Hai điểm B, C thay đổi trên d sao cho tam giác ABC vuông tại A.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d ; E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.. 1/ Chứng minh t
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Năm học: 2010 – 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : Toán ( hệ số 2)
( Dành cho lớp chuyên Toán ) Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
————————————
ĐỀ :
Bài 1: ( 2 điểm)
1/ Tìm tất cả các bộ ba số thực ( x, y, z ) sao cho x + y + z > 2 và
2 2 4 2 ; 2 2 9 2 ; 2 2 16 2
2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì S = 2 3
3 2 6
n n+ +n là một số tự nhiên
Bài 2: ( 2 điểm)
Cho hai số a , b thỏa : 2 2
2
1
4
b a
a
+ + = Xác định a và b để tích a.b nhỏ nhất
Bài 3: ( 2 điểm)
1/ Cho a > 0 Chứng minh rằng : a 1 2
a
+ ≥
2/ Với giá trị nào của n nguyên dương thì các số dương a1 , a2 , … , an thỏa mãn
các đẳng thức a1 + a2 + … + an = 2 và
2
n
Bài 4: ( 3 điểm)
Cho đường thẳng ( d ) cố định và điểm A cố định không thuộc ( d ) Hai điểm B, C thay đổi trên ( d ) sao cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ( d ); E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC
1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn ( O )
2/ Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng AH với (O) Chứng minh :
a/ AM.AN = AE.AB
b/ Hai điểm M, N cố định
Bài 5: ( 1 điểm)
Tam giác ABC có độ dài các đường cao là số nguyên dương và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 Chứng minh ABC là tam giác đều
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh: ……… Số báo danh: …………
Trang 2
HƯỜNG DẪN GIẢI
Bài 1:
1/ Tìm tất cả các bộ ba số thực ( x, y, z ) sao cho x + y + z > 2 và
4 2 ; 9 2 ; 16 2
Giải:
2
2
2
4
9
16
2
x y
x z
y z
x y z
+ + >
2 3 4 2
x y
x z
y z
x y z
+ =
+ =
+ =
+ + >
⇔
; ; ;
2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì S = 2 3
3 2 6
+ + là một số tự nhiên Giải:
S = ( 1)( 2)
6
M 6 , (chú ý rằng :n n( + 1)(n+ 2)là 3 số tự nhiên liên tiếp )
Bài 2:
Cho hai số a , b thỏa : 2 2
2
1
4
b a
a
+ + = Xác định a và b để tích a.b nhỏ nhất Giải:
Ta có : 2
2
1
a
a
+ ≥ 2 ; 2 2 2 2 2
2
1
2
4
b a
a
+ + ≥ 2.2 2 2
4
a b
2
ab
Suy ra : Min (ab) = -2 ; khi x = 1 ; y = -2 hoặc x = -1 ; y = 2
Bài 3:
1/ Cho a > 0 Chứng minh rằng : a 1 2
a
+ ≥ ( tự giải )
2/ Với giá trị nào của n nguyên dương thì các số dương a1 , a2 , … , an thỏa mãn các đẳng thức a1 + a2 + … + an = 2 và
2
n
Giải:
Ta có : (a1 + a2 + … + an) (
n
a +a + +a ) = 4
2
.
= (1 + 1 + … + 1) 2 = n 2 ( Bunhiacopki )
Vậy : n 2 ≤ 4 ⇒ n ≤ 2 ⇒ n = 1; 2 (do n ∈ Z+ )
- Nếu n = 1 , ta có :
1
1
2 1 2
x x
=
=
- Nếu n = 2, ta có :
1 2
1 2
1 2
2
2
1 1
x x
+ =
Trang 3Vậy x1 , x2 là nghiệm của pt : x2 – 2x +1 = 0 ⇔ x = 1
Kết luận chung : n = 1
Bài 4: ( Đọc giả vui lòng vẽ hình )
Giải:
1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn ( O )
- Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật ⇒ HAF· = ·AFE v HAFà · = ·ABH ( cùng phụ
·BAH ) ⇒HAF· = ·ABH ⇒ tứ giác BEFC nội tiếp
2/ Chứng minh :
a/ AM.AN = AE.AB
Xét ∆AME và ∆ABN ; có ·BAM chung ; ·AEM = ·ANB ( cùng bù ·BEM )
b/ Hai điểm M, N cố định
Để ý : AM.AN = AE.AB =AF.AC = HB.HC = AH 2
Và đường thẳng ( d ) cố định, điểm A cố định , AH không đổi , đường thẳng đi qua
A và vuông góc với đường thẳng ( d ) là cố định
Bài 5: ( Đọc giả vui lòng vẽ hình )
Tam giác ABC có độ dài các đường cao là số nguyên dương và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 Chứng minh ABC là tam giác đều
Giải:
Gọi S là d.tích tam giác ABC , a, b, c là độ dài các cạnh , x , y , z là các đường cao tương ứng , r là bán kính đường tròn nội tiếp , r =1
Ta có : 2.S = ax =by = cz = ar + br + cr = a + b + c
x+ + =y z a b c a b c a b c+ + =
Không mất tính tổng quát , giả sử x y z≤ ≤ khi đó
1 = 1 1 1x+ +y z 3 x 3
x
≤ ⇒ ≤ (1)
Ta có : b + c > a ⇒ x = 1 b c 2
a
+ + > (2 )
Từ (1) và (2 ) : x = 3
Suy ra : x = y = z = 3 ; hay tam giác ABC đều