Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CA lần lợt là P, Q, R.. Câu III Cho tam giác đều ABC, trên cạnh BC lấy điểm E, qua E k
Trang 1Các bài thi hình học của Tỉnh HD Câu III (4,5đ)
Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M Gọi (O1) là đờng tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O2) là đờng tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C Đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùng với A) 1) Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông
2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến của (O2)
3) BO1 cắt CO2 tại E Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đờng tròn
4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất
Câu IV (1đ)
Cho 2 số dơng a, b có tổng bằng 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 42 1 42
Câu II
Cho hệ phơng trình :
mx y 2
x my 1
− =
+ =
1) Giải hệ phơng trình theo tham số m
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm các giá trị của m để x + y = -1
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
Câu III
Cho tam giác ABC vuông tại B (BC > AB) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CA lần lợt là P, Q, R
1) Chứng minh tứ giác BPIQ là hình vuông
2) Đờng thẳng BI cắt QR tại D Chứng minh 5 điểm P, A, R, D, I nằm trên một đờng tròn
3) Đờng thẳng AI và CI kéo dài cắt BC, AB lần lợt tại E và F Chứng minh AE CF = 2AI CI
Câu III
Cho tam giác đều ABC, trên cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ các đờng thẳng song song với AB và AC chúng cắt AC tại P và cắt AB tại Q
1) Chứng minh BP = CQ
2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp Xác định vị trí của E trên cạnh BC để đoạn PQ ngắn nhất
3) Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho HB2 = HA2 + HC2 Tính góc AHC
Câu III
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đờng tròn tâm O, kẻ đờng kính AD, AH là đờng cao của tam giác (H ∈ BC)
1) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật
2) Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B, C trên AD Chứng minh HM vuông góc với AC
3) Gọi bán kính của đờng tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R
Chứng minh : r + R ≥ AB.AC
Câu III
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và cắt đờng tròn ngoại tiếp tại I
1) Chứng minh OI vuông góc với BC
2) Chứng minh BI2 = AI.DI
3) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC Chứng minh rằng : ãBAH CAO= ã
4) Chứng minh : ãHAO= −B Cà à
Câu III (3đ)
Cho tam giác ABC nhọn, đờng cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lợt tại E và F
Trang 21) Chứng minh AE = AF.
2) Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EFH
3) Kẻ đờng kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành
Câu IV (1đ)
Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả m n phã ơng trình: 3 x 7 y+ = 3200
Câu III (3đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N
1) Chứng minh rằng MN là đờng kính của đờng tròn đờng kính AH
2) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp
3) Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC tại I Chứng minh: BI = IC
Câu IV (1đ)
Chứng minh rằng 5 2− là nghiệm của phơng trình: x2 + 6x + 7 = 2
x, từ đó phân tích đa thức x3 + 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử
Câu III (3,5đ)
Cho tam giác ABC vuông tại C, O là trung điểm của AB và D là điểm bất kỳ trên cạnh AB (D không trùng với A, O, B) Gọi I
và J thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD
1) Chứng minh OI song song với BC
2) Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đờng tròn
3) Chứng minh rằng CD là tia phân giác của góc BAC khi và chỉ khi OI = OJ
Câu IV (1đ)Tìm số nguyên lớn nhất không vợt quá ( )7
7 4 3+
Câu III (3,5đ)
Cho đờng tròn tâm O và M là một điểm nằm ở bên ngoài đờng tròn Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (P và Q là tiếp điểm) và cát tuyến MAB
1) Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh bốn điểm P, Q, O, I nằm trên một đờng tròn
2) PQ cắt AB tại E Chứng minh: MP2 = ME.MI
3) Giả sử PB = b và A là trung điểm của MB Tính PA
Câu IV (1đ)
Xác định các số hữu tỉ m, n, p sao cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12
Câu IV (3,5đ)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm trên đờng chéo BD, gọi H, I và K lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC
và AD
1) Chứng minh :∆MIC = ∆HMK
2) Chứng minh CM vuông góc với HK
3) Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất
Câu V (1đ)
Chứng minh rằng :
(m 1)(m 2)(m 3)(m 4)+ + + + là số vô tỉ với mọi số tự nhiên m
Câu IV (3,5đ)
Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung của hai đờng tròn về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa B, có tiếp điểm với (O1) và (O2) thứ tự là E và F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt (O1) và (O2) thứ tự ở C và D
Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I Chứng minh:
1) IA vuông góc với CD
2) Tứ giác IEBF nội tiếp
3) Đờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF
Trang 3Câu V (1đ)
Tìm số nguyên m để m2+ +m 23 là số hữu tỉ
Câu III (3đ)
Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Dựng đờng tròn đờng kính AB, BC Gọi M và N thứ tự là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đờng tròn đờng kính AB và BC Gọi E là giao điểm của AM với CN
1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp
2) Chứng minh EB là tiếp tuyến của 2 đờng tròn đờng kính AB và BC
3) Kẻ đờng kính MK của đờng tròn đờng kính AB Chứng minh 3 điểm K, B, N thẳng hàng
Câu IV (1đ)
Xác định a, b, c thoả m n:ã
2
2 3
Câu III (3đ)
Cho tam giác MNP vuông tại M Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía ngoài tam giác MNP sao cho NQ = NP và
MNP PNQ= và gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại E
1) Chứng minh ãPMI QNI=ã
2) Chứng minh tam giác MNE cân
3) Chứng minh: MN PQ = NP ME
Câu IV (1đ)
Tính giá trị của biểu thức:
A = x5 43x3 10x 122
Câu IV (3đ)
Cho nửa đờng tròn đờng kính MN Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đờng tròn (P ≠ M, P ≠ N) Dựng hình bình hành MNQP Từ P
kẻ PI vuông góc với đờng thẳng MQ tại I và từ N kẻ NK vuông góc với đờng thẳng MQ tại K
1) Chứng minh 4 điểm P, Q, N, I nằm trên một đờng tròn
2) Chứng minh: MP PK = NK PQ
3) Tìm vị trí của P trên nửa đờng tròn sao cho NK.MQ lớn nhất
Câu V (1đ)
Gọi x1, x2, x3, x4 là tất cả các nghiệm của phơng trình (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = 1 Tính: x1x2x3x4
Câu IV (3đ)
Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự ấy, gọi (O) là đờng tròn đi qua N và P Từ M kẻ các tiếp tuyến MQ và MK với đ-ờng tròn (O) (Q và K là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của NP
1) Chứng minh 5 điểm M, Q, O, I, K nằm trên một đờng tròn
2) Đờng thẳng KI cắt đờng tròn (O) tại F Chứng minh QF song song với MP
3) Nối QK cắt MP tại J Chứng minh :
MI MJ = MN MP
Câu V (1đ)
Gọi y1 và y2 là hai nghiệm của phơng trình : y2 + 5y + 1 = 0 Tìm a và b sao cho phơng trình : x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm
là : x1 = y1 + 3y2 và x2 = y2 + 3y1
Bài 4 (3đ)
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC, BD cắt nhau tại E Hình chiếu vuông góc của E trên AD
là F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M Giao điểm của BD và CF là N Chứng minh:
a) CEFD là tứ giác nội tiếp
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM
c) BE.DN = EN.BD
Trang 4Bài 5 (1đ)
Tìm m để giá trị lớn nhất của biểu thức 2x m2
+ + bằng 2.
Bài 4 (3đ)
Cho điểm A ở ngoài đờng tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là tiếp điểm) M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M≠B, M≠C) Gọi D, E, F tơng ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đờng thẳng AB, AC, BC; H là giao
điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF
1) Chứng minh:
a) MECF là tứ giác nội tiếp
b) MF vuông góc với HK
2) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất
Bài 5 (1đ)
Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho điểm A(-3; 0) và Parabol (P) có phơng trình y = x2 H y tìm toạ độ của điểm M thuộc (P)ã
để cho độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất
Câu IV (3đ) Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đờng tròn (O) Kẻ đờng kính AD Gọi M là trung điểm của AC, I là trung
điểm của OD
1) Chứng minh OM // DC
2) Chứng minh tam giác ICM cân
3) BM cắt AD tại N Chứng minh IC2 = IA.IN
Câu V (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(-1 ; 2), B(2 ; 3) và C(m ; 0) Tìm m sao cho chu vi tam giác ABC
nhỏ nhất
Câu IV (3đ)
Cho đờng tròn (O ; R) và dây AC cố định không đi qua tâm B là một điểm bất kì trên đ ờng tròn (O ; R) (B không trùng với A
và C) Kẻ đờng kính BB’ Gọi H là trực tâm của tam giác ABC
1) Chứng minh AH // B’C
2) Chứng minh rằng HB’ đi qua trung điểm của AC
3) Khi điểm B chạy trên đờng tròn (O ; R) (B không trùng với A và C) Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đ ờng tròn
cố định
Câu V (1đ)
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng y = (2m + 1)x – 4m – 1 và điểm A(-2 ; 3) Tìm m để khoảng cách từ A đến đ-ờng thẳng trên là lớn nhất
Câu IV (3đ)
Cho đờng tròn (O) và một điểm A nằm ở bên ngoài đờng tròn Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đờng tròn (O), P và Q là các tiếp điểm Đờng thẳng đi qua O vuông góc với OP và cắt đờng thẳng AQ tại M
1) Chứng minh rằng MO = MA
2) Lấy điểm N nằm trên cung lớn PQ của đờng tròn (O) Tiếp tuyến tại N của đờng tròn (O) cắt các tia AP và AQ lần lợt tại B
và C
a) Chứng minh : AB + AC – BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm N
b) Chứng minh : Nếu tứ giác BCQP nội tiếp một đờng tròn thì PQ // BC
Câu V (1đ)
Giải phơng trình :
x −2x 3− + x 2+ = x +3x 2+ + x 3−
Câu II(3đ).
Cho hệ phơng trình (a 1 x y 4)
ax y 2a
+ =
Trang 51) Giải hệ khi a = 1.
2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả m n x + y ã ≥ 2
Câu III(3đ).
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại A M và Q là hai điểm phân biệt chuyển
động trên (d) sao cho M khác A và Q khác A Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là N và P Chứng minh :
1) Tích BM.BN không đổi
2) Tứ giác MNPQ nội tiếp
3) BN + BP + BM + BQ > 8R
Câu IV (1đ).
Tìm giá trị nhỏ nhất của y =
2 2
Câu IV (3đ)
Cho đờng tròn (O) Lấy điểm A ở ngoài đờng tròn (O), đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) tại hai điểm B, C (AB < AC) Qua A
vẽ đờng thẳng không đi qua O cắt đờng tròn (O) tại hai điểm phân biệt D, E (AD < AE) Đờng thẳng vuông góc với AB tại A cắt đờng thẳng CE tại F
1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp
2) Gọi M là giao điểm thứ hai của đờng thẳng FB với đờng tròn (O) Chứng minh DM⊥AC
3) Chứng minh : CE.CF + AD.AE = AC2
Câu V (1đ)
Cho biểu thức:
B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x - 2)2 + 2008
Tính giá trị của B khi x = 1 2 1
−
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Trên đờng tròn lấy một điểm C ( C không trùng với A,B và CA > CB ) Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A , tại C cắt nhau ở điểm D, kẻ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB ), DO cắt AC tại E
1) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp
2) Đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB tại F Chứng minh : ẳ2 BCF CFB +ẳ = 90 0
3) BD cắt CH tại M Chứng minh EM // AB
Câu 5 ( 1,0 điểm )
Cho x, y thỏa m n :ã
(x+ x2+2008)(y+ y2+2008) =2008
Tính x + y
Cõu IV: (3 điểm)
Cho đường trũn tõm O Lấy điểm A ở ngoài đường trũn (O), đường thẳng AO cắt đường trũn (O) tại 2 điểm B, C (AB < AC) Qua A vẽ đường thẳng khụng đi qua O cắt đường trũn (O) tại hai điểm phõn biệt D, E (AD < AE) Đường thẳng vuụng gúc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F
1) Chứng minh tứ giỏc ABEF nội tiếp
2) Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với đường trũn (O) Chứng minh DM ⊥ AC
Trang 63) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2.
Cõu V: (1 điểm)
Cho biểu thức : B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008
Tớnh giỏ trị của B khi x = 1 2 1
− +
Câu IV(3,0 điểm)
Cho đờng tròn (O), dây AB không đi qua tâm Trên cung nhỏ Ab lấy điểm M (M không trùng với A, B) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H Kẻ MK vuông góc với AN (K∈AN)
1 Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đờng tròn
2 Chứng minh: MN là tia phân giác của góc BMK
3 Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB Gọi E là giao điểm của HK và BN Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN +
ME.NB) có giá trị lớn nhất
Câu V:(1,0 điểm)
Cho x, y thoả m n: ã x+ −2 y3 = y+ −2 x3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x2 + 2xy – 2y2 +2y +10
Cõu 3: (2,0 điểm)
Cho phương trỡnh: x2- 2x + (m – 3) = 0 (ẩn x)
a) Giải phương trỡnh với m = 3
b) Tớnh giỏ trị của m, biết phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 và thỏa món điều kiện: x1 – 2x2 + x1x2 = - 12
Cõu 4:(3 điểm)
Cho tam giỏc MNP cõn tại M cú cậnh đỏy nhỏ hơn cạnh bờn, nội tiếp đường trũn ( O;R) Tiếp tuyến tại N và P của đường trũn lần lượt cắt tia MP và tia MN tại E và D
a) Chứng minh: NE2 = EP.EM
b) Chứng minh tứ giỏc DEPN kà tứ giỏc nội tiếp
c) Qua P kẻ đường thẳng vuụng gúc với MN cắt đường trũn (O) tại K
( K khụng trựng với P) Chứng minh rằng: MN2 + NK2 = 4R2
Cõu 5:(1,0 điểm)
Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = 6 4x2
x 1
− +
Câu 4 : ( 3 điểm )
Cho tam giác vuông ABC ( àC = 900 ) nội tiếp trong đờng tròn tâm O Trên cung nhỏ AC ta lấy một điểm M bất kỳ ( M khác
A và C ) Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AC , đờng tròn này cắt đờng tròn (O) tại điểm D ( D khác C ) Đoạn thẳng BM cắt
đờng tròn tâm A ở điểm N
a) Chứng minh MB là tia phân giác của góc ãCMD
b) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn tâm A nói trên
c) So sánh góc CNM với góc MDN
d) Cho biết MC = a , MD = b H y tính đoạn thẳng MN theo a và b ã