Toán Rời Rạc - Phạm Tiến Sơn pps

trong h`ınh ho.c Euclid, kh´ai niˆe.m tˆa.p ho.... C´o bao nhiˆeu tˆa.p ho.. ac trˆo´ng v`a khˆong pha˙’i tˆa.p ho.. Ch´u.ng minh rˇa`ng ho.. Ch´u.ng minh tˆa.p ho.. Ch´u.ng minh tˆa.p h

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT

KHOA TOÁN - TIN HỌC

Y Z

PHẠM TIẾN SƠN

TOÁN RỜI RẠC 1

(Bài Giảng Tóm Tắt)

Lưu hành nội bộ

Mu c lu c

1.1 Tˆa.p ho p 1

1.1.1 Kh´ai niˆe.m 1

1.1.2 C´ac ph´ep to´an trˆen tˆa.p ho p 3

1.1.3 T´ıch Descartes 5

1.2 Anh xa .´ 8

1.2.1 D- i.nh ngh˜ıa v`a t´ınh chˆa´t 8

1.2.2 Anh xa ha.n chˆe´ ´ 10

1.2.3 Ho p cu˙’a c´ac ´anh xa 11

1.2.4 Anh xa ngu´ o c 12

1.2.5 Lu c lu.o ng cu˙’a mˆo.t tˆa.p ho p 12

2 LOGIC V ` A C ´ AC PHU . O . NG PH ´ AP CH ´ U . NG MINH 17 2.1 Mˆe.nh d¯ˆe` 17

2.2 Mˆe.nh d¯ˆe` c´o d¯iˆ` u kiˆe.n v`a c´ac mˆe.nh d¯ˆee ` tu.o.ng d¯u.o.ng 20

2.3 Lu.o ng h´oa 23

2.4 Phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh 26

2.5 Quy na.p to´an ho.c 31

3 THU ˆ A T TO AN ´ 33 3.1 Mo.˙’ d¯ˆ` u a 33 3.1.1 T`ım sˆo´ l´o.n nhˆa´t trong ba sˆo´ 33

3.1.2 T`ım sˆo´ l´o.n nhˆa´t trong d˜ay h˜u.u ha.n c´ac sˆo´ thu c 33

3.2 Thuˆa.t to´an Euclid 35

3.2.1 Thuˆa.t to´an Euclid 37

3.3 Thuˆa.t to´an d¯ˆe quy 39

3.3.1 T´ınh n giai th`u.a 39

3.3.2 T`ım u.´o.c sˆo´ chung l´o.n nhˆa´t 40

3.3.3 Thuˆa.t to´an x´ac d¯i.nh d˜ay Fibonacci 41

3.4 D- ˆo ph´u.c ta.p cu˙’a thuˆa.t to´an 43

3.5 Phˆan t´ıch thuˆa.t to´an Euclid 48

4 PH´ EP D - ˆ E ´M 51 4.1 C´ac nguyˆen l´y co ba˙’n cu˙’a ph´ep d¯ˆe´m 51

4.1.1 Nguyˆen l´y tˆo˙’ng 51

4.1.2 Nguyˆen l´y t´ıch 52

4.1.3 Nguyˆen l´y bao h`am-loa.i tr`u 54

4.2 Ho´an vi v`a tˆo˙’ ho p 57

4.3 C´ac thuˆa.t to´an sinh ra ho´an vi v`a tˆo˙’ ho p 62

4.4 Ho´an vi v`a tˆo˙’ ho p suy rˆo.ng 66

4.5 Hˆe sˆo´ cu˙’a nhi th´u.c v`a c´ac d¯ˆo`ng nhˆa´t th´u.c 73

4.6 Nguyˆen l´y chuˆ`ng chim bˆo ` cˆo au 77

4.6.1 Nguyˆen l´y chuˆ`ng chim bˆo ` cˆo au (da.ng th´u nhˆa´t) 77

4.6.2 Nguyˆen l´y chuˆ`ng chim bˆo ` cˆo au (da.ng th´u hai) 78

4.6.3 Nguyˆen l´y chuˆ`ng chim bˆo ` cˆo au (da.ng th´u ba) 80

5 QUAN Hˆ E . 85 5.1 Quan hˆe hai ngˆoi 85

5.2 Quan hˆe v`a ma trˆa.n 90

5.3 Quan hˆe th´u tu 96

5.4 Quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng 104

5.5 Bao d¯´ong cu˙’a quan hˆe 110

5.6 Lattice cu˙’a c´ac phˆan hoa.ch 116

5.6.1 Thuˆa.t to´an x´ac d¯i.nh hˆo.i cu˙’a hai phˆan hoa.ch 118

5.6.2 Thuˆa.t to´an x´ac d¯i.nh tuyˆe˙’n cu˙’a hai phˆan hoa.ch 119

6 D - A I S O ˆ ´ BOOLE 123 6.1 Lattice 123

6.2 Lattice phˆan bˆo´ 132

6.3 D- a.i sˆo´ Boole 137

6.4 H`am Boole 145

6.5 Biˆe˙’u diˆ˜n c´ac h`am Boole qua hˆe tuyˆe˙’n, hˆo.i v`a phu˙’ d¯i.nh 149e 6.6 Biˆe˙’u diˆ˜n tˆo´i thiˆe˙’u cu˙’a h`am Boole 152e 6.6.1 Kh´ai niˆe.m 152

6.6.2 Phu.o.ng ph´ap ba˙’n d¯ˆ` Karnaugh 153o 7 M ˜ A TUYˆ E ´N T´INH 159 7.1 Mo.˙’ d¯ˆ` u 159a 7.1.1 Kh´ai niˆe.m 159

7.1.2 M˜a ph´at hiˆe.n lˆo˜i 160

7.1.3 M˜a su.˙’ a sai 161

7.2 C´ac kh´ai niˆe.m 162

7.3 Khoa˙’ng c´ach Hamming 170

7.4 Hˆo.i ch´u.ng 178

7.4.1 Gia˙’i m˜a d`ung ba˙’ng chuˆa˙’n 179

7.5 M˜a ho`an ha˙’o 182

7.6 M˜a Hamming 184

MO ˙’ D . - ˆ ` U A

To´an ho.c r`o.i ra.c l`a mˆo.t bˆo phˆa.n cu˙’a To´an ho.c nhˇa`m nghiˆen c´u.u c´ac d¯ˆo´i tu.o ng r`o.i ra.c:nghiˆen c´u.u c´ac cˆa´u tr´uc r`o.i ra.c kh´ac nhau v`a c´ac phu.o.ng ph´ap gia˙’i c´ac vˆa´n d¯ˆe` c´o liˆen quan

d¯ˆe´n c´ac cˆa´u tr´uc n`ay

Thˆong tin lu.u tr˜u v`a vˆa.n h`anh trong m´ay t´ınh du.´o.i da.ng c´ac t´ın hiˆe.u r`o.i ra.c (c´ac m´ayt´ınh liˆen tu.c chı˙’ l`a c´ac m´ay t´ınh tu.o.ng tu , chuyˆen du.ng) V`ı vˆa.y cˆong cu d`ung d¯ˆe˙’ biˆe˙’u diˆe˜nthˆong tin trong m´ay v`a xu.˙’ l´y c´ac thˆong tin n`ay l`a To´an ho.c r`o.i ra.c

Ngo`ai ra, c´ac phu.o.ng ph´ap v`a kˆe´t qua˙’ cu˙’a To´an ho.c r`o.i ra.c c´o thˆe˙’d`ung d¯ˆe˙’gia˙’i quyˆe´t tru ctiˆe´p nhiˆ` u vˆe a´n d¯ˆ` d¯ˇe a.t ra cu˙’a Tin ho.c nhu logic, h`am d¯a.i sˆo´ logic, tˆo˙’ ho p trˆen t`u To´anho.c r`o.i ra.c chuˆa˙’n bi sˇa˜n v`a cung cˆa´p c´ac cˆong cu., phu.o.ng ph´ap luˆa.n d¯ˆe˙’ gia˙’i quyˆe´t nhiˆe`u

vˆa´n d¯ˆ` cu˙’a Tin ho.c C´o thˆe˙’ n´oi To´an ho.c r`o.i ra.c l`a ng`anh To´an ho.c co so.˙’ cho Tin ho.c.eMu.c d¯´ıch cu˙’a gi´ao tr`ınh nhˇa`m cung cˆa´p mˆo.t sˆo´ cˆong cu To´an ho.c d¯ˆe˙’ bu.´o.c d¯ˆa`u d¯i v`aoTin ho.c Gi´ao tr`ınh d¯u.o c tr`ınh b`ay mˆo.t c´ach d`an tra˙’i ho.n l`a d¯i sˆau v`ao mˆo.t vˆa´n d¯ˆe` cu thˆe˙’.Cuˆo´i mˆo˜i phˆa` n c´o c´ac b`ai tˆa.p nhˇa`m cu˙’ng cˆo´ nh˜u.ng kiˆe´n th´u.c d¯˜a ho.c Hy vo.ng rˇa`ng gi´aotr`ınh n`ay d¯´ap ´u.ng d¯u.o. c phˆ` n n`a ao yˆeu cˆ` u ho.c tˆa.p cu˙’a c´ac ba.n sinh viˆen.a

D- `a La.t, ng`ay 11 th´ang 2 nˇam 2008

Pha.m Tiˆe´n So.n

Chu.o.ng 1

1.1 Tˆ a.p ho p .

1.1.1 Kh´ ai niˆ e.m

Mˆo.t kh´ai niˆe.m co ba˙’n cu˙’a to´an ho.c hiˆe.n d¯a.i l`a kh´ai niˆe.m tˆa.p ho p.

C˜ung giˆo´ng nhu d¯iˆe˙’m, d¯oa.n thˇa˙’ng, mˇa.t phˇa˙’ng, trong h`ınh ho.c Euclid, kh´ai niˆe.m tˆa.p

ho. p khˆong d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa m`a chı˙’ d¯u.o c mˆo ta˙’ bˇa`ng nh˜u.ng v´ı du Chˇa˙’ng ha.n, tˆa.p ho p c´acs´ach trong thu viˆe.n, tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ thu. c, tˆa.p ho p c´. ac d¯a th´u.c bˆa.c hai, v.v

C´ac vˆa.t ta.o nˆen mˆo.t tˆa.p ho p go.i l`. a c´ac phˆ ` n tu a ˙’ cu˙’a tˆa.p ho p ˆ. a´y C´o hai c´ach x´ac d¯i.nh

mˆo.t tˆa.p ho p:.

(a) Liˆ e.t kˆe danh s´ach c´ac phˆa ` n tu ˙’ cu˙’a n´ o Chˇa˙’ng ha.n, tˆa.p ho p gˆ. `m c´o ac phˆ` n tu.a ˙’ a, b, c, d

thu.`o.ng d¯u.o. c viˆe´t

{a, b, c, d}.

(b) Nˆ eu lˆ en t´ınh chˆ a´t d ¯ˇ a c tru ng cu˙’a c´ac phˆa ` n tu ˙’ cu˙’a tˆ a p ho p Chˇ . a˙’ng ha.n, tˆa.p ho p {1, 3}.

c´o thˆe˙’ mˆo ta˙’ l`a tˆa.p ho p hai sˆ. o´ tu. nhiˆen le˙’ nho˙’ nhˆa´t hay tˆa.p ho p c´. ac nghiˆe.m cu˙’aphu.o.ng tr`ınh bˆa.c hai x2− 4x + 3 = 0.

K´y hiˆe.u x ∈ A (v`a d¯o.c l`a x thuˆo.c A) c´o ngh˜ıa x l`a phˆa` n tu.˙’ cu˙’a tˆa.p ho p A Khi x khˆ. ong

pha˙’i l`a phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a tˆa.p ho p A ta viˆ. e´t x 6∈ A (v`a d¯o.c l`a x khˆong thuˆo.c A) Chˇa˙’ng ha.n, nˆe´u

go.i N l`a tˆa.p c´ac sˆo´ tu nhiˆ. en th`ı 7 ∈ N nhu.ng 125 6∈ N.

Ch´ u ´ y 1. (a) D- ˆe˙’ d¯o.n gia˙’n, d¯ˆoi khi ta chı˙’ d`ung t`u “tˆa.p” thay cho cu.m t`u “tˆa.p ho p”.(b) K´y hiˆe.u := thu.`o.ng d`ung d¯ˆe˙’ d¯u.a v`ao d¯i.nh ngh˜ıa, n´o thay cho cu.m t`u “d¯i.nh ngh˜ıa bo.˙’i”.Chˇa˙’ng ha.n, N := {0, 1, 2, }.

(c) Ta thu.`o.ng d`ung k´y hiˆe.u | d¯ˆe˙’ diˆe˜n d¯a.t ´y “sao cho” (hoˇa.c “trong d¯´o”) Chˇa˙’ng ha.n, tˆa.p

ho. p tˆa´t ca˙’ c´ac sˆo´ tu. nhiˆen chˇa˜n c´o thˆe˙’ mˆo ta˙’ nhu sau:

{n ∈ N | n chia hˆ e´t cho 2}.

V´ ı du 1.1.1 Mˆo.t v`ai tˆa.p ho p sˆ. o´ thu.`o.ng gˇa.p:

(a) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ tu. nhiˆen N := {0, 1, 2, }.

(b) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ nguyˆen du.o.ng P := {1, 2, }.

(c) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ nguyˆen Z := {0, 1, −1, 2, −2, }.

(d) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ h˜u.u tı˙’ Q := { p q | p, q ∈ Z, q 6= 0}.

(e) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ thu. c R.

(f) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ ph´u.c C := {a +

√

−1b | a, b ∈ R}.

Mˆo.t tˆa.p ho p khˆ. ong c´o phˆ` n tu.a ˙’ n`ao ca˙’ go.i l`a tˆa.p ho p trˆ. o´ng (hay rˆ o ˜ng) v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a

∅ Chˇa˙’ng ha.n tˆa.p ho p gˆ. `m c´o ac nghiˆe.m sˆo´ thu c cu˙’a phu. .o.ng tr`ınh bˆa.c hai x2+ 1 = 0 l`a mˆo.t

tˆa.p ho p trˆ. o´ng.

Tˆa.p ho p B go.i l`. a tˆ a p ho p con cu˙’a tˆ . a.p ho p A nˆ. e´u mo.i phˆa` n tu.˙’ cu˙’a tˆa.p ho p B d. ¯ˆ` u l`e aphˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a tˆa.p ho p A; trong tru. .`o.ng ho p n`ay ta k´y hiˆe.u B ⊆ A hay A ⊇ B Hiˆe˙’n nhiˆen

A ⊆ A Ho.n n˜u.a, d¯ˆe˙’ thuˆa.n tiˆe.n, ta thu.`o.ng coi tˆa.p ho p trˆo´ng l`a mˆo.t tˆa.p ho p con cu˙’a tˆa.p

bˆa´t k`y, t´u.c l`a ∅ ⊆ A v´o.i mo.i tˆa.p ho p A Hai tˆ. a.p ho p A v`. a B go.i l`a bˇa`ng nhau nˆe´u B ⊆ A

v`a A ⊆ B; khi d¯´o ta viˆe´t A = B Nˆ e´u B ⊆ A nhu.ng A 6= B ta n´ oi B l` a tˆ a p ho p con thu . c .

su cu˙’a tˆa.p ho p A v`. a viˆe´t B A.

Mˆo.t tˆa.p ho p m`. a phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a n´o l`a nh˜u.ng tˆa.p ho p thu. `o.ng d¯u.o c go.i l`a mˆo.t ho c´ac tˆa.p

ho. p, hoˇa.c mˆo.t hˆe c´ac tˆa.p ho p N´. oi c´ach kh´ac, “tˆa.p ho p”, “ho.”, “hˆ. e.” l`a nh˜u.ng thuˆa.t ng˜u

d¯ˆ`ng ngh˜ıa.o

D- ˆe˙’ nˆeu lˆen danh s´ach c´ac tˆa.p ho p cu˙’a mˆo.t ho tˆa.p ho p A, ta h˜ay go.i mˆo˜i tˆa.p ho p cu˙’a A

l`a A i; k´y hiˆe.u i d¯u o c go.i l`a chı˙’ sˆo´ d¯ˆe˙’ d¯´anh dˆa´u tˆa.p ho p ˆa´y, hai tˆa.p ho p kh´ac nhau cu˙’a ho.

A d¯u.o. c d¯´anh dˆa´u bo.˙’ i hai chı˙’ sˆo´ kh´ac nhau Nˆe´u I l`a tˆa.p ho p tˆ. a´t ca˙’ c´ac chı˙’ sˆo´ d¯˜a d`ung d¯ˆe˙’

d¯´anh dˆa´u c´ac tˆa.p ho p cu˙’a ho A th`ı ta c´. o thˆe˙’ viˆe´t

Cho tru.´o.c c´ac tˆa.p A v`a B ta c´o thˆe˙’ th`anh lˆa.p c´ac tˆa.p m´o.i bˇa`ng c´ac ph´ep to´an sau:

D- i.nh ngh˜ıa 1.1.1 Ho p cu˙’a hai tˆa.p A v`a B l`a mˆo.t tˆa.p ho p, k´y hiˆe.u A ∪ B, gˆo`m tˆa´t ca˙’ c´ac

phˆ` n tu.a ˙’ hoˇa.c thuˆo.c A hoˇa.c thuˆo.c B (hoˇa.c thuˆo.c ca˙’ hai).

Giao cu˙’a hai tˆ a.p A v`a B l`a mˆo.t tˆa.p ho p, k´. y hiˆe.u A ∩ B, gˆo`m tˆa´t ca˙’ c´ac phˆ` n tu.a ˙’ v`u.athuˆo.c A v`u a thuˆo.c B.

Hiˆ e.u cu˙’a tˆa.p ho p A v´. o.i tˆa.p ho p B l`. a mˆo.t tˆa.p ho p, k´. y hiˆe.u A \ B, gˆo`m tˆa´t ca˙’ c´ac phˆ` na

tu.˙’ thuˆo.c A nhu ng khˆong thuˆo.c B.

Hiˆ e.u d¯ˆo´i x´u ng cu˙’a hai tˆa.p ho p A v`a B l`a tˆa.p ho p

A ∆ B := (A \ B) ∪ (B \ A).

Nhˆ a.n x´et 1 (a) Mˆo.t c´ach tu.o.ng tu , c´o thˆe˙’ d¯i.nh ngh˜ıa ho p ∪ i∈I A i v`a giao ∩ i∈I A i cu˙’a

mˆo.t ho tˆa.p ho p A := {A. i | i ∈ I}.

(b) Ta luˆon c´o A ∆ B = B ∆ A Nhu.ng nhu v´ı du du ´o.i d¯ˆay chı˙’ ra, n´oi chung A\B 6= B \A.

V´ ı du 1.1.3 Gia˙’ su˙’ A := {a, b, c, d} v`. a B := {c, d, e} Khi d¯´o

Nˆe´u c´ac tˆa.p ho p A v`. a B c´o giao bˇa`ng trˆo´ng, t´u.c l`a nˆe´u A ∩ B = ∅, th`ı c´ac tˆa.p ho p n`. ay

go.i l`a khˆong c´o phˆa ` n tu ˙’ chung, hoˇ a.c l`a r`o i nhau.

Thu.`o.ng c´ac tˆa.p ho p d. ¯u.o. c x´et t´o.i trong c`ung mˆo.t vˆa´n d¯ˆe` d¯ˆe` u l`a c´ac bˆo phˆa.n cu˙’a mˆo.t tˆa.p

ho. p X cˆo´ d¯i.nh n`ao d¯´o Khi ˆa´y, tˆa.p ho p X n`. ay go.i l`a “khˆong gian” Hiˆe.u X \ A go.i l`a phˆa ` n b` u cu˙’a tˆ a.p A v`a k´y hiˆe.u l`a A c Hiˆe˙’n nhiˆen A v` a A c l`a r`o.i nhau, A \ B = A ∩ B c Ho.n n˜u.a

T´ ınh chˆ a ´t 1.1.3 (Cˆong th´u.c De Morgan) Gia˙’ su ˙’ {A i } i∈I l` a ho c´ ac tˆ a p ho p con cu˙’a khˆ . ong gian X Khi d ¯´ o

Ch´ u.ng minh B`ai tˆa.p 2

D- i.nh ngh˜ıa 1.1.4 Ho c´ac tˆa.p ho p A := {A i | i ∈ I} go.i l`a phu˙’ cu˙’a tˆa.p X nˆe´u X = ∪ i∈I A i

Nˆe´u ngo`ai ra A i 6= ∅ v´ o.i mo.i i ∈ I v`a A i ∩ A j = ∅ v´ o.i mo.i i, j ∈ I, i 6= j, th`ı ta n´oi A l`a mˆo.t

phˆ an hoa ch cu˙’a tˆ a.p X.

V´ ı du 1.1.6 D- ˇa.t A1 (tu.o.ng ´u.ng, A2) l`a tˆa.p c´ac sˆo´ nguyˆen chˇa˜n (tu.o.ng ´u.ng, le˙’) Khi d¯´o

{A1, A2} l`a mˆo.t phˆan hoa.ch cu˙’a tˆa.p c´ac sˆo´ nguyˆen Z.

d¯u.o. c x´ac d¯i.nh nhu sau: tˆa´t ca˙’ c´ac phˆa`n tu.˙’ cu˙’a n´o c´o da.ng x := (x i)i∈I v´o.i x i ∈ A i Khi d¯´o,

x i go.i l`a th`anh phˆa ` n (hay to.a d¯ˆo.) th´u i cu˙’a x.

T´ıch cu˙’a mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n c´ac tˆa.p ho p A i , i = 1, 2, , n, thu.`o.ng d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a

Nˆe´u A1= A2 = · · · = A n = A th`ı t´ıch A × A × · · · × A (A c´o mˇa.t n lˆa` n) thu.`o.ng d¯u.o. c k´yhiˆe.u l`a A n

Ch´u ´y rˇa`ng, n´oi chung, A × B 6= B × A D˜ı nhiˆen A × ∅ = ∅.

V´ ı du 1.1.7 Gia˙’ su˙’ A := {1, 2}, B = {a, b, c} Khi d¯´. o

A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)},

B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)},

A × A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

B` ai tˆ a p

1 Gia˙’ su.˙’ X := {1, 2, , 10} D - ˇa.t A := {1, 4, 7, 10}, B := {1, 2, 3, 4, 5} v`a C := {2, 4, 6, 8}.

Liˆe.t kˆe c´ac phˆa` n tu.˙’ cu˙’a mˆo˜i tˆa.p ho p sau:

5 K´y hiˆe.u P(X) l`a tˆa.p ho p m`. a c´ac phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a n´o l`a c´ac tˆa.p con cu˙’a X Liˆe.t kˆe tˆa´t ca˙’

c´ac phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a P({a, b}) v` a P({a, b, c}).

6 Gia˙’ su.˙’ X c´o 10 phˆ` n tu.a ˙’ C´o bao nhiˆeu tˆa.p ho p con thu. c su. cu˙’a tˆ. a.p ho p X? Tˆ. o˙’ng

qu´at?

7 Gia˙’ su.˙’ X v` a Y l`a c´ac tˆa.p ho p kh´. ac trˆo´ng sao cho X × Y = Y × X C´ac tˆa.p ho p X v`. a

Y pha˙’i tho˙’a nh˜u.ng d¯iˆ` u kiˆe.n g`ı?e

8 Ch´u.ng minh hoˇa.c cho pha˙’n v´ı du c´ac quan hˆe (A, B, C l`a nh˜u.ng tˆa.p ho p con cu˙’a tˆa.p

10 T`ım hiˆe.u d¯ˆo´i x´u.ng cu˙’a hai tˆa.p ho p A := {1, 2, 3} v`a B := {2, 3, 4, 5}.

11 Gia˙’ su.˙’ C l`a mˆo.t d¯u.`o.ng tr`on v`a A l`a tˆa.p tˆa´t ca˙’ c´ac d¯u.`o.ng k´ınh cu˙’a d¯u.`o.ng tr`on C.

X´ac d¯i.nh ∩ A∈A A.

12 K´y hiˆe.u P l`a tˆa.p ho p tˆ. a´t ca˙’ c´ac sˆo´ nguyˆen l´o.n ho.n 1 V´o.i mˆo˜i sˆo´ tu. nhiˆen i ≥ 2, d¯ˇa.t

1.2.1 D - i.nh ngh˜ıa v`a t´ınh chˆa´t

Mˆo.t kh´ai niˆe.m co ba˙’n kh´ac cu˙’a to´an ho.c hiˆe.n d¯a.i l`a kh´ai niˆe.m ´anh xa., mo.˙’ rˆo.ng kh´ai niˆe.m

h`am sˆo´

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.1 Cho X v`a Y l`a hai tˆa.p ho p bˆa´t k`y Mˆo.t ´anh xa (hay h`am sˆo´) t`u tˆa.p

ho. p X v`ao tˆa.p ho p Y l`. a mˆo.t tu.o.ng ´u.ng mˆo˜i phˆa`n tu.˙’ cu˙’a X mˆo.t phˆa`n tu.˙’ x´ac d¯i.nh cu˙’a Y.

Gia˙’ su.˙’ f l`a mˆo.t ´anh xa t`u tˆa.p ho p X v`ao tˆa.p ho p Y Khi d¯´o ta viˆe´t f : X → Y ; nˆe´u

x ∈ X th`ı f (x) chı˙’ phˆ` n tu.a ˙’ cu˙’a Y tu.o.ng ´u.ng v´o.i phˆ` n tu.a ˙’ x d¯´o v`a ta viˆe´t x 7→ f (x); phˆ` na

tu.˙’ f (x) go.i l`a a˙’nh cu˙’a phˆa` n tu.˙’ x qua ´ anh xa f, hay l`a gi´a tri cu˙’a h`am f ta.i x Tˆa.p ho p.

{(x, y) ∈ X × Y | y = f (x)}

go.i l`a d¯ˆo ` thi cu˙’a ´anh xa f v`a k´y hiˆe.u l`a graph(f).

V´ ı du 1.2.1 Tu.o.ng ´u.ng mˆo˜i sˆo´ thu c x v´o.i mˆo.t sˆo´ thu c x3 cho ta mˆo.t ´anh xa f : R →

R, x 7→ x3.

Cho tru.´o.c mˆo.t tˆa.p ho p A ⊆ X th`ı tˆ. a.p ho p.

f (A) := {f (x) | x ∈ A}

go.i l`a a˙’nh cu˙’a tˆa.p ho p A qua ´. anh xa f D - ˇa.c biˆe.t, tˆa.p ho p f(X) go.i l`a miˆe ` n gi´ a tri cu˙’a f.

Dˆe˜ d`ang ch´u.ng minh rˇa`ng:

T´ ınh chˆ a´t 1.2.2 Gia˙’ su. ˙’ f : X → Y l` a mˆ o t ´ anh xa t` u tˆ a p ho p X v` . ao tˆ a p ho p Y Khi d . ¯´ o

(a) Nˆ e´u A ⊂ B ⊂ X th`ı f (A) ⊂ f (B).

(b) Nˆ e´u A i , i ∈ I, l` a mˆ o t ho c´ ac tˆ a p ho p con cu˙’a tˆ . a p ho p X th`ı .

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.3 Gia˙’ su.˙’ f : X → Y l`a mˆo.t ´anh xa t`u tˆa.p ho p X v`ao tˆa.p ho p Y.

(a) ´Anh xa f go.i l`a mˆo.t-mˆo.t (hoˇa.c d¯o n ´anh) nˆe´u v´o.i mo.i x, x 0 ∈ X m` a x 6= x 0 th`ı

f (x) 6= f (x 0 ).

(b) f go.i l`a ´anh xa lˆen (hoˇa.c to`an ´anh) nˆe´u f(X) = Y.

(c) f go.i l`a mˆo.t-mˆo.t lˆen (hoˇa.c song ´anh) nˆe´u f d¯ˆo`ng th`o.i l`a mˆo.t-mˆo.t v`a l`a lˆen; n´oi c´achkh´ac, v´o.i mˆo˜i phˆa` n tu.˙’ y ∈ Y c´o duy nhˆa´t mˆo.t phˆa` n tu.˙’ x ∈ X sao cho f (x) = y.

V´ ı du 1.2.2 (a) Anh xa.´

l`a mˆo.t-mˆo.t v`a lˆen

V´o.i mˆo.t ´anh xa t`uy ´y f : X → Y v`a v´o i mˆo.t tˆa.p ho p B ⊆ Y, tˆa.p ho p

{x ∈ X | f (x) ∈ B}

go.i l`a nghi.ch a˙’nh cu˙’a tˆa.p ho p B qua ´. anh xa f v`a d¯u o c k´y hiˆe.u l`a f −1 (B) R˜o r`ang f −1 (Y ) =

X v` a f −1 (∅) = ∅, nhu.ng c´o thˆe˙’ xa˙’y ra rˇa`ng ∅ 6= B ⊂ Y v`a f −1

(B) = ∅.

1 Phˆ ` n nguyˆen cu˙’a sˆ a o´ thu. c x, k´y hiˆ e.u [x], l`a sˆo´ nguyˆen l´o n nhˆa´t khˆong vu.o t qu´a x.

Nˆe´u tˆa.p ho p B ⊂ Y chı˙’ gˆ. `m c´o o mˆo.t phˆa` n tu.˙’ y, t´u.c l`a B = {y}, th`ı thay cho k´y hiˆe.u

f −1 ({y}) ta thu.`o.ng k´y hiˆe.u vˇa´n tˇa´t l`a f −1 (y).

Dˆe˜ d`ang ch´u.ng minh rˇa`ng:

T´ ınh chˆ a´t 1.2.4 Gia˙’ su. ˙’ f : X → Y l` a mˆ o t ´ anh xa t` u tˆ a p ho p X v` . ao tˆ a p ho p Y Khi d . ¯´ o

n´oi chung khˆong d¯´ung

1.2.2 Anh xa ha.n chˆe´ ´

Gia˙’ su.˙’ f : X → Y l`a mˆo.t ´anh xa t`u tˆa.p ho p X v`ao tˆa.p ho p Y v`a gia˙’ su.˙’ Z l`a mˆo.t tˆa.p ho p con cu˙’a X ´Anh xa

(a) Nˆe´u f l`a mˆo.t-mˆo.t th`ı f| Z c˜ung l`a mˆo.t-mˆo.t

(b) V´o.i mo.i tˆa.p ho p con B cu˙’a Y ta d. ¯ˆ` u c´e o

(f | Z)−1 (B) = f −1 (B) ∩ Z.

1.2.3 Ho p cu˙’a c´ ac ´ anh xa.

Gia˙’ su.˙’ X, Y v` a Z l`a ba tˆa.p ho p v`. a ta c´o c´ac ´anh xa

f : X → Y, g : Y → Z.

Khi d¯´o c´o thˆe˙’ thiˆe´t lˆa.p ´anh xa

g ◦ f : X → Z, x 7→ g[f (x)].

´

Anh xa g ◦ f d¯u o c go.i l`a ho p cu˙’a c´ac ´anh xa f v`a g.

V´ ı du 1.2.3 Cho hai ´anh xa

f : R → R, x 7→ x2,

g : R → R, y 7→ y − 1.

Ta c´o ´anh xa ho p.

g ◦ f : R → R, x 7→ x2− 1.

T`u d¯i.nh ngh˜ıa dˆe˜ d`ang suy ra

T´ ınh chˆ a´t 1.2.5 Cho hai ´ anh xa .

f : X → Y, g : Y → Z.

(a) Nˆ e´u f v` a g l` a mˆ o t-mˆ o t (tu o.ng ´u.ng, lˆen, mˆo.t-mˆo.t lˆen) th`ı ´anh xa ho p g ◦ f c˜ung l`a

mˆ o t-mˆ o t (tu o.ng ´u.ng, lˆen, mˆo.t-mˆo.t lˆen).

(b) V´ o.i mo i tˆ a p ho p con A cu˙’a X ta d . ¯ˆ ` u c´ e o

(g ◦ f )(A) = g[f (A)].

(c) V´ o.i mo i tˆ a p ho p con C cu˙’a Z ta d . ¯ˆ ` u c´ e o

(g ◦ f ) −1 (C) = f −1 [g −1 (C)].

1.2.4 Anh xa ngu ´ o c

Anh xa g go.i l`a ´anh xa ngu o c cu˙’a f v`a k´y hiˆe.u l`a f −1

Hiˆe˙’n nhiˆen f −1 : Y → X l`a ´anh xa

mˆo.t-mˆo.t lˆen v`a (f −1)−1 = f.

V´ ı du 1.2.4 (a) Anh xa d¯ˆo´ `ng nhˆa´t

id X : X → X, x 7→ x,

l`a ´anh xa mˆo.t-mˆo.t lˆen v`a (id X)−1 = id X

(b) ´Anh xa mˆo.t-mˆo.t v`a lˆen

f : R → R, x 7→ x3,

c´o ´anh xa ngu.o c l`a

f −1 : R → R, y 7→ y13.

T`u d¯i.nh ngh˜ıa dˆe˜ d`ang suy ra

T´ ınh chˆ a´t 1.2.6 (a) Gia˙’ su. ˙’ f : X → Y l` a ´ anh xa mˆ o t-mˆ o t lˆ en Khi d ¯´ o

f −1 ◦ f = id X , f ◦ f −1 = id Y

(b) Nˆ e´u f : X → Y, g : Y → Z l` a nh˜ u.ng ´ anh xa mˆ o t-mˆ o t lˆ en, th`ı ´ anh xa ho p (g ◦f ) : X → Z . c˜ ung mˆ o t-mˆ o t lˆ en v` a

(g ◦ f ) −1 = f −1 ◦ g −1

1.2.5 Lu c lu o ng cu˙’a mˆo.t tˆa.p ho p

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.7 (a) Hai tˆa.p ho p A v`a B go.i l`a c´o c`ung lu c lu.o ng nˆe´u tˆo`n ta.i ´anh xa.

mˆo.t-mˆo.t v`a lˆen f : A → B.

(b) Tˆa.p ho p trˆ. o´ng, tˆa.p ho p {x. 1, x2, , x n } v`a c´ac tˆa.p ho p c`. ung lu. c lu.o ng v´o.i n´o go.i l`a

tˆ a p ho p h˜ . u.u ha n.

(c) Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ tu. nhiˆen N v`a c´ac tˆa.p ho p c`. ung lu. c lu.o ng v´o.i n´o go.i l`a tˆa.p ho p d¯ˆe´m

Gia˙’ su.˙’ A := {x1, x2, , x n } l`a mˆo.t tˆa.p ho p h˜. u.u ha.n kh´ac trˆo´ng sao cho x i 6= x j v´o.i mo.i

i 6= j Khi d¯´o ta n´oi tˆa.p ho p A c´. o n phˆ ` n tu a ˙’ v`a k´y hiˆe.u #A := n Tˆa.p ho p trˆ. o´ng ∅ khˆongc´o phˆ` n tu.a ˙’ n`ao ca˙’, v`ı vˆa.y d¯ˇa.t #∅ := 0 Nˆe´u A l`a tˆa.p ho p kh´. ac trˆo´ng v`a khˆong pha˙’i tˆa.p ho p.h˜u.u ha.n, d¯ˇa.t #A := +∞.

B` ai tˆ a p

1 Gia˙’ su.˙’ X := {1, 2, 3}, Y := {a, b, c, d}, Z := {w, x, y, z} X´et c´ac ´anh xa f : X → Y v`a

g : Y → Z cho bo.˙’ i

f (1) = b, f (2) = c, f (3) = a, g(a) = x, g(b) = x, g(c) = z, g(d) = w.

X´ac d¯i.nh ´anh xa ho p f ◦ g..

2 Gia˙’ su.˙’ f : X → N, x 7→ x2, v´ o.i X := {−5, −4, , 4, 5} f l`a ´anh xa mˆo.t-mˆo.t? f l`a

´

anh xa lˆen?

3 C´o bao nhiˆeu ´anh xa t`u tˆa.p {a, b} v`ao tˆa.p {1, 2} Nh˜u.ng ´anh xa n`ao l`a mˆo.t-mˆo.t?

Nh˜u.ng ´anh xa n`ao l`a lˆen?

4 Gia˙’ su.˙’ X := {a, b, c} v` a f : X → X cho bo.˙’ i

f (a) = b, f (b) = a, f (c) = b.

D- i.nh ngh˜ıa d˜ay c´ac ´anh xa f n

: X → X, n = 1, 2, , bo ˙’ i f1

:= f v` a f n := f n−1 ◦ f

v´o.i mo.i n ≥ 2 H˜ay x´ac d¯i.nh c´ac ´anh xa f2, f3, f9, f789.

5 Gia˙’ su.˙’ X := {0, 1, 2, 3, 4} v`a ´anh xa f : X → X x´ac d¯i.nh bo˙’ i.

f (x) := 4x mod 5.

f l`a ´anh xa mˆo.t-mˆo.t? f l`a ´anh xa lˆen?

6 Gia˙’ su.˙’ m, n l`a c´ac sˆo´ nguyˆen du.o.ng Gia˙’ su.˙’ X := {0, 1, 2, , m − 1} X´et ´anh xa

f : X → X cho bo.˙’ i

f (x) := nx mod m.

T`ım nh˜u.ng d¯iˆ` u kiˆe.n cu˙’a m v`a n d¯ˆe˙’ f l`a ´anh xa mˆo.t-mˆo.t v`a lˆen?e

7 Cho c´ac ´anh xa f : X → Y v`a g : Y → Z Ch´u.ng minh hoˇa.c cho pha˙’n v´ı du c´ac ph´atbiˆe˙’u sau:

(a) Nˆe´u g l`a mˆo.t-mˆo.t th`ı g ◦ f l`a mˆo.t-mˆo.t.

(b) Nˆe´u f v` a g l`a lˆen th`ı g ◦ f l`a lˆen

(c) Nˆe´u f v` a g l`a mˆo.t-mˆo.t v`a lˆen th`ı g ◦ f l`a mˆo.t-mˆo.t v`a lˆen.

(d) Nˆe´u g ◦ f l`a mˆo.t-mˆo.t th`ı f l`a mˆo.t-mˆo.t.

(e) Nˆe´u g ◦ f l`a mˆo.t-mˆo.t th`ı g l`a mˆo.t-mˆo.t.

(f) Nˆe´u g ◦ f l`a lˆen th`ı f l`a lˆen

(g) Nˆe´u g ◦ f l`a lˆen th`ı g l`a lˆen

8 Gia˙’ su.˙’ X := {1, 2, 3} v` a Y := {a, b, c, d} X´et ´anh xa f : X → Y cho bo˙’ i.

f (1) = a, f (2) = c, f (3) = c.

X´ac d¯i.nh c´ac tˆa.p ho p sau: f ({1}), f ({1, 3}), f. −1 ({a}) v` a f −1 ({a, c}).

9 Cho ´anh xa f : X → Y Ch´u ng minh f l`a mˆo.t-mˆo.t nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u

f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)

v´o.i mo.i tˆa.p con A v`a B cu˙’a X.

10 Cho ´anh xa f : X → Y Ch´u.ng minh rˇa`ng ho c´ac tˆa.p ho p

A := {f −1 ({y}) | y ∈ Y }

l`a mˆo.t phˆan hoa.ch cu˙’a tˆa.p ho p X..

11 Cho ´anh xa g : X → Y Ch´u ng minh rˇa`ng g l`a mˆo.t-mˆo.t nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u v´o.i mo.i ´anh xa.

mˆo.t-mˆo.t f : A → X (A l`a tˆa.p ho p bˆ. a´t k`y) th`ı ´anh xa ho p g ◦ f : A → Y l`. a mˆo.t-mˆo.t

12 Cho ´anh xa f : X → Y Ch´u ng minh rˇa`ng f l`a lˆen nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u v´o.i mo.i ´anh xa lˆen

g : Y → Z (Z l`a tˆa.p ho p bˆ. a´t k`y) th`ı ´anh xa ho p g ◦ f : X → Z l`. a lˆen.

13 A l`a tˆa.p ho p con cu˙’a tˆ. a.p ho p X D. - i.nh ngh˜ıa h`am d¯ˇa.c tru.ng cu˙’a tˆa.p ho p A (trong X)

(b) Ch´u.ng minh nˆe´u A ⊆ B th`ı χ A (x) ≤ χ B (x) v´ o.i mo.i x ∈ X.

(c) Ch´u.ng minh χ A∪B (x) = χ A (x) + χ B (x) v´ o.i mo.i x ∈ X nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u A ∩ B = ∅.

(d) T`ım cˆong th´u.c liˆen quan d¯ˆe´n ´anh xa χ A ∆ B

14 X´et ´anh xa f t`u P(X) v`ao tˆa.p ho p c´ac h`am d¯ˇa.c tru.ng trong X d¯i.nh ngh˜ıa bo.˙’i

f (A) := χ A

Ch´u.ng minh f l`a mˆo.t-mˆo.t v`a lˆen

15 Ch´u.ng minh tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ tu. nhiˆen N v`a tˆa.p c´ac sˆo´ tu nhiˆ. en chˇa˜n 2N l`a c`ung lu clu.o. ng.

16 Ch´u.ng minh tˆa.p ho p kh´. ac trˆo´ng X khˆong c`ung lu. c lu.o ng v´o.i P(X).

17 Gia˙’ su.˙’ X := {0, 1} Liˆe.t kˆe tˆa´t ca˙’ c´ac chuˆo˜i d¯ˆo d`ai 2 trˆen X Liˆe.t kˆe tˆa´t ca˙’ c´ac chuˆo˜i

d¯ˆo d`ai ≤ 2 trˆen X.

18 Chuˆo˜i s go.i l`a chuˆo˜i con cu˙’a chuˆo˜i t nˆe´u tˆo `n ta.i c´ac chuˆo˜i u, v sao cho t = usv Liˆe.t

kˆe tˆa´t ca˙’ c´ac chuˆo˜i con cu˙’a chuˆo˜i babc.

19 Ch´u.ng minh hoˇa.c cho pha˙’n v´ı du c´ac ph´at biˆe˙’u sau d¯ˆo´i v´o.i tˆa´t ca˙’ c´ac sˆo´ thu c2

Chu.o.ng 2

2.1 Mˆ e.nh d¯ˆe `

Mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe` to´an ho.c c´o thˆe˙’ xem l`a mˆo.t khˇa˙’ng d¯i.nh to´an ho.c chı˙’ c´o thˆe˙’ d¯´ung hoˇa.c sai,

khˆong thˆe˙’ nhˆa.p nhˇa`ng, ngh˜ıa l`a khˆong thˆe˙’ v`u.a d¯´ung v`u.a sai, c˜ung khˆong thˆe˙’ v`u.a khˆong

d¯´ung v`u.a khˆong sai

V´ ı du 2.1.1 C´ac ph´at biˆe˙’u sau l`a c´ac mˆe.nh d¯ˆe` :

(a) Tr´ai d¯ˆa´t c´o da.ng h`ınh cˆa` u

(b) Viˆe.t Nam l`a nu.´o.c c´o sˆo´ dˆan d¯ˆong nhˆa´t thˆe´ gi´o.i

(c) 2 + 2 = 4.

(d) 4 l`a mˆo.t sˆo´ du.o.ng v`a 3 l`a mˆo.t sˆo´ ˆam

V´ ı du 2.1.2 C´ac ph´at biˆe˙’u sau khˆong pha˙’i l`a mˆe.nh d¯ˆe` :

(a) Hˆom nay tr`o.i mu.a

(b) Xin h˜ay gi´up d¯˜o tˆoi

(c) x − y = y − x.

(d) x − 3 = 5.

Ta thu.`o.ng d`ung c´ac k´y tu. in thu.`o.ng, chˇa˙’ng ha.n p, q v`a r d¯ˆe˙’ biˆe˙’u diˆe˜n mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe` D-ˆe˙’

d¯o.n gia˙’n, ch´ung ta c˜ung k´y hiˆe.u

p : 1 + 1 = 3

d¯ˆe˙’ d¯i.nh ngh˜ıa p l`a mˆe.nh d¯ˆe ` 1 + 1 = 3.

D- i.nh ngh˜ıa 2.1.1 Gia˙’ su.˙’ p v`a q l`a c´ac mˆe.nh d¯ˆe` Hˆo.i cu˙’a p v`a q, k´y hiˆe.u l`a p ∧ q, l`a mˆe.nh

q : mˆo.t thˆa.p ky˙’ l`a 10 nˇam.

Khi d¯´o hˆo.i cu˙’a p v`a q l`a mˆe.nh d¯ˆe`

p ∧ q : 1 + 1 = 3 v`a mˆo.t thˆa.p ky˙’ l`a 10 nˇam,v`a tuyˆe˙’n cu˙’a p v` a q l`a mˆe.nh d¯ˆe`

p ∨ q : 1 + 1 = 3 hoˇa.c mˆo.t thˆa.p ky˙’ l`a 10 nˇam

D- i.nh ngh˜ıa 2.1.2 Gi´a tri cu˙’a mˆe.nh d¯ˆe` p ∧ q d¯u.o c cho bo.˙’i ba˙’ng chˆan tri.

V´ ı du 2.1.4 Gia˙’ su˙’.

p : 1 + 1 = 3,

q : Mˆo.t thˆa.p ky˙’ l`a 10 nˇam

Ta c´o p l`a sai v`a q l`a d¯´ung V`ı vˆa.y hˆo.i cu˙’a p v`a q l`a mˆe.nh d¯ˆe` sai

D- i.nh ngh˜ıa 2.1.3 Gi´a tri cu˙’a mˆe.nh d¯ˆe` p ∨ q d¯u.o c cho bo.˙’i ba˙’ng chˆan tri.

V´ ı du 2.1.5 Gia˙’ su˙’.

p : 1 + 1 = 3,

q : Mˆo.t thˆa.p ky˙’ l`a 10 nˇam

Ta c´o p l`a sai v`a q l`a d¯´ung V`ı vˆa.y tuyˆe˙’n cu˙’a p v`a q l`a mˆe.nh d¯ˆe` d¯´ung

D- i.nh ngh˜ıa 2.1.4 Phu˙’ d¯i.nh cu˙’a mˆe.nh d¯ˆe` p, k´y hiˆe.u p hay p 0 , l`a mˆe.nh d¯ˆe`

1 Gi´a tri cu˙’a c´ac mˆe.nh d¯ˆe` p, q v` a R tuo.ng ´u.ng l`a F, T v` a F X´ac d¯i.nh gi´a tri cu˙’a c´ac

mˆe.nh d¯ˆe` sau:

(b) Phu˙’ d¯i.nh cu˙’a mˆe.nh d¯ˆe` (5 < 9 v` a 9 < 7).

(c) 5 < 9 hoˇa.c phu˙’ d¯i.nh cu˙’a mˆe.nh d¯ˆe` (9 < 7 v` a 5 < 7).

2.2 Mˆ e.nh d¯ˆe ` c´ o d ¯iˆ ` u kiˆ e e.n v`a c´ac mˆe.nh d¯ˆe ` tu.o.ng d ¯u.o.ng

D- i.nh ngh˜ıa 2.2.1 Gia˙’ su.˙’ p v`a q l`a hai mˆe.nh d¯ˆe` Khi d¯´o ph´at biˆe˙’u

nˆe´u p th`ı q go.i l`a mˆe.nh d¯ˆe ` c´ o d ¯iˆ ` u kiˆ e e.n v`a k´y hiˆe.u l`a

p → q.

Mˆe.nh d¯ˆe` p go.i l`a gia˙’ thiˆe´t v`a mˆe.nh d¯ˆe ` q go.i l`a kˆe´t luˆa.n (hay hˆe qua˙’).

D- i.nh ngh˜ıa 2.2.2 Ba˙’ng gi´a tri cu˙’a mˆe.nh d¯ˆe` c´o d¯iˆe`u kiˆe.n p → q d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

Ta c´o p l`a sai v`a q l`a d¯´ung Do d¯´o p → q l`a d¯´ung v`a q → p l`a sai

D- i.nh ngh˜ıa 2.2.3 Gia˙’ su.˙’ p v`a q l`a hai mˆe.nh d¯ˆe` Khi d¯´o ph´at biˆe˙’u

p nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u q go.i l`a mˆe.nh d¯ˆe ` nˆ e´u v` a chı˙’ nˆ e´u v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a

D- i.nh ngh˜ıa 2.2.4 Gia˙’ su.˙’ P v`a Q l`a hai mˆe.nh d¯ˆe` d¯u.o c xˆay du ng t`u c´ac mˆe.nh d¯ˆe`

p1, p2, , p n Ta n´ oi P tu.o.ng d ¯u.o.ng Q v`a viˆe´t

P ≡ Q

nˆe´u v´o.i mo.i gi´a tri cu˙’a p1, p2, , p n ta c´o P v` a Q hoˇa.c d¯ˆo`ng th`o.i d¯´ung, hoˇa.c d¯ˆo`ng th`o.i sai

V´ ı du 2.2.3 Ta c´o cˆong th´u.c De Morgan:

q → p : nˆe´u 5 khˆong l´o.n ho.n 8 th`ı 1 khˆong l´o.n ho.n 4

Ta c´o p → q l`a sai Nˆen q → p l`a d¯´ung v`a q → p l`a sai

D- i.nh l´y 2.2.6 Mˆe.nh d¯ˆe ` p → q tu.o.ng d¯u.o.ng v´ o.i mˆ e.nh d¯ˆe ` pha˙’n d¯a˙’o cu˙’a n´ o T´ u.c l` a

p → q ≡ q → p

Ch´ u.ng minh Ch´u.ng minh suy tru. c tiˆe´p t`u ba˙’ng chˆan tri cu˙’a c´ac mˆe.nh d¯ˆe` p → q v` a q → p.

2

(c) Nˆe´u (6 < 6 v`a 7 khˆong nho˙’ ho.n 10) khˆong d¯´ung th`ı 6 < 6.

(d) 7 < 10 nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u (4 < 2 v`a 6 khˆong nho˙’ ho.n 6).

3 V´o.i c´ac ph´at biˆe˙’u du.´o.i d¯ˆay, h˜ay viˆe´t mˆo˜i mˆe.nh d¯ˆe` v`a phu˙’ d¯i.nh cu˙’a n´o da.ng k´y hiˆe.u.T`ım gi´a tri cu˙’a mˆo˜i mˆe.nh d¯ˆe`

Logic nghiˆen c´u.u c´ac mˆe.nh d¯ˆe` trong nh˜u.ng tiˆe´t tru.´o.c khˆong d¯u˙’ d¯ˆe˙’ diˆe˜n ta˙’ hˆa` u hˆe´t c´ac

mˆe.nh d¯ˆe` trong to´an ho.c c˜ung nhu khoa ho.c m´ay t´ınh Chˇa˙’ng ha.n, x´et:

p : n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen le˙’.

D- i.nh ngh˜ıa 2.3.1 Cho X l`a mˆo.t tˆa.p ho p P (x) l`a mˆo.t ph´at biˆe˙’u liˆen quan d¯ˆe´n biˆe´n

x ∈ X Ta n´ oi P l` a h` am mˆ e.nh d¯ˆe ` nˆe´u v´o.i mˆo˜i x ∈ X th`ı P (x) l`a mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe`

V´ ı du 2.3.1 Gia˙’ su˙’ P l`. a tˆa.p c´ac sˆo´ nguyˆen du.o.ng v`a v´o.i mˆo˜i n ∈ P d¯ˇa.t

P (n) : n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen le˙’

Khi d¯´o P l`a h`am mˆe.nh d¯ˆe` trˆen P.

D- i.nh ngh˜ıa 2.3.2 Gia˙’ su.˙’ P l`a h`am mˆe.nh d¯ˆe` trˆen tˆa.p X Ph´at biˆe˙’u

v´o.i mo.i x, P (x) go.i l`a lu o ng h´oa phˆo˙’ cˆa.p K´y hiˆe.u ∀ ngh˜ıa l`a “v´o.i mo.i” V`ı vˆa.y ph´at biˆe˙’u

∃x, P (x).

K´y hiˆe.u ∃ go.i l`a lu o ng h´oa tˆo`n ta.i.

Ph´at biˆe˙’u

tˆ`n ta.i x, P (x)ol`a d¯´ung nˆe´u P (x) d¯´ung v´o.i ´ıt nhˆa´t mˆo.t x ∈ X Ph´at biˆe˙’u n`ay l`a sai nˆe´u v´o i mo.i x ∈ X d¯ˆe`u

c´o P (x) sai.

V´ ı du 2.3.2 Ph´at biˆe˙’u

v´o.i mo.i sˆo´ thu c x th`ı x. 2 ≥ 0

l`a lu.o. ng h´oa phˆo˙’ cˆa.p v`a l`a mˆo.t khˇa˙’ng d¯i.nh d¯´ung

V´ ı du 2.3.3 Ph´at biˆe˙’u lu.o. ng h´oa phˆo˙’ cˆa.p

v´o.i mo.i sˆo´ thu c x th`ı x. 2− 1 > 0

l`a sai v`ı v´o.i x = 1 ta c´o

12− 1 > 0

l`a mˆe.nh d¯ˆe` sai

V´ ı du 2.3.4 Ph´at biˆe˙’u lu.o. ng h´oa tˆ`n ta.io

tˆ`n ta.i sˆo´ nguyˆen x d¯ˆe˙’ xo 2

V´ ı du 2.3.5 Dˆ˜ d`ang ch´e u.ng minh ph´at biˆe˙’u lu.o. ng h´oa tˆ`n ta.i sau l`a sai:o

tˆ`n ta.i sˆo´ thu c x d¯ˆe˙’o 1

x2+ 1 > 1.

Nhˆ a.n x´et 2 Gi˜u.a c´ac lu.o ng h´oa phˆo˙’ cˆa.p v`a tˆo`n ta.i c´o liˆen hˆe sau d¯ˆay:

(a) Khˆong (∃x) P (x) ⇔ (∀x) khˆ ong P (x) T´u.c l`a phu˙’ d¯i.nh cu˙’a mˆe.nh d¯ˆe` “c´o tˆ`n ta.i mˆo.to

x sao cho P (x)” l`a “v´o.i mo.i x d¯ˆe` u khˆong c´o P (x)”.

(b) Khˆong (∀x) P (x) ⇔ (∃x) khˆ ong P (x) T´u.c l`a phu˙’ d¯i.nh cu˙’a mˆe.nh d¯ˆe` “v´o.i mo.i x d¯ˆe` uc´o P (x)” l`a “c´o tˆ`n ta.i mˆo.t x sao cho khˆong c´o P (x)”.o

D- i.nh l´y 2.3.3 Gia˙’ su.˙’ P l`a h`am mˆe.nh d¯ˆe ` Khi d¯´ o cˇ a p c´ ac mˆ e.nh d¯ˆe ` (a) v` a (b) sau hoˇ a c

d ¯ˆ `ng th` o o.i d ¯´ ung, hoˇ a c d ¯ˆ `ng th` o o.i sai:

(a) ∀x, P (x); ∃x, P (x).

(b) ∃x, P (x); ∀x, P (x).

Ch´ u.ng minh B`ai tˆa.p 2

(d) P (n) v´o.i mo.i sˆo´ tu nhiˆ. en n.

(e) Tˆ`n ta.i sˆo´ tu nhiˆen n sao cho P (n).o

2 X´ac d¯i.nh gi´a tri cu˙’a c´ac ph´at biˆe˙’u du.´o.i d¯ˆay (x´et trˆen tˆa.p ho p c´ac sˆo´ thu c R):

(a) x2 > x v´ o.i mo.i x.

(b) Tˆ`n ta.i x sao cho xo 2

> x.

(c) V´o.i mo.i x v´o i x > 1 th`ı x2

> x.

(d) Tˆ`n ta.i x v´o.i x > 1 sao cho xo 2 > x.

(e) V´o.i mo.i x v´o i x > 1 th`ı x

x2 +1 < 1

3.

(f) Tˆ`n ta.i x v´o.i x > 1 th`ıo x

x2 +1 < 13.

(g) V´o.i mo.i x v`a v´o i mo.i y m`a x < y ta c´o x2 < y2.

(h) V´o.i mo.i x, tˆo `n ta.i y v´o.i x < y ta c´o x2

< y2.

(i) Tˆ`n ta.i x sao cho v´o.i mo.i y m`a x < y th`ı xo 2 < y2.

(j) Tˆ`n ta.i x, tˆoo `n ta.i y v´o.i x < y sao cho x2

< y2.

3 Viˆe´t phu˙’ d¯i.nh cu˙’a c´ac ph´at biˆe˙’u trong b`ai tˆa.p trˆen

2.4 Phu.o.ng ph´ ap ch´ u.ng minh

Mˆo.t hˆe thˆo´ng to´an ho.c gˆo`m c´ac tiˆ en d ¯ˆ ` , d¯i.nh ngh˜ıa, v`a c´ac th`anh phˆa e ` n khˆ ong x´ ac d ¯i.nh.

• Tiˆen d¯ˆ` d¯u.o.e c gia˙’ thiˆe´t l`a d¯´ung

• D- i.nh ngh˜ıa d¯u.o c su.˙’ du.ng d¯ˆe˙’ xˆay du ng c´ac kh´ai niˆe.m m´o.i t`u c´ac kh´ai niˆe.m d¯˜a c´o

• Mˆo.t sˆo´ th`anh phˆa` n khˆong d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa mˆo.t c´ach tu.`o.ng minh m`a d¯u.o c x´ac d¯i.nh

bo.˙’ i c´ac tiˆen d¯ˆ` e

T`u hˆe thˆo´ng to´an ho.c ta c´o thˆe˙’ dˆa˜n d¯ˆe´n:

• D - i.nh l´y l`a mˆo.t mˆe.nh d¯ˆe` d¯˜a d¯u.o c ch´u.ng minh l`a d¯´ung.

• Bˆ o˙’ d ¯ˆ ` l` e a mˆo.t d¯i.nh l´y khˆong quan tro.ng lˇa´m v`a d¯u.o c su.˙’ du.ng d¯ˆe˙’ ch´u.ng minh mˆo.t

d¯i.nh l´y kh´ac

• Hˆ e qua˙’ l`a mˆo.t d¯i.nh l´y d¯u.o c suy ra dˆe˜ d`ang t`u mˆo.t d¯i.nh l´y kh´ac

• Ch´ u.ng minh l`a mˆo.t l´y luˆa.n chı˙’ ra t´ınh d¯´ung cu˙’a mˆo.t d¯i.nh l´y

• Logic l`a mˆo.t cˆong cu d¯ˆe˙’ phˆan t´ıch c´ac ch´u.ng minh

V´ ı du 2.4.1 H`ınh ho.c Euclid l`a mˆo.t hˆe to´an ho.c Mˆo.t sˆo´ tiˆen d¯ˆe` :

• Tˆ`n ta.i mˆo.t v`a chı˙’ mˆo.t d¯u.`o.ng thˇa˙’ng d¯i qua hai d¯iˆe˙’m phˆan biˆe.t cho tru.´o.c.o

• Tˆ`n ta.i mˆo.t v`a chı˙’ mˆo.t d¯u.`o.ng thˇa˙’ng d¯i qua mˆo.t d¯iˆe˙’m v`a song song v´o.i mˆo.t d¯u.`o.ngothˇa˙’ng (khˆong ch´u.a d¯iˆe˙’m) cho tru.´o.c

D - iˆe˙’m v`a d¯u.`o.ng thˇa˙’ng l`a c´ac th`anh phˆa` n khˆong x´ac d¯i.nh v`a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa ˆa˙’n trongc´ac tiˆen d¯ˆ` e

Mˆo.t sˆo´ d¯i.nh ngh˜ıa:

• Hai tam gi´ac l`a bˇ a `ng nhau nˆe´u c´o thˆe˙’ sˇa´p xˆe´p c´ac d¯ı˙’nh th`anh nh˜u.ng cˇa.p sao cho c´acca.nh v`a c´ac g´oc tu.o.ng ´u.ng l`a bˇa`ng nhau

• Hai g´oc l`a b` u nhau nˆe´u tˆo˙’ng cu˙’a ch´ung bˇa`ng 1800.

Mˆo.t sˆo´ d¯i.nh l´y:

• Nˆe´u hai ca.nh cu˙’a mˆo.t tam gi´ac bˇa`ng nhau th`ı c´ac g´oc d¯ˆo´i diˆe.n bˇa`ng nhau

• Nˆe´u hai d¯u.`o.ng ch´eo cu˙’a t´u gi´ac cˇa´t nhau ta.i c´ac trung d¯iˆe˙’m cu˙’a ch´ung th`ı t´u gi´ac l`ah`ınh b`ınh h`anh

T`u d¯i.nh l´y th´u nhˆa´t suy ra hˆe qua˙’ sau:

• Tam gi´ac c´o ba ca.nh bˇa`ng nhau th`ı c´o c´ac g´oc bˇa`ng nhau

V´ ı du 2.4.2 Tˆa.p c´ac sˆo´ thu c R l`. a mˆo.t hˆe to´an ho.c Mˆo.t sˆo´ tiˆen d¯ˆe` :

• V´ o.i mo.i x, y ∈ R ta c´o xy = yx.

• Tˆ `n ta.i mˆo.t tˆa.p con P ⊂ R sao choo

(a) Nˆe´u x, y thuˆ o.c P th`ı x + y v`a xy thuˆo.c P.

(b) V´o.i mo.i x ∈ R th`ı mˆo.t v`a chı˙’ mˆo.t trong c´ac d¯iˆe` u sau d¯´ung:

x ∈ P, x = 0, −x ∈ P.

Ph´ep to´an nhˆan d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa ˆa˙’n trong tiˆen d¯ˆe` th´u nhˆa´t

Mˆo.t sˆo´ d¯i.nh ngh˜ıa:

• C´ac phˆ` n tu.a ˙’ thuˆo.c P go.i l`a c´ac sˆo´ thu c du . o.ng.

• Gi´ a tri tuyˆe.t d¯ˆo´i |x| cu˙’a sˆo´ thu c x d. ¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa l`a x nˆe´u x du.o.ng hoˇa.c bˇa`ng 0 v`a

bˇa`ng −x nˆe´u ngu.o c la.i.

Mˆo.t sˆo´ d¯i.nh l´y:

• x · 0 = 0 v´ o.i mo.i x ∈ R.

• v´ o.i mo.i x, y, z ∈ R nˆe´u x ≤ y v`a y ≤ z th`ı x ≤ z.

Mˆo.t v´ı du vˆe` bˆo˙’ d¯ˆ` :e

• nˆ e´u n l`a sˆo´ nguyˆen du.o.ng th`ı hoˇa.c n − 1 l`a sˆo´ nguyˆen du o.ng hoˇa.c n − 1 = 0.

D- i.nh l´y thu.`o.ng c´o da.ng:

V´o.i mo.i x1, x2, , x n , nˆ e´u p(x1, x2, , x n ) th`ı q(x1, x2, , x n ). (2.1)

D- i.nh ngh˜ıa 2.4.1 Ch´u.ng minh tru c tiˆe´p cu˙’a d¯i.nh l´y (2.1) c´o da.ng: Gia˙’ su.˙’ p(x1, x2, , x n)

d¯´ung; su.˙’ du.ng p(x1, x2, , x n) c˜ung nhu c´ac tiˆen d¯ˆ` , c´e ac d¯i.nh ngh˜ıa, c´ac d¯i.nh l´y d¯˜a c´o d¯ˆe˙’

suy ra q(x1, x2, , x n) l`a d¯´ung

V´ ı du 2.4.3 Ch´u.ng minh tru. c tiˆe´p khˇa˙’ng d¯i.nh sau: v´o i mo.i sˆo´ thu c d, d1, d2 v` a x ta c´ o:

nˆ e´u d = min{d1, d2} v` a x ≤ d th`ı x ≤ d1 v` a x ≤ d2.

D- i.nh ngh˜ıa 2.4.2 Ch´u.ng minh pha˙’n ch´u.ng (hay ch´u.ng minh gi´an tiˆe´p) cu˙’a d¯i.nh l´y (2.1)

c´o da.ng: Gia˙’ su˙’ p(x. 1, x2, , x n) d¯´ung v`a q(x1, x2, , x n) sai; su.˙’ du.ng p, q c˜ung nhu c´ac

tiˆen d¯ˆ` , c´e ac d¯i.nh ngh˜ıa, c´ac d¯i.nh l´y d¯˜a c´o d¯ˆe˙’ suy ra mˆo.t mˆau thuˆa˜n Mˆo.t mˆau thuˆa˜n l`a

mˆe.nh d¯ˆe` c´o da.ng r ∧ r (r l`a mˆe.nh d¯ˆe` n`ao d¯´o)

T´ınh d¯´ung cu˙’a ch´u.ng minh pha˙’n ch´u.ng suy tru. c tiˆe´p t`u su. kiˆe.n sau (ta.i sao):

p → q ≡ p ∧ q → r ∧ r.

V´ ı du 2.4.4 Ch´u.ng minh bˇa`ng pha˙’n ch´u.ng khˇa˙’ng d¯i.nh sau: v´o i mo.i sˆo´ thu c x v`a y, nˆe´u

mˆe.nh d¯ˆe` q go.i l`a kˆe´t luˆa.n L´y luˆa.n l`a ho p lˆ e nˆe´u p1 v`a p2 v`a · · · v` a p n d¯ˆ`ng th`o o.i d¯´ung th`ı

q c˜ung d¯´ung; ngu.o. c la.i l´y luˆa.n go.i l`a khˆong ho p lˆ . e (hay sai).

V´ ı du 2.4.5 Ch´u.ng minh l´y luˆa.n sau l`a ho p lˆ. e.:

p → q p

1 Cho mˆo.t v´ı du vˆe` tiˆen d¯ˆe` , d¯i.nh ngh˜ıa v`a d¯i.nh l´y cu˙’a h`ınh ho.c Euclid

2 Cho mˆo.t v´ı du vˆe` tiˆen d¯ˆe` , d¯i.nh ngh˜ıa v`a d¯i.nh l´y cu˙’a hˆe c´ac sˆo´ thu c

3 Gia˙’ su.˙’ ta d¯˜a c´o c´ac d¯i.nh l´y sau: v´o.i mo.i a, b, c ∈ R th`ı b + 0 = b; a(b + c) = ab + ac; v`a

nˆe´u a + b = a + c th`ı b = c H˜ay kiˆe˙’m tra c´ac bu.´o.c ch´u.ng minh tru. c tiˆe´p cu˙’a khˇa˙’ng

d¯i.nh: “x · 0 = 0 v´o i mo.i sˆo´ thu c x.”

Ch´ u.ng minh (x · 0) + 0 = x · 0 = x · (0 + 0) = x · 0 + x · 0; do d¯´o x · 0 = 0 2

4 Gia˙’ su.˙’ d¯˜a c´o d¯i.nh l´y sau: v´o.i mo.i a, b, c ∈ R, nˆe´u ab = ac v`a a 6= 0 th`ı b = c H˜ay

kiˆe˙’m tra c´ac bu.´o.c ch´u.ng minh bˇa`ng pha˙’n ch´u.ng cu˙’a khˇa˙’ng d¯i.nh: “nˆe´u x · y = 0 th`ı

hoˇa.c x = 0 hoˇa.c y = 0.”

Ch´ u.ng minh Gia˙’ su ˙’ x · 0 = 0 v` a x 6= 0, y 6= 0 T` u xy = 0 = x · 0 v` a n 6= 0 ta c´ o y = 0

m`a l`a mˆo.t mˆau thuˆa˜n 2

5 Ch´u.ng minh bˇa`ng pha˙’n ch´u.ng khˇa˙’ng d¯i.nh sau: “nˆe´u d¯ˇa.t 100 qua˙’ b´ong v`ao trong 9

hˆo.p th`ı c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t hˆo.p ch´u.a ´ıt nhˆa´t 12 qua˙’ b´ong”

6 Viˆe´t c´ac l´y luˆa.n sau du.´o.i da.ng k´y hiˆe.u v`a x´ac d¯i.nh t´ınh d¯´ung-sai:

(a)

Nˆe´u tˆoi ho.c tˆa.p chˇam chı˙’ th`ı tˆoi s˜e d¯a.t d¯iˆe˙’m tˆo´t

Tˆoi ho.c tˆa.p chˇam chı˙’

∴ Tˆoi s˜e d¯a.t d¯iˆe˙’m tˆo´t

(b)

Nˆe´u tˆoi ho.c tˆa.p chˇam chı˙’ th`ı tˆoi s˜e d¯a.t d¯iˆe˙’m tˆo´t

Nˆe´u tˆoi khˆong gi`au c´o th`ı tˆoi s˜e khˆong d¯a.t d¯iˆe˙’m tˆo´t

Nˆe´u tˆoi ho.c tˆa.p chˇam chı˙’ hoˇa.c tˆoi gi`au c´o th`ı tˆoi s˜e d¯a.t d¯iˆe˙’m tˆo´t

Tˆoi s˜e d¯a.t d¯iˆe˙’m tˆo´t

∴ Nˆe´u tˆoi khˆong ho.c tˆa.p chˇam chı˙’ th`ı tˆoi s˜e gi`au c´o

(e)

Nˆe´u tˆoi ho.c tˆa.p chˇam chı˙’ th`ı hoˇa.c tˆoi gi`au c´o hoˇa.c tˆoi s˜e d¯a.t d¯iˆe˙’m tˆo´t

Tˆoi khˆong d¯a.t d¯iˆe˙’m tˆo´t v`a tˆoi khˆong gi`au c´o

∴ Tˆoi khˆong ho.c tˆa.p chˇam chı˙’

7 Gia˙’ su.˙’

p : C´o 64K bˆo nh´o th`ı tˆo´t ho.n khˆong c´o bˆo nh´o

q : Tˆoi s˜e mua bˆo nh´o m´o.i

r : Tˆoi s˜e mua mˆo.t m´ay t´ınh m´o.i

H˜ay viˆe´t c´ac l´y luˆa.n du.´o.i d¯ˆay da.ng cˆau v`a x´ac d¯i.nh t´ınh d¯´ung-sai cu˙’a c´ac l´y luˆa.n.(a)

9 B`ınh luˆa.n vˆe` l´y luˆa.n sau

C´o d¯˜ıa mˆ` m th`ı tˆe o´t ho.n khˆong c´o g`ı

Khˆong c´o g`ı th`ı tˆo´t ho.n c´o mˆo.t d¯˜ıa c´u.ng

∴ C´o d¯˜ıa mˆ` m th`ı tˆe o´t ho.n c´o mˆo.t d¯˜ıa c´u.ng

2.5 Quy na.p to´an ho.c

D- i.nh ngh˜ıa 2.5.1 Gia˙’ su.˙’ v´o.i mˆo˜i sˆo´ nguyˆen du.o.ng n ta c´o mˆo.t ph´at biˆe˙’u S(n) sao cho

Bu.´ o.c co ba˙’n: S(1) d¯´ung;

Bu.´ o.c quy na p: nˆ e´u S(i) d¯´ung v´o.i mo.i i = 1, 2, , n, th`ı S(n + 1) d¯´ung.

Khi d¯´o S(n) d¯´ung v´o.i mo.i n nguyˆen du.o.ng

Theo nguyˆen l´y quy na.p, n! ≥ 2 n−1 v´o.i mo.i n nguyˆen du.o.ng

Cho X l`a mˆo.t tˆa.p ho p K´. y hiˆe.u P(X) (hoˇa.c 2 X) l`a ho c´ac tˆa.p ho p con (thu. c su. hoˇ. a.ckhˆong) cu˙’a X Ta c´o

D- i.nh l´y 2.5.2 Nˆe´u tˆa.p ho p h˜u.u ha.n X gˆo`m n phˆa`n tu.˙’ th`ı

#P(X) = 2 n Ch´ u.ng minh Su.˙’ du.ng quy na.p to´an ho.c 2

(i) cos x + cos 2x + · · · + cos nx = cos[(x/2)(n+1)] sin(nx/2) sin(x/2) nˆe´u sin(x/2) 6= 0.

(j) 1 sin x + 2 sin 2x + · · · + n sin nx = sin[(n+1)x]4 sin2(x/2) − (n+1) cos(2n+1

2 x)

2 sin(x/2) nˆe´u sin(x/2) 6= 0.

2 D`ung quy na.p to´an ho.c, ch´u.ng minh c´ac bˆa´t d¯ˇa˙’ng th´u.c sau

(d) 2n ≥ n2 v´o.i n = 4, 5,

(e) (a1a2 a2 n)1/2n ≤ a1+a2+···+a2n

2 n v´o.i n = 1, 2, , v`a c´ac sˆo´ khˆong ˆam a i

(f) (1 + x) n ≥ 1 + nx v´ o.i x ≥ −1 v` a n = 1, 2,

3 D`ung quy na.p to´an ho.c, ch´u.ng minh c´ac khˇa˙’ng d¯i.nh sau:

(a) 7n − 1 chia hˆe´t cho 6 v´o.i mo.i n = 1, 2,

(b) 11n − 6 chia hˆe´t cho 5 v´o.i mo.i n = 1, 2,

(c) 6 · 7 n − 2 · 3 n chia hˆe´t cho 4 v´o.i mo.i n = 1, 2,

(d) 3n+ 7n − 2 chia hˆe´t cho 8 v´o.i mo.i n = 1, 2,

4 D`ung quy na.p to´an ho.c, ch´u.ng minh rˇa`ng n d¯u.`o.ng thˇa˙’ng trong mˇa.t phˇa˙’ng chia mˇa.t

phˇa˙’ng th`anh (n2 + n − 2)/2 v`ung Gia˙’ su.˙’ hai d¯u.`o.ng thˇa˙’ng bˆa´t k`y khˆong song songv`a khˆong c´o ba d¯u.`o.ng thˇa˙’ng cˇa´t nhau ta.i mˆo.t d¯iˆe˙’m

C´o thˆe˙’ xem thuˆ a t to´ an l` a mˆ o t quy tˇ a ´c d¯ˆe˙’, v´ o.i nh˜ u.ng d˜ u liˆ e.u ban d¯ˆa ` u d¯˜ a cho, t`ım d ¯u.o c l` o.i gia˙’i cu˙’a b` ai to´ an d ¯ang x´ et sau mˆ o t khoa˙’ng th` o.i gian h˜ u.u ha n.

D- ˆe˙’ minh ho.a c´ach ghi mˆo.t thuˆa.t to´an, c˜ung nhu t`ım hiˆe˙’u nh˜u.ng yˆeu cˆa`u d¯ˆe` ra cho thuˆa.tto´an, ta x´et trˆen c´ac v´ı du cu thˆe˙’ sau d¯ˆay

3.1.1 T`ım sˆ o´ l´ o.n nhˆ a´t trong ba sˆ o´

Thuˆa.t to´an n`ay t`ım sˆo´ l´o.n nhˆa´t trong ba sˆo´ thu c a, b v`a c.

V`ao: a, b v` a c.

Ra: x l`a sˆo´ l´o.n nhˆa´t trong ba sˆo´ a, b, c.

Bu.´ o.c 1 Nˆe´u a > b th`ı d¯ˇa.t x := a; ngu o c la.i, d¯ˇa.t x := b.

Bu.´ o.c 2 Nˆe´u c > x th`ı d¯ˇa.t x := c.

3.1.2 T`ım sˆ o´ l´ o.n nhˆ a´t trong d˜ ay h˜ u.u ha.n c´ac sˆ o´ thu c

Thuˆa.t to´an n`ay t`ım sˆo´ l´o.n nhˆa´t trong d˜ay h˜u.u ha.n c´ac sˆo´ thu c s1, s2, , s n