lý do chọn đề tài: Trong quá trình giảng dạy môn toán, việc đa ra những phơng pháp mới giúp cho việc giải bài toán đó ngắn gọn hơn là rất cần thiết.. Trong bài viết này tôi xin đợc trình
Trang 1Mở đầu
I lý do chọn đề tài:
Trong quá trình giảng dạy môn toán, việc đa ra những phơng pháp mới giúp cho việc giải bài toán đó ngắn gọn hơn là rất cần thiết Từ đó tạo sự lý thú cho học sinh khi học tập môn toán Trong bài viết này tôi xin đợc trình bày một phơng pháp mới để tính giới hạn của hàm số đó
là phơng pháp “Dùng đạo và phơng pháp tách bộ phận kép để tìm một
số bài toán giới hạn đặc biệt”
Giúp cho học sinh nắm đợc một phơng pháp mới để tính giới hạn
III Đối tợng nghiên cứu:
Phơng pháp này có thể phù hợp cho các đối tợng là học sinh lớp 11 và
12 sau khi đã đợc học về định nghĩa đạo hàm của hàm số và hàm số
mũ và hàm số loga (tùy mức độ nhận thức của học sinh)
IV Cơ sở lý luận:
Dựa vào thực tế giảng dạy
Vận dụng các phơng pháp giảng dạy cho phù hợp với từng đối tợng học sinh
Dựa vào một số tài liệu có sẵn
Trang 2Nội DUNG
Bài toán tính giới hạn của hàm số thơng gặp trong các kỳ tuyển sinh học sinh thờng sử dụng các phơng pháp khử dạng vô định đã học ngoài ra, còn một phơng pháp khác mà sách giáo khoa không
đề cập đến, đó là dùng định nghĩa đạo hàm và phơng pháp tách bộ phận kép để tính giới hạn, phơng pháp này dùng cho một lớp bài toán khá rộng trong chơng trình Xin đa ra và phân tích một số bài tập minh họa cho hai phơng pháp này
Phần một dùng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số Bài toán 1: tính giới hạn:
1
7 5
3 2
+
−
−
=
x x L
x ( ĐHTC-Kế toán, Hà nội, 2001) Lời giải
Đặt f( )x = 5 −x − 3 x2 + 7 ⇒ f( )1 = 0
tính ( )
/
7 3
2 5
2
1
+
−
−
−
=
x
x x
x
f ( )
12
5 6
1 4
1 1
⇒ f
suy ra
( ) ( ) ( +− ) =
−
=
→
→
1 lim
1
1 lim
1
1
x x
f x f L
x
24
5 2
1
/
−
=
f
Nhận xét: Nếu dùng phơng pháp gọi số hạng vắng để khử dạng vô
định, ta đi đến 2 bài toán mới nhng lời giải dài dòng
1
7 2
lim 1
2 5
3 2 1
2
+
− +
−
−
−
=
→
x x
x L
x x
Trang 3Bài toán 2: tính giới hạn
x
x x
L
1 1
2
lim
3 2 0
+
− +
=
→ (ĐHQG Hà nội, 2000)
Lời giải
đặt f( )x = 2x+ 1 − 3 x2 + 1 ⇒ f( )0 = 0
Ta viết lại
( ) ( )
x x x
f x f L
x sin0
0 lim
0
−
−
=
→ vì limsin 1
→ x
x
x , suy ra L= f /( )0
( )
/
) 1 ( 3
2 1
2
1
+
− +
=
x
x x
x
f ⇒ f /( )0 = 1
Vậy L = 1
Nhận xét Nếu sử dụng phơng pháp gọi số hạng vắng, ta có bài toán
mới khá phức tạp:
x
x x
x x
L
) 1 1
( ) 1 1 2 ( lim
3 2 0
+
− +
− +
=
→
Bài toán 3: tính giới hạn:
x x
x x
L
+ +
−
=
sin 1 2 1 lim
0 ( ĐH GTVT, 1998 ) Lời giải
Đặt f( )x = 1 − 2x+ 1 + sinx ⇒ f( )0 = 0 và f/( )0 = 0
g( )x = 3x+ 4 − 2 −x ⇒ g( )0 = 0 và ( )
4
1 0
g
Ta viết lại
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0
0 0 0
0
−
−
−
−
=
x f x
g x
f x f L
x
Trang 4Nhận xét: Nếu sử dụng phơng pháp nhân liên hợp, ta có cách giải
phải biến đổi dài dòng
2
2 4 3 1 2 sin 2 sin 1 lim
x x
x x
x x
x x x
L
+ + + +
− +
+
=
→
Bài toán 4: tính giới hạn:
x
e e
L
x x
lim
sin 2
sin
0
−
=
→ (ĐH Hàng hải - 1999)
Lời giải
Đặt f( )x =esin 2x −esinx ⇒ f( )0 = 0
Ta viết lại
x x x
e e
L
x x
x sin0 lim
sin 2 sin 0
−
−
=
→ vì limsin 1
→ x
x
x ,
suy ra L= f /( )0 = 1
Nhận xét: Có thể giải bằng cách khác:
=
e x
e x
1 2
sin
1 cos
2
lim sin2 sin
0 Dùng định lí lim 1 1
→ x
e x
x cũng đi
đến kết quả L = 1
Bài toán 5: tính giới hạn:
lim23sintan2 11
−
=
x I
x π
Lời giải
Đặt: f( )x = 3 tanx − 1 0
4=
g( )x = 2 sin 2 x− 1 0
4=
Trang 5Suy ra 23 31
2
4
4
/
/
=
=
= π
π
g
f
Nhận xét: Nếu sử dụng phơng pháp nhân liên hợp, ta có cách giải
phải biến đổi dài dòng
Bài toán 6 : tính giới hạn:
( )
x
x x
L
x
2008 5
1 2008
0
−
− +
=
→
Lời giải
đặt f( )x =(x2 + 2008)9 1 − 5x− 2008 ⇒ f( )0 = 0
2 9
/
5 1 9
2008 5 5 1 2
x
x x
x x
f
−
+
−
−
=
Ta lại có ( ) ( ) ( )
9
2008 5 0 0
0
0
−
=
=
−
−
=
x
f x f L
x
Nhận xét: Nếu bài toán trên không dung định nghĩa đạo hàm ta
viết lại:
( )
+
−
− +
=
x
x x
L
x
1 5 1 2008
Ta phải chứng minh bài toán quen thuộc sau đây:
x n x ax = a n
→
1 1
lim
0 bằng cách đặt t =n1 +ax Từ đó
áp dụng vào ( 1 ) để có kết quả
Thật khó khăn phải không các bạn !
Bài tập tham khảo Tính các gới hạn sau:
1)lim ( > 0)
−
−
a
x
x
a
x
Trang 62) x→2 x +−x −3−x−1−x
2 2
6 2
2
lim
3)
x
x x
x
x
3 3
3 2
0
1 1
→
3)lim3 2cos
2
x
x
x
a
x
−
→ ( §H SP Hµ néi || - 2000 )
0
3 1 2
1
lim
x
x x
x
+
− +
→ ( §H Thñy lîi - 2001 )
Trang 7Phần hai
Phơng pháp tách bộ phận kép để tìm giới hạn
của phân thức chứa căn Phơng pháp ;
Muốn tìm giới hạn ( ) ( )
( ) ( )*
limm n k
a
x g x f T
−
−
=
→ có dạng 00 (m, n, k
là các số tự nhiên, 1 ≤k ≤ min{ }m,n )
Ta biến đổi bằng cách thêm bớt biểu thức ( )
( )k
a x
x h
− vào phân thức để tìm giới hạn:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (x a)( )Q ( )x
x g x
Q a x
x f
a x
x h x g x h a
x
x h x h x f a
x
x g x
f
g
k f
k
k
k
k
n m
−
+
−
=
=
−
+
− +
−
− +
=
−
−
1 1
1
Trong đó Q f( ) ( )x,Q g x theo thứ tự là biểu thức liên hợp của ( ) ( )x h x
f
m − và h( )x −n g( )x
Lúc đó ( )
( ) ( ) (x a)( )Q ( )x
x g x
Q a x
x f T
g k a
x f k a
=
→
→
1
lim
điều quan trọng là chọn đợc h(x) sao cho các giới hạn
( )
( ) ( ) (x a)( )Q ( )x
x g x
Q
a
x
x
f
g k a
x f k
a
1
.
lim có dạng xác định hay dạng quen thuộc
Dới đây là các ví dụ minh họa.
Bài toán 1: tính giới hạn:
3 2 3 3 2
0
27 27 9
9 6 8
lim
x
x x
x x x T
x
+ +
− + + +
=
→
Lời giải
Đặt f( )x = 8x3 +x2 + 6x+ 9 = 8x3 +(x+ 3)2
Trang 8( ) 2 3 ( )3
3 27
27
x
Viết lại
lim ( ) (3 3) ( 3) 33 ( ) ( )1
+ +
−
=
x g x
x
x x f T
x
Ta có
( )
( )
4 3
8 lim
3
8 lim
3
3 lim
3 lim
0 3
3 0
3
2 0
3 0
1
= + +
= + +
=
= + +
+
−
= +
−
=
→
→
→
→
x x f x
x f x
x
x x f x
x x f x
x x f T
x x
x x
1 3
3
1 lim
3 3
3 lim
3 lim
3 2 3
2 0
3 2 3
2 3
3 0
3 3 0
2
= +
+ + +
=
= +
+ + +
− +
=
− +
=
→
→
→
x g x g x
x
x g x g x
x x
x g x
x
x g x
T
x
x x
Từ ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) ta có T = 34+ 271 = 2737
Lu ý: Biểu thức h(x) đợc xác định từ các biểu thức f( ) ( )x,g x và
đợc gọi là bộ phận kép trong bài toán tìm giới hạn dạng (*) một vài số hạng của bộ phận kép h(x) có thể bị ẩn trong f1( ) ( )x ,g1 x ta phải tìm chúng để xác định chính xác biểu thức h(x)
thí dụ :
Bài toán 2: tính giới hạn:
x
x x
x x
x T
x
3
4 3
0
4
1 ln cos 3 3 cos 2
3 1 2 cos lim
+
− +
− + +
=
→
Lời giải
Đặt ( )
2
1 3 1 cos
2
3 1 2
2
+
x
f
Trang 9( ) ( ) cos ln(1 );
4
1 ln cos 3 3
x x
x x
x
x
ë ®©y h(x) = cosx ta viÕt l¹i
( ) ( ) lim ( ) cos cos ( ) ( )4
0
3
+
−
=
−
=
→
x g x x
x x
f x
x g x
f
T
x x
( )
( )
4
1 cos 2
1
1 3 1 lim cos
2
1 3 1
lim
cos
cos lim
cos lim
3 0
3
0
2 0
0
1
= +
− +
= +
− +
=
= +
−
=
−
=
→
→
→
→
x x
g x
x x
x g
x
x
x x
f x
x x
f x
x x
f
T
x x
x x
( ) ( ) 6( )6
1 cos
cos
1
1
ln
lim
cos
cos
1 ln lim
cos cos
cos lim
cos
lim
3 2 3
2 0
3 2 3
2
0
3 2 3
2
3 0
3 0
2
= +
+
+
=
= +
+
+
=
= +
+
−
=
−
=
→
→
→
→
x g x g x x
x
x
x g x g x x
x
x
x g x g x x
x
x g x x
x g x
T
x
x
x x
Tõ (4), (5), (6) cã T =127
Bµi to¸n 2: tÝnh giíi h¹n:
42 2
0
4 2 1 2
2 cos lim
x
x x x
x T
x
− +
−
−
=
→
Lêi gi¶i
§Æt f( )x = cos 2x− 2x=(1 −x2)2 −x2 − 2 sin 2 x
hay f( )x −(1 −x2)2 = −x2 − 2 sin 2 x
g( )x = 1 + 2x2 − 4x=(1 −x)4 −x4 + 4x3 − 6x2 − 1 + 1 + 2x2
hay (1 )4 ( ) ( 4 4 3 6 2 1 ) 1 2 2 ,
x x
x x x g
ë ®©y h(x) = 1 – x
Trang 10Ta viÕt l¹i lim ( ) (2 1 ) (1 ) 24 ( ) ( )7
+
−
−
=
x g x x
x x
f T
x
Ta cã
( )
( )
3 1
sin 2 1 lim 1
sin 2 lim
1
1 lim
1 lim
2
0 2
2 2
0
2
2 0
2 0
1
−
=
− +
−
−
=
− +
−
−
=
=
− +
−
−
=
−
−
=
→
→
→
→
x x
f x x x
x
f
x
x x
x x
f x
x x
f x
x x
f
T
x x
x x
5 1
1 1
2 1 1 6 4 lim
] 1
1 1
[
1 lim
1 1
1
2 1 1 6 4 lim
1
lim
4 3
4 2 4
3
2
2 2
0
4 3
4 2 4
3 2
4 0
4 3
4 2 4
3 2
2 2
3 4 0
2 4 0
2
= +
− +
− +
−
− +
− +
−
=
= +
− +
− +
−
−
−
=
= +
− +
− +
−
+
− + +
−
=
−
−
=
→
→
→
→
x g x g x x
g x x
x
x x
x
x g x g x x
g x x
x
x g x
x g x g x x
g x x
x
x x
x x x
x g x
T
x
x
x x
Tõ (7), (8), (9) cã T = −14
Bµi tËp tham kh¶o
TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
0
3 1 2 1 lim
x
x x
T
x
+
− +
=
→ (§H thñy lîi Hµ néi 2001)
0
2 1 4
2 2 cos 2 2
3 lim
x
x x
x x
x x T
x
+
− + +
−
− + +
=
→
2
3
3 1 1
ln 52
1 lim
x
x x
x x T
x
+
− + +
+
=
→
4) ( )( 2) 3 ( )( 2)
3
lim
x x x
x
x T
=
→
Trang 11Sau khi đa ra phơng pháp trên vào dạy cho học sinh, học sinh lúc
đầu còn bỡ ngỡ nhng sau đó các em đã nắm đợc phơng pháp và sử dụng khá thành thạo, qua đó các em có một t duy sáng tạo trong toán học, đặc biệt là các em học sinh khá và giỏi
Tuy nhiên bài viết trên mới chỉ đề cập tới hai phơng pháp Bằng
ph-ơng pháp t duy các em có thể mở rộng sang phph-ơng pháp khác về tìm giới hạn ví dụ nh phơng pháp nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử hoặc đổi biến số để đa về bài toán quen thuộc, hoặc dùng phơng pháp gọi số hạng vắng…
Trên đây là kinh nghiệm của tôi xin các đồng nghiệp đóng góp ý kiến để bài viết hoàn thiện hơn
Phù Cừ, ngày 19 – 5 – 2008
Ngời viết
PHAN TUấN ANH