Toán rời rạc-Chương 1: Các khái niệm cơ bản p2 docx

TOÁN R I R C

Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc

Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com

Lý thuy t t h p

A

2 Ch nh h p l p (3/3)

 Ví d 4

• B môn Khoa h c máy tính có 3 giáo viên là Anh, Bình,

D ng ký hi u là (A, B, D) Có bao nhiêu cách s p x p giáo viên d y hai môn h c trong m t bu i?

1 ) (

2 )(

1

.(

k n

n k

n n

n n

3 Ch nh h p không l p (2/3)

 Ví d 5

• T p A = {1, 2, 3, 4, 5} các b (2, 3, 5); (2, 5, 3) là các ch nh h p không l p ch p 3 t 5 ph n t , còn các b (1, 1, 2) ; (1, 2, 1) ; và (2, 3, 2) không ph i là ch nh h p không l p ch p 3 t 5 ph n t ,

kh n ng ch n ch s a4 V y t t c các s có 4 ch s khác nhau có th có là S = 6 x 5 x 4 x 3 = 360.

(B, C) (B, D) (B, K) (C B) (C, D) (C, K) (D, B) (D,C) (D, K) (K, B) (K, C) (K,D)

• Các ph ng án mà C ng đo t gi i ta có th ch n nh sau

ghép C ng v i m t trong 3 ng i còn l i, s ph ng án đó là 3: (C B) (C, D) (C, K) V y xác su t đ C ng đo t gi i nh t là P

= 3/ 12 = 25 %

2 )(

1

n

4 Hoán v (2/4)

Ví d :

 Có b n ng i r nhau đi ch p nh là Anh, B c, Cúc, D ng Hãy tính

xem có bao nhiêu ki u nh ch p mà t t c b n ng i đ ng thành m t

hàng ?

 Gi i : Ký hi u tên c a b n ng i là {A, B, C, D} u tiên ta có 4 kh n ng

ch n ng i đ ng bên trái cùng, sau khi ch n ng i đ ng trái ta có 3 kh

n ng ch n ng i đ ng k theo, ti p đó ch có th ch n đ c 2 kh n ng

ng i còn l i, nh v y theo nguyên lý nhân ta có s ki u nh có th ch p khác nhau v v trí đ ng là 4.3.2.1= 4! = 24 Ta có th li t kê các ki u nh là:

(A, B, C, D) (A, B, D, C) (A, C, B, D) (A, C, D, B) (A, D, B, C) (A, D, C, B) (B, A, C, D) (B, A, D, C) (B, C, A, D) (B, C, D, A) (B, D, A, C) (B, D, C, A) (C, B, A, D) (C, B, D, A) (C, A, B, D) (C, A, D, B) (C, D, B, A) (C, D, A, B) (D, B, C, A) (D, B, A, C) (D, C, B, A) (D, C, A, B) (D, A, B, C) (D, A, C, B)

4 Hoán v (4/4)

Ví d :

 Gi s m t ng i bán hàng rong đ nh đi bán hàng t i 8 thành ph Ng i này b t đ u cu c hành trình c a mình t i m t thành ph nào đó, nh ng có

th đ n b y thành ph kia theo th t b t k nào mà ng i đó mu n H i

ng i này có th đi qua t t c các thành ph này theo bao nhiêu l trình khác nhau?

 Gi i: Vì thành ph đ u tiên đã đ c xác đ nh, còn 7 thành ph còn l i có

th đi theo th t tu ý, nên s l trình khác nhau chính là s hoán v c a

t p g m 7 ph n t Do đó có 7! = 5 040 cách đ ng i bán hàng ch n hành trình c a mình N u mu n tìm l trình ng n nh t thì ch ta ph i tính

t ng quãng đ ng c n đi cho m i l trình có th , t c là t ng c ng ph i tính cho 5 040 l trình

5 T h p (1/4)

 Khái ni m :

 T h p ch p k t n ph n t là cách ch n không phân bi t

th t k ph n t l y t t p n ph n t đã cho, m i ph n t không đ c l y l p l i

 Công th c :

!

k n

n C

5 T h p (2/4)

 Ví d :

 V i t p A = {1, 2, 3, 4, 5} thì các b (1, 2, 3 ), (1, 2, 4) là các

t h p ch p 3 t 5 ph n t , còn các b (1, 1, 2 ), (2, 3, 2 ) không ph i là t h p ch p 3 t 5 ph n t đã cho Theo đ nh ngh a hai b (2, 3, 5 ), (3, 5, 2) ch đ c tính là m t t h p

ch p 3

5 T h p (4/4)

 Ví d :

 Có 12 đ i bóng tham d gi i chuyên nghi p qu c gia, các

đ i thi đ u vòng tròn m t l t H i có bao nhiêu tr n đ u

đ c t ch c ?

 Gi i : M i tr n đ u là m t c p 2 đ i đ c ch n t 12 đ i đã cho, không k đ n th t và ph i khác nhau, v y s tr n

đ u là t h p ch p 2 t 12 :

12!/(10!.2!) = 66 tr n

6 T h p l p (1/5)

 Khái ni m :

 T h p l p ch p k t n ph n t là m t b g m k ph n t không phân bi t th t , m i ph n t có th đ c l y l p l i

t n ph n t đã cho

 Công th c :

)!

1 (

k

n C

Rn k n k k

6 T h p l p (2/5)

 Ví d :

 Gi s trong m t đ a qu có táo, cam, lê m i lo i có ít nh t 4 qu Tính

s cách l y 4 qu b t k t đ a này n u không phân bi t th t các qu

đ c ch n và các qu cùng lo i là gi ng nh nhau

 Gi i: M i ph ng án ch n 4 qu t 3 lo i qu theo yêu c u nêu trên

đ c g i là m t t h p l p ch p 4 t t p 3 ph n t táo, cam, lê Có t t

c 15 cách ch n 4 qu nh sau:

! 4

! 9

4 1 4 6

4

R

7 Hoán v c a t p h p có các ph n t gi ng nhau (1/3)

 Khái ni m :

 V i m t s bài toán đ m, m t s ph n t có th gi ng

nhau Khi đó có th l p lu n:

 Có n ph n t trong đó có n1 ph n t nh nhau thu c lo i 1, n2 ph n

t nh nhau thu c lo i 2, …, và nk ph n t nh nhau thu c lo i k

C

2 1

n n n

(

!

!

1 k 1

2 1

2

1 1

1

n

n n

n

n n n

n n

n n

n

n 0

n

n n

n

n n

n n

n n

n n

n

n C

C

1 k 1

2 1 1

7 Hoán v c a t p h p có các ph n t gi ng nhau (2/3)

 Có th nh n đ c bao nhiêu xâu khác nhau b ng cách s p x p l i các

ch cái c a t SUCCESS

 Gi i: T SUCCESS có 7 ch cái, trong đó có 3 ch S, 1 ch U, 2 ch

C và 1 ch E Do v y câu tr l i không ph i là s hoán v c a 7 ch cái

đ c xác đ nh s xâu khác nhau có th t o ra đ c ta nh n th y có

C(7,3) cách ch n 3 ch cho 3 ch S, còn l i 4 ch tr ng Khi đó có

C(4,1) cách ch n m t ch cho m t ch U, còn l i 3 ch tr ng Có th

đ t ch C b ng C(3,2) cách, và C(1,1) cách đ t ch E vào xâu Theo

quy t c nhân, s các xâu khác nhau có th t o đ c là

7 Hoán v c a t p h p có các ph n t gi ng nhau (3/3)

 Ví d :

 Có bao nhiêu cách chia nh ng x p bài 5 quân cho m i

ng i trong 4 ng i ch i t m t c bài chu n 52 quân

 Gi i:

 Các đ v t là 52 quân bài, còn 5 h p là 4 ng i ch i (m i h p x p 5 quân bài) và m t bàn đ t s quân bài còn l i (32 quân)

 V y s cách là:

! 32

! 5

! 5

! 5

! 5

! 52

n C C

C    

C )

0 i

i n

y x y

9 Ví d (1/3)

 Tính t ng các h s c a các s h ng ch a x2 trong tri n khai bi u th c (x + y + z)n

Theo công th c c a nh th c Newton ta có

) (

)]

( [

) ( x y z n x y z n Cn i xi y z n i

2 j 2 n j 2

n 0 j

j 2 n

2 n 2

n 2

x z

y C C

z y

) (

)

2

1 n n C

0 j

j 2 n

2



k m

i n

k m

2 k m

2 n 1

k m

1 n

k m

k m

x C x

1

n

1 k

1 n

0 k

k n

n

x kC x

kC x

n