Công thức nhân đôi.. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.. Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : * Đẳng cấp bậc 2:.. Xét trường hợp cosx=0... Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầ
Trang 1Châu Thanh Hải ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305 054.3811471 0935961321
* ( − ) = sin
* ( − ) = − cot
∗ ( − ) = − cos
∗ ( − ) = − tan
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1 Công thức cộng
tan( ± ) =1 ∓ tan tan tan ± tan
2 Công thức nhân đôi
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos – sin
= 2 cos − 1
= 1 – 2 sin
tan 2 =1 − tan2 tan
3 Công thức hạ bậc:
cos =1 + cos 2 2
sin =1 − cos 2 2
tan =1 + cos 2 1 − cos 2
4 Công thức nhân ba
sin 3 = 3 sin − 4 sin
cos 3 = 4 cos – 3 cos
tan 3 =3 tan − tan1 − 3 tan
5 Công thức tính theo t=tan ( / )
cos =1 − 1 + ; sin =1 + 2 ;
tan =1 − 2 ; cot =1 − 2
6 Công thức tích thành tổng
sin sin = −12[cos( + ) − cos( − )]
cos cos = 12[cos( + ) + cos( − )]
sin cos =12 [sin( + ) + sin( − )]
7 Công thức tổng thành tích
cos + cos = 2 cos cos “học là (c+c=2cc)”
cos − cos = −2 sin sin “học là (c-c=-2ss)”
sin + sin = 2 sin cos “học là (s+s=2sc)”
sin − sin = 2 cos sin “học là (s-s=2cs)”
tan ± tan = ( ± ) “học là (t ±t=s±trên cc)”
[ Cơ bản nhất: * sin + cos = 1
*
= 1 + ; * = 1 + cot ;
∗ sin + cos = ; sin + cos =
* 1 ± sin 2 = (sin ± cos )
[ Đặc biệt:
* sin + cos = √2 sin + = √2 cos −
* sin − cos = √2 sin − = −√2 cos +
* sin ± √3 cos = 2 sin ± = ±2 cos ∓
* √3 sin ± cos = 2 sin ± = ±2 cos ∓
* + = , * − = −
1 Phương trình dạng đặc biệt:∗ cos = 1 ⇔ = 2 ; ∗ cos = −1 ⇔ = + 2 ; ∗ cos = 0 ⇔ = /2 + ,
∗ sin = 1 ⇔ = + 2 ; ∗ sin = −1 ⇔ = − + 2 ; ∗ sin = 0 ⇔ =
2 Phương trình lượng giác cơ bản: ∗ sin = sin ⇔ = + 2 = − + 2 ∗ cos = cos ⇔ = + 2 = − + 2
∗ tan = tan ⇔ = + , ∗ cot = cot ⇔ = +
3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx + = (3), Cách giải: Chia 2 vế cho √ + ta có: (3) ⇔
+
=
Gọi là góc thỏa: cos =
, sin =
(3) ⇔ sin( + ) =
[ Ph/trình + = có nghiệm x ⇔ + ≥ → −√ + ≤ + ≤ √ + , ∀ ∈
4 Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : * Đẳng cấp bậc 2: + + = Cách giải:
i Xét trường hợp cos = 0 ↔ = + ii Xét trường hợp cos ≠ 0, chia 2 vế cho cos ta được pt bậc 2 theo tanx: + + tan = (1 + ), ta được pt bậc 2 theo tan → ⋯ Kết luận nghiệm: gộp 2 trường hợp
* Đẳng cấp bậc 3: + + + + + = Cách giải: i Xét
trường hợp cosx=0 ii Xét trường hợp cosx≠0, chia 2 vế cho cos ta được p/trình bậc 3 theo tanx: + + tan + tan + (1 + ) + (1 + ) = 0,.ta được pt bậc 3 theo tan → ⋯Kết luận nghiệm: gộp 2 trường hợp
5 Phương trình đối xứng theo sinx và cosx : ( ± ) + + = , ( ± ; ) =
Cách giải: Đặt = ± = √2 ± , điều kiện ∈ [−√2; √2], lúc đó = ±( − 1)/2 Thay vào ta được pt bậc hai theo t : ± ( − )/ + = ℎ ( ; ±( − )/ ) = , nhớ kiểm tra điều kiện t
6 Phương trình dạng: , , , , = đặ = , nếu pt thay x bởi 2x ta đặt =
cos( ± ) = cos cos ∓ sin sin
sin( ± ) = sin cos ± cos sin
∗ ( + ) = , ℎ− , ẻ ẵ
∗ ( + ) = , ℎ− , ẻ ẵ
∗ 2 ∓ = ±
∗ 2 ∓ = ±
∗ sin(− ) = − sin ; tan(− )
= − tan ; cot(− ) = − cot
∗ ( + ) = ∀ ∈
∗ ( + ) = ∀ ∈
* ∓ =
*
www.VNMATH.com
Trang 2Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305 054.3811471 0935961321 Bài tập lượng giác trong các đề thi tuyển sinh đại học 1 D2010: sin 2 − cos 2 + 3 sin − cos − 1 = 0 2 B2010: (sin 2 + cos 2 ) cos + 2 cos 2 − sin = 0 3 A2010: ( )
=√ cos 4 A2009: ( )
( )( )= √3
5 B2009: (1 + 2 sin ) cos = 1 + sin + cos 6 D2009: √3 cos 5 − 2 sin 3 cos 2 − sin = 0 7 D2008: sin 3 − √3 cos 3 = 2 sin 2 8 B08: sin − √3 cos = sin cos − √3 sin cos 9 A2008: + = 4 sin −
10 A07: (1 + sin ) cos + (1 + cos ) sin = 1 + sin 2 11 B2007: 2 sin 2 + sin 7 − 1 = sin 12 D2007: sin + cos + √3 cos = 2 13 A2006:
√ = 0
14 B2006: cot + sin 1 + tan tan = 4 15 cot + sin 1 − tan cot = 4 16 D2006: cos 3 + cos 2 − cos − 1 = 0 17 A2005: cos 3 cos 2 − cos = 0 18 B20005: 1 + sin + cos + sin 2 + cos 2 = 0 19 D05: cos + sin + cos − sin 3 − − = 0 20 Dự Bị 1 A02:
= Tìm a để pt có nghiệm 21 DB02: tan + cos − cos = sin 1 + tan tan
22 DBị B02: tan + 1 =
23 DBị B02:
= cot 2 −
24 Dự bị khối D 2002: = sin 25 Dự bị khối D 2002:Tìm m để pt: 2(sin + cos ) + cos 4 + 2 sin 2 − = 0 có nghiệm ∈ 0; 26 DBị A2003: cos 2 + cos (2 tan − 1) = 2 27 DBị B2003: 3 cos 4 − 8 cos 6 + 2 cos + 3 = 0 28 DBị B2003: √
= 1
29 DBị D2003: ( )
= 2(1 + sin ) 30 DBị D2003: cot = tan +
31 DBị A2004: 4(sin + cos ) = cos + 3 sin 32 DBị B2004: 2√2 cos + + =
33 DBị B2004: sin 4 sin 7 = cos 3 cos 6 34 DB D04: 2 sin cos 2 + sin 2 cos 2 = sin 4 cos 35 DB D04: sin + sin 2 = √3(cos + cos 2 ) 36 DB A 2005: 2√2 cos − − 3 cos − sin = 0 37 DB A2005: tan + − 3 tan =
38 5 sin − 2 = 3(1 − sin ) tan 39 (2 cos − 1)(2 sin + cos ) = sin 2 − sin 40 cot − 1 = + sin − sin 2 41 cot − tan + 4 sin 2 =
42 sin − tan − cos = 0
43 5 sin + = cos 2 + 3 với ∈ (0; 2 ) 44 Tìm nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình: cos 3 − 4 cos 2 + 3 cos − 4 = 0 45 cos + + cos 2 + + cos 3 + = 46 sin + cos = 2(sin + cos ) − 1 47 4(sin + cos ) + sin 4 − 2 = 0 48
=
49
= √3
50 cos + sin = 3 sin cos 51 sin + cos = cos 2 52 cos + cos 2 − 3 cos + 1 = 0 53 3 cos 2 + 4 sin 2 − 9 cos − 4 sin + 6 = 0 54 2 sin + cos = sin 2 + 1 55 DB B05: 4 sin − √3 cos 2 = 1 + 2 cos −
56 √1 − sin − √1 − cos = 1 57 DB05: sin cos 2 + cos (tan − 1) + 2 sin = 0 58 cos + + cos + = cos +
59 DB A06: cos 3 cos − sin 3 sin = √
60 DB A06: 2 sin 2 − + 4 sin + 1 = 0 61 DB B06: (2 sin − 1) tan 2 + 3(2 cos − 1) = 0 62 DB B06: cos 2 + (1 + 2 cos )(sin − cos ) = 0 63 DB D06: sin + cos + 2 sin = 1 64 DB A07: sin 2 + sin − − = 2 cot 2 65 DB A07: 2 cos + 2√3 sin cos + 1 = 3(sin + √3 cos ) 66 DB B07: sin − − cos − = √2 cos
67 DB B07:
+ = tan − cot
www.VNMATH.com