đề thi học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2008-2009
Môn: Toán - lớp 9
(Thời gian làm bài 120')
x
− với x〉 5 a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị x để P 〉 1
2
x x+ − x x− = x
b) (x-1)2008 + (x-2)2008 =1
Câu 3: Cho đa thức: P=(x+y+z)3-x3-y3-z3 Hãy chứng tỏ:
a) P = 0 thì (x2007+y2007)(y2009+z2009)(z2011+x2011) = 0
b) Nếu x,y,z là các số nguyên cùng tính chẵn, lẽ thì PM24
Câu 4: Cho 8x2+y2+ 2
1
4x = 4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A = xy
Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD), E là giao điểm của DA và CB, F là
giao điểm của hai đờng chéo Chứng minh rằng EF đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD
Câu 6: Cho tam giác ABC gọi độ dài ba cạnh AB, AC, BC theo thứ tự là c, b,
a các
đờng cao hạ từ A, B, C tơng ứng là ha, hb, hc Chứng minh rằng:
a) 1 1 1
h h h+ + =1r với r là bán kính đuờng tròn nội tiếp tam giác ABC b) (a+b+c)2 ≥ 4( 2 2 2
h h h+ + )
Câu 7: Tìm các số nguyên x,y thoã mãn: (y+2)x2+1 = y2
Trang 2
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi huyện lớp 9
năm học 2008-2009 Môn: Toán - lớp 9
-Đáp án
Câu 1 (3 điểm) Cho biểu thức P= 2 5 2 5
x
− với x〉 5 a/ Rút gọn biểu thức P
Ta có P 2=
x
+ + + − + − − + − + − + −
−
=
x
+ + − − + + −
x
− =
− − ⇒P=
1 5
x− b/ Tìm các giá trị x để P 〉 1
2
Ta có P 〉 1
5
x− 〉
1
2 ⇔ x− 5 〈 2 ⇔0 〈x- 5 〈 4 ⇔ 0 〈x 〈 4+ 5 kết hợp với x〉 5
ta đợc: 5 〈 x 〈 4+ 5
Câu 2: ( 3 điểm)
a/ Giải phơng trình: 2
x x+ − x x− = x
Trang 3ĐK:
x x
x x
+ ≥
− ≥
+ ≥ −
Với điều kiện trên bình phơng hai vế ta đợc PT :x(3x+1)+x(x-1)-2
(3x 1)(x 1) 4
x + − = x
⇔2 2
(3x 1)(x 1) 0
x + − = ⇔
0 1 3 1
x x x
=
= −
=
Kết hợp với điều kiện đợc tập nghiệm của PT là: S={ }0;1;
b/ (x-1)2008 + (x-2)2008 =1 ⇔ x − 12008+ x − 22008=1
-Ta nhận thấy x= 2 là một nghiệm của PT
- Nừu x 〉 2 thì vế trái 〉 1 nên x 〉 2 không phải là nghiệm của PT
- Nếu x〈1 thì vế trái 〉 1 nên x〈1 không phải là mhgiệm của PT
- Nếu 1〈x 〈2 thì x− 〈 1 1 và 2 − 〈x 1 khi đó
2008 2008
x − + x − = x − 12008+ 2 − x2008 〈 x-1+2-x = 1 nên 1〈x 〈2 không phải là nghiệm của PT
Vậy PT đã cho có nghiệm là x=2
Câu 3:( 3 điểm) Biến đổi rút gọn P ta đợc: P=3(x+y)(y+z)(x+z)
a/ P=3(x+y)(y+z)(x+z)=0
x z
= −
⇔ = −
= −
⇒(x2007+y2007)(y2009+z2009)(z2011+x2011)=0
b/ x,y, z cùng tính chẵn, lẽ thì x+y, y+z, x+z là các số chẵn ⇒(x+y)(y+z)
(x+z) M 8
⇒ P=3(x+y)(y+z)(x+z) M 24
Câu 4: (3 điểm)Trớc hết ta có: (a-b)2 ≥ 0 với mọi a,b ⇒a2+b2 ≥2ab ⇒(a+b)2
4ab
≥ ⇒ a+b ≥2 ab với a,b không âm dấu bằng xẩy ra khi a=b. Do đó ta có:
Trang 4⇔ 1
2
xy ≤
Vậy: AMax=1
2 đạt đợc khi 2 2
2 2
1 2 1 4 4 4
xy
x x y x
=
=
=
⇔
1 2 1
x y
=
=
và AMin= -1
2 đạt đợc khi
2
2
2
2
1
2
1
4
4
4
xy
x
x
y
x
= −
=
=
⇔
1
2
1
x
y
= −
=
Câu 5: ( 3 điểm)
Qua F ta vẽ đờng thẳng song song với DC cắt AD,BC tại M và N
áp dụng định lý ta lét trong các tam giác ADC và BDC có:
AC = DC và BF FN
BD = DC mà do AB//DC nên AF BF
AC = BD ⇒ MF FN
DC = DC
⇒ FM=FN ⇒ KA=KB, QD=QC
Q
K
N M
F E
B A
Câu 6: (3 điểm) a/Ta có .
a
a
ah = 2
a
ah +bh +ch = 2
a b c S
+ + =r ⇒
h h h+ + = 1r (đpcm)
Trang 5b/ Qua A vẽ đờng thẳng d//BC, lấy M đối xứng với B
qua d khi đó MB = 2 ha
Theo định lý Pi ta go trong tam giác vuông MBC ta có:
BM2+BC2 = MC2 ≤ (MA+AC)2 ⇒ BM2 ≤ (b+c)2-a2
Tức là: 4ha2 ≤ (b+c)2-a2
Tơng tự ta có: 4hb2 ≤ (a+c)2-b2
4hc2 ≤ (a+b)2-c2
Suy ra: 4(ha2+hb2+hc2)≤ (a+b+c)2 (đpcm)
B
ha A
C M
Câu 7: ( 2 điểm) Ta có:
(y+2)x2+1=y2 ⇔(y+2)x2=y2-1 (1) Dễ thấy y≠-2
Nên (1) ⇔x2 =
2
1 0 2
y
y −
≥ + nên
1
y y
− ≤ ≤ −
≥
(I)
Mà với y ∈Z thì ( y2-4) M (y+2) nên -3 M( y+2) để x2 =
2
1
y
y −
∈ + ⇒ y
{ 1, 3,1, 5}
∈ − − − kết hợp với (I) ta đợc:
Vậy: (x,y) = (0,-1)