trí ở vị trí khối tâm, chuyển động với vận tốc bằng vận tốc của khối tâm và có động lượng bằng tổng động lượng của hệ chất điểm

3.2.3 Phương trình động lực học của khối tâm

Lấy đạo hàm biểu thức động lượng của khối tâm

chất điểm (với tổng khối lượng của hệ) bằng tổng hợp tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ

cô lập hoặc đứng yên, hoặc chuyển động thẳng đều

Ký hiệu aC là gia tốc của khối tâm của hệ chất điểm, ta có

M.aC = F

3.3 Chuyển động tịnh tiến của vật rắn

3.3.1 Khái niệm vật rắn

Vật rắn là một hệ chất điểm trong đó khoảng cách giữa hai điểm bất

kỳ luôn luôn không đổi

Do các chất điểm của một vật rắn không chuyển động tương đối với nhau,

ta suy ra rằng tổng hợp các nội lực tác dụng lên một chất điểm bất kỳ bằng 0 Chuyển động của vật rắn phức tạp, nhưng mọi chuyển động của vật rắn bao giờ cũng có thể phân tích thành tổng hợp của hai loại chuyển động cơ bản: chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

3.3.2 Động học chuyển động tịnh tiến của vật rắn

Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà trong đó một đường thẳng kẻ qua hai chất điểm bất kỳ của vật rắn luôn luôn song song với chính nó

Trong chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm của vật rắn chuyển động hoàn toàn giống nhau Quỹ đạo chuyển động của tất cả các chất điểm giống nhau Tại một thời điểm bất kỳ, mọi chất điểm đều có cùng một vận tốc và gia tốc

3.3.3 Phương trình động lực học chuyển động tịnh tiến của vật rắn

Giả thiết rằng vật rắn bao gồm những chất điểm có khối lượng bằng m1, m2, …, mi ,… chịu tác dụng của các ngoại lực F1, F2, …, Fi,… và chuyển

động với cùng một gia tốc a Viết phương trình định luật thứ hai của Newton

M.a = F

Phương trình này có dạng như phương trình chuyển động của một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của tất cả các chất điểm của vật rắn, và chịu tác dụng của một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên hệ

Vậy, phương trình chuyển động tịnh tiến của vật rắn cũng là phương

trình chuyển động của khối tâm vật rắn

Vậy, để khảo sát chuyển động tịnh tiến của vật rắn, ta chỉ cần khảo sát

chuyển động của khối tâm của nó

3.4 Định luật bảo toàn mômen động lượng

3.4.1 Mômen động lượng

a/ Mômen động lượng của một chất điểm

+ Đối với một điểm

Cho một chất điểm, khối lượng m, chuyển động trong không gian Cho

một điểm O bất kỳ trong không gian Chất điểm có động lượng là mV Khi đó

ta có định nghĩa về mômen động lượng của một chất điểm đối với một điểm như sau :

Mômen động lượng của một chất điểm đối với một điểm là một đại lượng, bằng tích véctơ của bán kính véctơ r, kẻ từ điểm đó đến vị trí của chất điểm, với véctơ động lượng mV của chất điểm

Mômen động lượng của một chất điểm đối với một điểm được ký hiệu là

L = [r x mV]

Mômen động lượng của một chất điểm đối với điểm O là một véctơ, nằm

trên đường thẳng đi qua điểm O, vuông góc với các véctơ r và V, chiều của nó trùng với chiều quay của cái đinh vít khi đuôi quay theo chiều từ r sang V

Trị tuyệt đối của mômen bằng

L = r.mV sin(r,V)

Cho một trục Oz bất kỳ đi qua điểm O Ký

hiệu véctơ hình chiếu của L lên trục Oz là Lz Có

thể chứng minh rằng, mômen động lượng của

chất điểm đối với mọi điểm trên trục Oz có hình

chiếu lên trục đó như nhau Véctơ hình chiếu này

được gọi là mômen động lượng của chất điểm

đối với trục Oz

Mômen động lượng của một chất điểm đối

với một trục là véctơ hình chiếu lên trục đó

của mômen động lượng của chất điểm đối với

một điểm bất kỳ trên trục

b/ Mômen động lượng của hệ chất điểm

+ Đối với một điểm

Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một điểm bằng tổng các mômen động lượng của tất cả các chất điểm của hệ đối với điểm đó

Cho một hệ chất điểm lần lượt có khối lượng m1, m2, …, mi, … và chuyển

động với những vận tốc V1, V2, …, Vi, …

Li = [ri x miVi]

Với ri là véctơ kẻ từ O đến chất điểm i Mômen động lượng của hệ chất

điểm đối với điểm O bằng

a/ Mômen lực tác dụng lên một chất điểm đối với một điểm

Mômen lực tác dụng lên một chất điểm đối với một điểm là đại lượng, bằng tích véctơ của bán kính véctơ r, kẻ từ điểm đó đến vị trí của chất điểm, với véctơ lực tác dụng lên chất điểm Mômen lực được ký hiệu bằng

M

M = [r x F]

b/ Mômen lực tác dụng lên một chất điểm đối với một trục

Mômen lực tác dụng lên chất điểm đối với một trục là thành phần theo trục đó của mômen lực đối với một điểm bất kỳ trên trục

Xét một chất điểm khối lượng m, chuyển động trong một hệ quy chiếu

quán tính, trong hệ tọa độ gốc tại O dưới tác dụng của một lực F

Mômen động lượng của chất điểm bằng

Biểu thức trên là một dạng tương đương của phương trình cơ bản của cơ học chất điểm

b/ Định lý về mômen động lượng của một hệ chất điểm đối với một điểm

Theo định lý về mômen động lượng của một chất điểm, ta có

Ký hiệu M là tổng mômen lực, tác dụng lên các chất điểm của hệ, đối với

điểm O đó, vế phải của phương trình có thể biểu diễn bằng

c/ Định lý về mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một trục

Từ định lý về mômen động lượng của một hệ chất điểm đối với một điểm,

ký hiệu Lz là mômen động lượng của một hệ chất điểm đối với một trục (Oz)

và Mz là tổng mômen ngoại lực tác dụng lên hệ chất điểm đối với một trục đó,

3.4.4 Định luật bảo toàn mômen động lượng

a/ Định luật bảo toàn mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một điểm

Ta có định lý về mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một điểm

dt d

L = M

Nếu một hệ chất điểm không chịu tác dụng của bất kỳ ngoại lực nào, nghĩa

là hệ cô lập, hoặc có tổng mômen các ngoại lực đối với một điểm bằng không, nghĩa là

ấy là một đại lượng bảo toàn

b/ Định luật bảo toàn mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một trục cố định

Trường hợp hệ chất điểm quay quanh một trục cố định

3.5 Chuyển động quay của vật rắn

Xét trường hợp một vật rắn được cố định tại một điểm O Giả sử ban đầu vật đứng yên Muốn vật thay đổi trạng thái chuyển động, cần có tác động từ

bên ngoài Ta tác dụng một lực F cho mục đích này Thực tế cho thấy, khi đường tác dụng của lực F đi qua điểm O, lực này không làm quay vật rắn Chỉ

có những lực, mà đường tác dụng không đi qua điểm O có thể làm vật rắn

quay Trong trường hợp này, lực F gây ra sự quay của vật rắn quanh một trục

đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tác dụng lực và điểm

O Mức độ tác động của lực này phụ thuộc vào tích của lực F với cánh tay đòn của lực, được gọi là mômen lực Như vậy, chuyển động quay của vật rắn liên quan đến các đại lượng mômen

3.5.1 Động học chuyển động quay của vật rắn

Chuyển động của một vật rắn trong một hệ quy chiếu quán tính (hệ quy chiếu K) có thể được xem xét bằng cách gắn với vật rắn một hệ quy chiếu (hệ quy chiếu K’) mà trong đó vật rắn đứng yên Khi đó, xem xét chuyển động của vật rắn có thể thông qua xem xét chuyển động của hệ quy chiếu K’ Hệ quy chiếu K’ có thể chuyển động tịnh tiến hoặc/và chuyển động quay so với

K Chuyển động quay của vật rắn có thể được coi là chuyển động quay của hệ quy chiếu K’ Chuyển động quay của vật rắn có thể là chuyển động quay quanh một trục cố định, hoặc là chuyển động quay quanh một điểm cố định Chuyển động quay quanh một điểm cố định của vật rắn có thể coi là chuyển