Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC.. Gọi M là trung điểm của SA.. Tớnh khoảng cỏch từ M đến mặt phẳng SBC.. Trong cỏc số phức thỏa món điều kiện trờn, tỡm số phức cú mụ đun nhỏ nhất.. Viế
Trang 1đề thi thử đại học
Môn toán - năm học 2009-2010
Thời gian làm bài : 180’
******************
Cõu I(2 điểm): Cho hàm số f( )x =x4 + 2(m− 2)x2 +m2 − 5m+ 5 ( C )
1/ Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
2/ Tỡm cỏc giỏ trị thực của m để (C) cú cỏc điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam
giỏc vuụng cõn
Cõu II(2điểm):
1/ Giải bất phương trỡnh :
x x
1 3
2
1
−
≤
−
− +
2/ Giải phương trỡnh: tan2 2 tan 2cos
x x
π
Cõu III (1 điểm).
Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA=SB=SC=a 2 Đỏy là tam giỏc cõn, gúc
0
120
BAC
∠ = , cạnh BC=2a Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC
Gọi M là trung điểm của SA Tớnh khoảng cỏch từ M đến mặt phẳng (SBC)
Cõu IV(2 điểm)
1/ Tớnh tớch phõn:
ln3 2
x
e dx I
=
∫ 2/ Trong mặt phẳng tọa độ Tỡm tập hợp điểm biểu diễn cỏc số phức z thỏa món cỏc điều kiện: z i− = − −z 2 3i
Trong cỏc số phức thỏa món điều kiện trờn, tỡm số phức cú mụ đun nhỏ nhất
Cõu V(2điểm):
1/ Cho tam giỏc ABC cõn, cạnh đỏy BC cú phương trỡnh x+ y+ 1 = 0 Phương trỡnh đường cao vẽ từ B là: x− 2y− 2 = 0 Điểm M(2;1) thuộc đường cao vẽ từ C Viết phương trỡnh cỏc cạnh bờn của tam giỏc ABC
2/ Viết phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1),cắt đường thẳng
( )
2
1 1
3
2 :
−
=
= + y z x
d và vuụng gúc với đường thẳng ( )2
2 2
2
= − +
= −
= +
(t∈R)
Cõu VI ( 1 điểm)
Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
……… Hết ………
Trang 2Câu I Khảo sát hàm số ( 2 điểm )
1 Với m =1 Kh¶o s¸t hµm sè f( )x = y= x4 − 2x2 + 1 (C) (1.00 ®iÓm )
1* TX§: D = R
* B¶ng biÕn thiªn: f'( )x = y' = 4x3 − 4x= 4x(x2 − 1)
y' = 0 ⇔ x= 0 ;x= − 1 ;x= 1
x -∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y +∞ 1 +∞
0 0
0.5 3* §å thÞ: * Giao điểm với các trục toạ độ: A(0; 1), B(-1;0) và C(1; 0) 0.25 2 Tìm tham số m (1.0 điểm)
* Ta có f'( )x = 4x3 + 4(m− 2)x= 0 ⇔ x= 0 ;x2 = 2 −m 0.25 * Hàm số có CĐ, CT khi f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu : m < 2 (1) Toạ độ các điểm cực trị là:
A(0 ;m2 − 5m+ 5),B( 2 −m; 1 −m) (,C − 2 −m; 1 −m) 0.25
* Do tam giác ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi vuông tại A: AB.AC = 0 ⇔(m− 2)3 = − 1 ⇔m= 1 vì đk (1)
Trong đó AB=( 2 −m; −m2 + 4m− 4),AC =(− 2 −m; −m2 + 4m− 4) Vậy giá trị cần tìm của m là m = 1
0.5
Câu II Giải phương trình và bất phuơng trình ( 2.00 điểm )
1 Giải bpt
x x
1 3
2
1
−
≤
−
− + ( 1.00 điểm )
* ĐK:
≠
<
≤
−
2
1 2
5 2
x
x
0.25
* Với
2
1
2 ≤ <
− x : x+ 2 − 3 −x < 0 , 5 − 2x > 0, nên bpt luôn đúng 0.25
* Với
2
5 2
1 <x< : Bpt ⇔ x+ 2 − 3 −x ≥ 5 − 2x ⇔ 2x2 − 11x+ 15 ≤ 2x− 3
Ta có:
<
≤
⇔
≥
−
−
<
≤
2
5 2
0 6
5 2
3
2
x x
x
∪
−
=
2
5
; 2 2
1
; 2
Câu V Phương pháp toạ độ trong mp và trong không gian ( 2.00 điểm)
1 Toạ độ trong mạt phẳng ( 1.00 điểm )
* Gọi D, E lần lượt là chân đương cao kẻ từ B, C
Ta có toạ độ điểm B(0 ; -1) và BM =( )2 ; 2 , suy ra MB⊥BC
Kẻ MN // BC cắt BD tại N thì BCNM là hình chữ nhật
0.25
Trang 3* Phương trình đường thẳng MN là: x+ y− 3 = 0
N =MN∩BD nên
3
1
; 3
8
N Do NC⊥ BC nên pt là 0
3
7 =
−
−y
* Toạ độ C là nghiệm của hpt:
−
⇒
=
−
−
= + +
3
5
; 3
2 0
3
7 0
1
C y
x
y x
=
3
8
; 3
4
CM , nên phương trình AB là: x+ 2y+ 2 = 0
0.25
* Một vectơ chỉ phương của BN là vectơ pháp tuyến của AC, nên
phương trình cạnh AC là: 6x+ 3y+ 1 = 0
A
2 Toạ độ trong không gian (1.00 điểm)
* VTCP của d2 là v=(2 ; − 5 ; 1) và cũng là VTPT của mp(P) đi qua M và
vuông góc với d2 Pt mp(P) là: 2x− 5y+z+ 2 = 0 0.25
* Gọi A là giao điểm của d1 và mp(P) nên A(− 2 + 3t;t; 1 − 2t)
Thay vào phương trình mp(P) thì t = − 1 ⇒ A(− 5 ; − 1 ; 3) 0.25
* Đường thẳng d cần lập pt có VTCP u=(3 ; 1 ; − 1)do MA=(− 6 ; − 2 ; 2)
Vậy phường trình đường thẳng d là:
1
1 1
1 3
1
−
−
=
−
=
x
(vì d ≠ d2) 0.5
III
(1 điểm) * Đặt t = 2
x
e − , Khi x = ln2 ⇒ t = 0
x = ln3 ⇒ t = 1
ex = t2 + 2 ⇒ e2x dx = 2tdt
* I = 2
1 2 2 0
( 2)
1
+ + +
1
2 0
2 1
1
t
+
− +
+ +
∫
* = 2
1
0
( 1)t− dt
1 2 2 0
1
+ + + +
∫
* = ( 2 1
2 ) 0
t − t + 2ln(t2 + t + 1)10= 2ln3 - 1
0,25 0,25 0,25
0,25
IV
(1 điểm) * Áp dụng định lí cosin trong ∆ABC có AB = AC =
2 3
a
⇒ S ABC∆ = 1
2AB.AC.sin1200 = 2 3
3
a Gọi H là hình chiếu của
S lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC
⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
* Theo định lí sin trong ∆ABC ta có:
sin
BC
A = 2R ⇒ R = 2
3
a
= HA
0,25
0,25
Trang 4∆SHA vuông tại H ⇒ SH = SA2 −HA2 = 6
3
a
⇒ VS ABC. = 1
3 S ABC∆ SH = 2 2
9
a
* Gọi hA, hM lần lượt là khoảng cách từ A, M tới mp(SBC)
2
M A
h = SA = ⇒ hM = 1
2 hA ∆SBC vuông tại S ⇒ S SBC∆ = a2
* Lại có: VS ABC. = 1
3 S SBC∆ hA ⇒ hA = 3 S ABC.
SBC
V
V∆ = 2
3
Vậy hM = d(M;(SBC)) = 2
6
a
0,25
0,25
VII.a
(1 điểm)
* Đặt z = x + yi (x; y ∈R) |z - i| = |Z - 2 - 3i| ⇔ |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|
* ⇔x - 2y - 3 = 0 ⇔ Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là đường thẳng x - 2y - 3 = 0
* |z| nhỏ nhất ⇔ |OMuuuur| nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của O trên ∆
* ⇔ M( 3
5;-6
5) ⇒ z = 3
5-6
5i
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu VI
+) Theo BĐT Côsi ta có 0<xy≤ ⇒ =14 t (xy)2∈0; 161
0,25
+) Ta có = + 2+ = + +
2
(xy) t
2 /
0,25
+) B¶ng biÕn thiªn :
t 0 1 16
16
0,25
+) Từ bbt ta có min P 289
16
