Bài giảng toán rời rạc chương 3 nguyễn viết hưng, trần sơn hải

Nguyên lý cộng• Giả sử ta phải thực hiện công việc và để thực hiện công việc nầy ta có thể chọn một trong hai biện pháp khác nhau theo nghĩa là cách thực hiện biện pháp thứ nhất luôn

Tập hợp

Khái niệm

• Định nghĩa: Một tập hợp là một bộ sưu tập các vật mà ta còn gọi là các phần tử của tập hợp đó

• Ký hiệu:

– các chữ in: A, B, C, , X, Y, Z, để chỉ các tập hợp

– các chữ nhỏ: a, b, c, , x, y, z, để chỉ các phần tử

– ký hiệu x A ∈ A để chỉ x là một phần tử của tập hợp A

– ký hiệu x A ∉ A để chỉ x không là một phần tử của

tập hợp A

Biểu diễn một tập hợp

mô tả như là một bộ sưu tập gồm tất cả

các phần tử x thỏa mãn tính chất đặc

trưng p(x):

• Ví dụ:

– Tập hợp A = {x R | x ∈ A 2 – 4x + 3 = 0} chính là tập hợp A = {1, 3}

– Tập hợp các số hữu tỉ được mô tả như sau:

Tập hợp con và tập hợp bằng nhau

• A là tập hợp con của B,

– Ký hiệu A B hay B A ⊂ B hay B ⊃ A ⊃ A

– Nếu mọi phần tử của A đều là các phần tử của B: – A B x A, x B ⊂ B hay B ⊃ A ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B ∀x ∈ A, x ∈ B ∈ A ∈ A

• A không chứa trong B: AB hay

Tập hợp con và tập hợp bằng nhau

• A bằng B,

– Ký hiệu A = B

– Nếu A là tập hợp con của B và ngược lại

– A = B (A B) và (B A) ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B ⊂ B hay B ⊃ A ⊂ B hay B ⊃ A

⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B ( x A, x B) ∀x ∈ A, x ∈ B ∈ A ∈ A và ( x B, x A) ∀x ∈ A, x ∈ B ∈ A ∈ A

• Ký hiệu A ≠ B để chỉ A không bằng B.

2n phần tử

• Ví dụ: cho X= {a,b,c}

P(X) = { ; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {b, c}; {a, c}; {a, b, c}} ∅; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {b, c}; {a, c}; {a, b, c}}

TÍNH CHẤT CủA CÁC PHÉP TOÁN

TÍNH CHẤT CủA CÁC PHÉP TOÁN

TÍCH DESCARTES

• Cho hai tập hợp A và B

• Tích Descartes của A và B là tập hợp tất

cả các cặp (x, y) có thứ tự x trước, y sau, trong đó x thuộc A và y thuộc B

• Ký hiệu: A × B

A × B = {(x, y) | x A và y B}∈ A ∈ A

(x, y) A × B x A và y B ∈ A ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B ∈ A ∈ A

(x, y) A × B x A hay y B ∉ A ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B ∉ A ∉ A

TÍCH DESCARTES

• Ví dụ: Cho A = {a, b} và B = {1, 2, 3}

– A × B = {(a, 1); (a, 2); (a, 3); (b, 1); (b, 2); (b, 3)}

– B × A = {(1, a); (1, b); (2, a); (2, b); (3, a); (3, b)}

• Ký hiệu A2 để chỉ tích Descartes A × A

A2 = {(x, y) | x A và y A} ∈ A ∈ A

Tích Descartes của nhiều tập hợp

phần tử x  X

– f : N  N xác định bởi f(n) = 2(n+1).

– g : { 0,1} 2 { 0,1} cho bởi

g(0,0) = g(0,1) = 1 và g(1,0) = g(1,1) = 0.

Ảnh của tập hợp

• Cho f là một ánh xạ từ X vào Y

• Giả sử A là một tập hợp con của X

• Ảnh của tập A qua ánh xạ f, ký hiệu bởi f(A), là

tập hợp con của Y gồm tất cả những phần tử y sao cho y là ảnh của ít nhất một phần tử x

thuộc A

f(A) = { f(a) : a A }

Ảnh ngược (hay tạo ảnh) của một

tập hợp

• Cho f là một ánh xạ từ X vào Y

• Giả sử B là một tập hợp con của Y

• Ảnh ngược của tập B bởi ánh xạ f, ký hiểu

Đơn ánh

• Ánh xạ f : X Y được gọi là một đơn ánh khi các ảnh của 2 phần tử khác nhau tùy ý thì khác nhau

• với mọi x và x' thuộc X ta có:

– x  x'  f(x)  f(x')

– Hay f(x) = f(x')  x = x'

là ánh xạ ngược của f và ký hiệu là f-1

f -1 : Y  X, xác định bởi f -1 (y) = x, với f(x) = y

• Với mỗi y ∈ A R, xét phương trình P(x) = y, ta có:

P(x) = y x ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B 2 – 4x + 5 = y;

⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B x 2 – 4x + 5 – y = 0 (1) (1)là một phương trình bậc hai có Δ' = y – 1 Do đó a)Với y < 1, (1) vô nghiệm

b)Với y = 1, (1) có một nghiệm x 0 = 2 = 2 + 1y− [2, +∞) ∈ A c)Với y > 1, (1) có hai nghiệm

1) f1 không là đơn ánh và cũng không là toàn

ánh Suy ra f1 cũng không là song ánh.

2) f2 là đơn ánh nhưng không là toàn ánh Suy

Một số tính chất 1

• Cho f : X  Y Giả sử A, B là các tập con của X

và C, D là các tập con của Y Khi đó ta có:

Một số tính chất 2

• Cho f : X  Y là một song ánh Khi đó ánh

xạ ngược f-1: Y X cũng là một song ánh

và ta có:

– (f -1 ) -1 = f

– f -1

o f = IdX – f o f -1 = IdY

với IdX (tương ứng IdY) là ánh xạ đồng nhất

của tập X (tương ứng Y).

Phép đếm

• Cho A là một tập hợp khác rỗng Nếu tồn tại một số

nguyên dương n và một song ánh f từ A vào { 1, 2, , n} thì ta nói A là một tập hợp hữu hạn và A có n phần tử.

• Song ánh : A  { 1, 2, , n} là một phép đếm tập hợp A

• Tập hợp rỗng có số phần tử là 0, và cũng được xem là tập hữu hạn

• Số phần tử của một tập hợp hữu hạn A được ký hiệu là

| A |.

• Nếu tập hợp A không hữu hạn, ta nói A là một tập vô hạn và

viết | A | = 

| A1  A2   An | = | A1 | + | A2 | + + | An |

Nguyên lý cộng

• Giả sử ta phải thực hiện công việc và để thực

hiện công việc nầy ta có thể chọn một trong

hai biện pháp khác nhau theo nghĩa là cách

thực hiện biện pháp thứ nhất luôn luôn khác cách thực hiện biện pháp thứ hai

Nguyên lý cộng

• Ví dụ Chúng ta cần chọn một sinh viên

toán năm thứ 3 hay năm thứ 4 đi dự một hội nghị Hỏi có bao nhiêu cách chọn lựa một sinh viên như thế biết rằng có 100

sinh viên toán học năm thứ 3 và 85 sinh viên toán học năm thứ tư

Nguyên lý nhân

• Cho A và B là 2 tập hợp hữu hạn rời nhau Khi ấy

ta có: | A x B | = | A | | B |

• Nếu A1, A2, , An là các tập hợp hữu hạn

thì số phần tử của tích Descartes của các

tập hợp trên bằng tích của các số lượng

phần tử của các tập hợp trên:

| A1 x A2 x x An | = | A1 | | A2 | | An |

Nguyên lý nhân

• Giả sử ta phải thực hiện một thủ tục bao gồm hai công việc kế tiếp nhau

• Để thực hiện công việc thứ nhất ta có n1 cách,

và ứng với mỗi cách chọn thực hiện công việc thứ nhất ta có n2 cách thực hiện công việc thứ hai

• Vậy ta có số cách thực hiện thủ tục là n1 x n2

Ví dụ

Mỗi người sử dụng trên một hệ thống máy tính có một "password" dài từ 6 đến 8 ký

tự, trong đó mỗi ký tự là một chữ in hoa

hoặc là một ký số thập phân Mỗi

"password" phải có ít nhất một ký số Hỏi

có bao nhiêu password khác nhau

b)Trong các số ở câu a), có bao nhiêu số chứa

chữ số 2?

• Các số x gồm 5 chữ số khác nhau từng

đôi một được lấy từ S có dạng:

• trong đó a, b, c, d, e S∈ A khác nhau từng

đôi, a ≠ 0

• Để xét các số x như trên có hai chữ số

chẵn và ba chữ số lẻ, ta chia hai trường hợp loại trừ lẫn nhau:

– Trường hợp 1: a chẵn

– Trường hợp 2: a lẻ

• Theo nguyên lý nhân, số các số x trong

trường hợp này là:

3.4.3.6 = 216

Trường hợp 2: a lẻ

• Chọn a {1, 3, 5} Số cách: 3 ∈ A

• Chọn (không kể thứ tự) hai ký tự trong {b,c,d,e} (để gán thêm hai chữ số lẻ) Số cách: 6

• Chọn thêm (có thứ tự) hai chữ số lẻ trong

S\{a} để gán vào hai ký tự đã chọn Số cách: 2

• Chọn (có thứ tự) hai chữ số chẵn trong S để gán vào hai ký tự còn lại Số cách: 12.

• Theo nguyên lý nhân, số các số x trong trường

hợp này là:

3.6.2.12 = 432

• Như vậy, theo nguyên lý cộng ta có số các

số x theo yêu cầu là: 216 + 432 = 648

b) Lý luận tương tự như trên nhưng S được thay bằng S’ = {0, 1, 3, 4, 5, 6} ta có số

các số x trong câu a) không chứa chữ số

2 là: 312

Chỉnh hợp

• Cho X là một tập hợp gồm n phần tử, và r là một số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n

• Mỗi phép chọn r phần tử phân biệt của X

theo một thứ tự nào đó sẽ cho ta một chỉnh

hợp n chọn r

• Nói cách khác, ta có thể xem một chỉnh hợp như là một dãy hay một bộ gồm r phần tử

phân biệt được chọn từ n phần tử cho trước.

Công thức chỉnh hợp

• Số các chỉnh hợp n chọn r là:

! ( , )

( )!

( 1)( 2) ( 1)

r n

Tổ hợp

• Cho X là một tập hợp gồm n phần tử, và r

là một số nguyên không âm nhỏ hơn hoặc bằng n

• Mỗi phép chọn r phần tử phân biệt của X

mà không phân biệt thứ tự trước sau sẽ

cho ta một tổ hợp n chọn r N

• Nói cách khác, ta có thể xem một tổ hợp n chọn r như là một tập hợp con gồm r phần

tử của một tập hợp có n phần tử

Tổ hợp

!( , )

( )! !

r n

Công thức nhị thức Newton

• Với x, y R ∈ A và n là số nguyên dương ta có:

Chỉnh hợp lặp

• Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một bộ có thứ tự gồm k phần tử (không

nhất thiết phân biệt) được rút ra từ n phần

Hoán vị lặp

• Số hoán vị của n phần tử, trong đó có n1

phần tử giống nhau thuộc loại 1, n2 phần

tử giống nhau thuộc loại 2,…, nk phần tử giống nhau thuộc loại k, là:

Tổ hợp lặp

• Một tổ hợp lặp chập k của n loại phần tử

(không nhất thiết phải có k ≤ n) là một nhóm không có thứ tự gồm k phần tử phân biệt (có thể cùng loại) thuộc n loại phần tử đã cho

• Gọi là số tổ hợp lặp chập k của n lọai

phần tử

k n

Nguyên lý dirichlet

• Giả sử có n vật cần đặt vào k hộp Khi đó

tồn tại ít nhất một hộp chứa từ ⎡ n/k vật ⎤ vật trở lên

• ⎡ n/k ⎤ vật số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay

bằng n/k

• Có bao nhiêu cách chọn 2 trong số 22 giảng

viên tin học đi dạy ở Bình Phước

• Có bao nhiêu cách chọn 2 (1 dạy lý thuyết, 1 dạy thực hành) trong số 22 giảng viên tin học

đi dạy ở Bình Phước