Suy ra các điểm A, N, B cùng nhìn đoạn MO dưới một góc vuông.
Trang 1Phần I Trắc nghiệm (2,0 điểm):
Mỗi câu đúng cho 0,5 điểm
Câu 1 2 3 4
Đáp án B C A D
Phần II Tự luận (8,0 điểm).
Câu 5 (2,0 điểm).
Xét hệ phương trình 4 5 5 (1)
x y
x y
− = −
− = −
Lấy (1) – (2) ta có: 2 y = − ⇔ = − 4 y 2
Thay y = − 2 vào (1) có: 4x+ = −10 5
15
4
x
⇔ = −
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: 15
4
x = − y = −
Câu 6 (1,5 điểm).
1 (0,5 điểm):
=
2
0
m
∀m nên PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 với mọi giá trị của m. 0,25
2 (1,0 điểm):
Theo công thức viet ta có: x1 + x2 = 2(m − 1), x1x2 = m − 5 0,25
Ta có x12+ x22 = ( x1+ x2)2− 2 x x1 2
1
2
m
m
=
=
0,25
Vậy 1
2
m = hoặc m = 2 là các giá trị cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán 0,25
Câu 7 (1,5 điểm).
Gọi độ dài cạnh đáy của tam giác đã cho là x (m) (điều kiện x > 0) thì chiều cao của tam giác là 3
4 x (m).
Diện tích của tam giác là 1 3 3 2
.
S = x x = x (m2) Khi tăng chiều cao thêm 3m và giảm cạnh đáy đi 2m thì chiều cao của tam giác mới là (3
3
4 x + ) (m) và độ
dài cạnh đáy của tam giác mới là (x − 2) (m)
Khi đó diện tích tam giác mới là 1 3
2)
Trang 2Theo bài ra ta có PT : 1 3 3 2
⇔ x = 16 (thoả mãn điều kiện)
Vậy tam giác đã cho có độ dài cạnh đáy là x = 16 (m), độ dài chiều cao là h = 12 (m)
Câu 8 ( 2,0 điểm).
1 ( 1,0 điểm):
Nội dung trình bày Có: MAO · = 900 (góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm)
Tương tự · 0
90
MBO =
Suy ra các điểm A, N, B cùng nhìn đoạn MO dưới một góc vuông
Vậy 5 điểm M, A, N, O, B cùng thuộc đường tròn bán kính
2
MO
2.( 1,0 điểm):
Nội dung trình bày
Tứ giác MANB nội tiếp nên · AMN = · ABN (1),OA ⊥ PS,OA MA⊥ ⇒ PS MA// ⇒ ·AMN RPN=· (2)
Từ (1) và (2) suy ra: · ABN = RPN · hay RBN · = RPN · ⇒ tứ giác PRNB nội tiếp ⇒ BPN · = BRN · (3)
Mặt khác có: BPN · = BAQ · (4), nên từ (3) và (4) suy ra: BRN · = · BAQ ⇒ RN SQ // (5)
Từ (5) và N là trung điểm PQ nên trong ∆ SPQ có RN là đường trung bình, suy ra PR RS = (đpcm)
Câu 9 (1,0 điểm).
Nội dung trình bày
Có a2 ≥ a2− − ( b c )2 = − + ( a b c a b c )( + − ) (1) , b2 ≥ − − b2 ( c a )2 = − + ( b c a b c a )( + − ) (2)
c2 ≥ − − c2 ( a b )2 = − + ( c a b c a b )( + − ) (3) Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ = = a b c
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương Nhân vế với vế của (1), (2), (3)
ta có : abc ≥ + − ( a b c b c a c a b )( + − )( + − ) (*)
Từ a b c + + = 2 nên (*) ⇔ abc≥ −(2 2 )(2 2 )(2 2 )a − b − c ⇔ −8 8(a b c+ + +) 8(ab bc ca+ + ) 9− abc≤0
8 9 abc 8( ab bc ca ) 0 9 abc 8( ab bc ca ) 8
Ta có a3+ + = + + b3 c3 ( a b c )3− 3( a b c ab bc ca + + )( + + ) 3 + abc = − 8 6( ab bc ca + + ) 3 + abc
Từ đó 4(a3+ +b3 c3) 15+ abc=27abc−24(ab bc ca+ + ) 32 3 9+ = [ abc−8(ab bc ca+ + )]+32 (**)
Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4( a3+ + b3 c3) 15 + abc ≥ 3.( 8) 32 8 − + =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2
3
a b c = = =
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi 2
3
a b c = = =
Hình vẽ
