Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó.. Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.. Chứ
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi : TOÁN Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ 11
1 (2,5 điểm)
2 Cho hàm số (C) :
2
1
x x y
x
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất
3 Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C’) : y = x3 − 6 x2 + 9 x − 1
4 (1,5 điểm)
5 Giải phương trình: 3 25x− 2 + ( 3 x − 10 ) 5x− 2 = x − 3
6 Giải hệ phương trình:
= +
= +
2 cos
cos
2 sin
sin
y x
y x
7 (1,5 điểm)
8 Giải phương trình:
( cos sin ) log ( cos cos 2 ) 0
log x − x + 1 x + x =
x
x
.
9 Giải bất phương trình: ( x3 + 1 ) ( + x2 + 1 ) + 3 x x + 1 > 0
10 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó.
11 (2 điểm)
12 Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 = 0
Tìm toạ độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC là tam giác đều.
13 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.
14 (2,5 điểm).
15 Tính :
2 3
sin
cos
x
π
16 Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng:
2
a b c
a bc b ac c ab abc
+ +
Trang 23 Cho z =
i
− +
, Hãy tính :
; z; z ;(z) ;1 z z
(Hết)
Trang 3HƯỚNG DẪN GIẢI: ( đề số 11 )
b Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất 0,75
v1
1
=
+
−
=
y Y
x
0.25 TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = 0 T = d(M, d) + d(M, d’) = ⇒
4 7
X Y
X
−
Dấu "=" xảy ra ⇔
4
| |
| | 2
X
X
2
0.5
•1 Gọi M(2; m) ∈ d 1 : x = 2 Khi đó đt d ∋ M
⇒ d: y = k(x -2) + m Để đt d tiếp xúc với
(C’) ⇔ hệ:
= +
−
+
−
=
− +
−
k x
x
m x
k x
x x
9 12 3
2 1
9 6 2
2 3
có nghiệm
0,25
⇔ 2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm.
•1 Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1)
•2 Xét hàm số y = 2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m
⇒ y’ = 6(x-2) 2≥ 0 ∀x ⇒ Hàm luôn đồng biến ⇒ Pt (1) luôn có nghiệm
duy nhất ⇒ từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến đến
đồ thị (C’).
0,5
( 3 5 1 ) ( 3 5 1 ) ( 3 3 5 1 ) 0 5
3 5
10 3 25
3
2 2
2 2
2 2
=
−
−
− +
−
⇔
−
=
− +
−
−
−
−
−
−
x x
x x
x x
x
x x
0.25
( ) ( )
=
− +
=
−
⇔
=
− +
−
⇔
−
−
−
−
2 0 3 5
1 0
1 5
3
0 3 5
1 5
3 2 2
2 2
x
x
x x
x x
3
1 log 2 3
1 5
1 ⇔ x− 2 = ⇔ x = + 5 = − 5
0.25
Trang 4( ) 2 ⇔ 5x− 2 = − x + 3
Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x
= 2 nên là nghiệm duy nhất.
Vậy Pt có nghiệm là: x = 2 − log53 và x = 2 0.25
⇒
= +
= +
2 2 cos
sin cos
sin 2
cos cos
2 sin
sin
y y
x x
y x
y x
0.25
+
=
+
=
⇔
=
−
=
−
⇔
=
− +
−
π π
π π
π
π π
π
2 4
2 4 1
4 cos
1 4
cos 2
4
cos 4
cos
l y
k x
y
x y
Thử lại thấy đúng nên:
+
=
+
=
π π
π π
2 4
2 4
l y
k x
là nghiệm của hệ phương trình.
0.25
( cos sin ) log ( cos cos 2 ) 0
log x − x + 1 x + x =
x x
Điều kiện:
>
+
>
−
≠
<
0 2 cos cos
0 sin cos
1 0
x x
x x
x
Khi đó Pt
+
=
⇔
−
=
⇔
2
cos 2
cos sin
2
0.25
Trang 5
+
−
=
+
=
⇔
+
−
−
=
+ +
=
⇔
3
2 6
2 2
2 2
2
2 2
2
π π
π π
π π
π π
k x
k x
k x
x
k x
x
Kết hợp với điều kiện ta được: 3
2 6
π
x = − +
(Với k N*) ∊
0.25
( x3 + 1 ) ( + x2 + 1 ) + 3 x x + 1 > 0 ⇔ ( x3 + x2) + 3 x3 + x2 + 2 > 0
0 2 3
2 + + >
2
1 ≥ − +
2
2
t
t t
≥ −
< −
0.25
Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả C tập con gồm 5 chữ số 105
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau Vậy có tất
1 Xác định tọa độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC đều 1.0
Để ∆ABC là tam giác đều ⇒ đường cao MC = AB 3/2= 6
Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M(1; 0; - 2).
Gọi (Q) là mf đi qua M và vuông góc với AB
⇒ (Q): x + z + 1 = 0
0,25
Gọi d = (P) n (Q) ⇒
+
=
=
−
−
=
⇔
= + +
=
− +
−
t z
t y
t x
z x
z y x d
2 1
2 2 0
1
0 1 7 8 3 :
⇒ C ∈ d ⇒ C(-2 - 2t; t; 1 + 2t)
0,25
Trang 6( ) ( ) ( )
2 2 1 2; 2; 3 , ; ;
3 3 3
uuur
0,25
0.25
2 Xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện 1.0 Lấy E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC ta có:
GE = GF = c/2 ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) FA = FB ⇒
2 2
4
2
2
FB
FE là trung tuyến của ∆FAB nên:
2
2 2
2 c a
Gọi α là góc tạo bởi AD và BC ta có :
2
| 2
2
|
2
|
|
| , cos
|
2 2 2 2 2
2 2
c
a c b c
GF GE
FE GF
GE GF
GE
− +
−
=
− +
=
=
α
2
2
|
c
b
a −
=
2
| cos
c
b
a −
= α
0.25
Trang 7Tương tự nếu gọi β, γ lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và
2
| cos
a
c
b −
=
β
2
| cos
b
a
c −
=
Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả C tập con gồm 5 chữ số 95
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau Vậy có tất
0,25
/ 4
/ 4 4
0
π π
π
Trang 82 0
2 2
J = ∫ x x − x + dx
Đặt: x - 1 = tgt
2 2
1
dt
+
0,25
0
3 4
2
sin
1 2 2
1 4
t u
t
du
π
=
− + +
0,25
1
2
+
0,25
2
1 1
1
2 2
c b a ab c
ac b
bc a
+ +
≤ +
+ +
+ +
ca b ca b ca b ca b
bc a bc a bc a bc a
2
1 1
2
2
1 1
2
2
1 1
2
2 2
2 2
2 2
≤ +
⇒
≥ +
≤ +
⇒
≥ +
≤ +
⇒
≥ +
0.5
Trang 92 2 2
.
b c c a a b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
0.5