Phương trình vi phân thường - Nguyễn Văn Minh pdf

Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at.. phu.o.ng tr`ınh bˆa.c nhˆa´t.. phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆa`n nhˆa´t v`a cˆong th´u.c biˆe´n thiˆen h˘a`ng sˆo´.. Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ı

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

THƯỜNG

Nguyễn Văn Minh

Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan thu.`o.ng l`a l˜ınh vu. c lˆau d¯`o.i cu’a To´an ho.c.N´oi nhu vˆa.y khˆong c´o ngh˜ıa l`a n´o “ c˜u k˜y”, khˆong c`on ph´at triˆe’nd¯u.o. c n˜u.a, m`a tr´ai la.i d¯ˆay l`a l˜ınh vu c ph´. at triˆe’n rˆa´t sˆoi d¯ˆo.ng cu’aTo´an Ho.c trong suˆo´t nhiˆe` u thˆa.p ky’ qua D- iˆe` u n`ay c´o thˆe’ hiˆe’u d¯u.o. cv`ı d¯ˆay l`a chiˆe´c cˆ` u nˆa o´i cu’a To´an ho.c v´o.i c´ac l˜ınh vu c khoa ho.c ´u.ngdu.ng kh´ac c˜ung nhu l`a no.i h`oa nhˆa.p cu’a nhiˆe`u l˜ınh vu c rˆa´t kh´acnhau cu’a ch´ınh To´an ho.c Hiˆe.n nay o’ nu.´. o.c ta c´o xu hu.´o.ng thugo.n tˆen go.i “ phu.o.ng tr`ınh vi phˆan thu.`o.ng” th`anh “phu.o.ng tr`ınh

vi phˆan” C´ach l`am nhu vˆa.y s˜e gˆay nhiˆe` u nhˆ` m lˆa a˜n, nhˆa´t l`a choc´ac sinh viˆen Cˆ` n pha’i phˆa an biˆe.t r˘a`ng thuˆa.t ng˜u “phu.o.ng tr`ınh

vi phˆan” bao h`am khˆong chı’ phu.o.ng tr`ınh vi phˆan thu.`o.ng m`a c`onca’ phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d¯a.o h`am riˆeng, mˆo.t l˜ınh vu c gˆ. ` n g˜a ui v´o.iphu.o.ng tr`ınh vi phˆan thu.`o.ng (v`a c`on rˆo.ng l´o.n ho.n rˆa´t nhiˆe` u!)

Tˆa.p b`ai gia’ng n`ay tˆoi biˆen soa.n v`a gia’ng cho sinh viˆen hˆe cu.nhˆan khoa ho.c t`ai n˘ang cu’a D- a.i ho.c Khoa ho.c Tu nhiˆen, D- a.i ho.cQuˆo´c gia H`a nˆo.i, v´o.i tham vo.ng khiˆem tˆo´n l`a cung cˆa´p cho sinhviˆen, trong mˆo.t th`o.i gian ha.n chˆe´ (45 tiˆe´t ho.c), mˆo.t h`ınh dung n`aod¯´o vˆ` l˜ınh vu.e c n`ay D- ˘a.c biˆe.t, tˆoi muˆo´n nhˆa´n ma.nh d¯ˆe´n c´ac cˆong cu.d¯ang d`ung rˆo.ng r˜ai trong nghiˆen c´u.u hiˆe.n nay Tˆa´t nhiˆen v´o.i mˆo.tkhˆong gian ha.n chˆe´ ch´ung ta chı’ c´o thˆe’ ch˘a´t lo.c nh˜u.ng ´y tu.o.’ngquan tro.ng nhˆa´t v`a pha’i tr`ınh b`ay d¯u.o c mˆo.t c´ach x´uc t´ıch, d¯o.ngia’n nhˆa´t c´o thˆe’ d¯u.o. c So v´o.i c´ac gi´ao tr`ınh vˆ` phu.o.ng tr`ınh viephˆan d¯˜a v`a d¯ang d¯u.o. c su’ du.ng o.’ Viˆe.t Nam hiˆe.n nay, tˆoi d¯˜a d¯u.a.v`ao tˆa.p c´ac b`ai gia’ng n`ay nh˜u.ng chu’ d¯ˆe` m´o.i sau d¯ˆay:

1 D- i.nh l´y Perron vˆe` d¯˘a.c tru.ng hˆe hyperbolic, d¯iˆe`u kiˆe.n tˆo`n ta.inghiˆe.m tuˆa` n ho`an, gi´o.i nˆo.i,

2 D- a ta.p bˆa´t biˆe´n v`a ´u.ng du.ng trong nghiˆen c´u.u ˆo’n d¯i.nh,

3 C´ach d`ung phˆ` n mˆea ` m Maple d¯ˆe’ t´ıch phˆan phu.o.ng tr`ınh viphˆan

I

Trong khi tˆoi kh´a h`ai l`ong v´o.i c´ach tr`ınh b`ay d¯o.n gia’n hai vˆa´n d¯ˆ`ed¯ˆ` u tiˆen th`ı vˆa a´n d¯ˆ` th´e u ba c`on rˆa´t l´ung t´ung D- iˆe` u n`ay dˆe˜ hiˆe’uv`ı kinh nghiˆe.m c`on chu.a nhiˆe` u, trong khi “s´u.c ´ep” cu’a “Th` o.i d ¯a i m´ ay t´ınh” la.i qu´a l´o.n Tˆoi tin r˘a`ng rˆa´t nhiˆe` u ngu.`o.i trong c´ac ba.nc´o thˆe’ l`am tˆo´t viˆe.c n`ay D- iˆe` u duy nhˆa´t tˆoi lu.u ´y c´ac ba.n l`a cˆa` npha’i hiˆe’u d¯u.o. c gi´o.i ha.n cu’a c´ac phˆa` n mˆe` m v`a pha’i hiˆe’u d¯u.o. c ta.isao.

Tˆoi hy vo.ng viˆe.c d¯´anh m´ay la.i to`an v˘an b`ai gia’ng v´o.i mˆo.t sˆo´

bˆo’ sung b˘a`ng phˆa` n mˆe` m soa.n tha’o v˘an ba’n LaTeX n`ay s˜e gi´upc´ac sinh viˆen, ho.c viˆen cao ho.c v`a c´ac c´an bˆo nghiˆen c´u.u c´o thˆemt`ai liˆe.u tham kha’o, nhˆa´t l`a trong t`ınh h`ınh thiˆe´u s´ach vo’ hiˆe.n nay..Theo tˆoi c´ac b`ai gia’ng n`ay c´o thˆe’ d`ung d¯ˆe’ da.y mˆo.t chuyˆen d¯ˆe`

vˆ` phu.o.ng tr`ınh vi phˆe an thu.`o.ng “nˆang cao” cho c´ac l´o.p cao ho.cchuyˆen vˆ` phu.o.ng tr`ınh vi phˆe an v`a t´ıch phˆan

Do th`o.i gian c´o ha.n, m˘a.c dˆa` u d¯˜a rˆa´t cˆo´ g˘a´ng v`a d¯˜a nhˆa.n d¯u.o c

su. gi´up d¯˜o cu’a nhiˆ` u sinh viˆen trong th`e o.i gian gia’ng da.y, gi´ao tr`ınhch˘a´c c`on nhiˆe` u thiˆe´u s´ot cˆ` n bˆa o’ sung trong th`o.i gian t´o.i Tˆoi mongnhˆa.n d¯u.o c nhiˆe`u ´y kiˆe´n phˆe b`ınh cu’a c´ac d¯ˆo.c gia’ xa gˆa`n

D - a.i ho.c Khoa ho.c Tu nhiˆen D

- a.i ho.c Q uˆo´c gia H`a nˆo.i

E-mail: nvminh@netnam.vn

C LU C

1.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan v`a c´ac d¯i.nh l´y tˆo`n ta.i v`a duy

nhˆa´t nghiˆe.m 7

1.1.1 Mˆo.t sˆo´ v´ı du vˆe` c´ac mˆo h`ınh to´an ho.c su’ du.ng. phu.o.ng tr`ınh vi phˆan 7

1.1.2 C´ac d¯i.nh l´y tˆo`n ta.i duy nhˆa´t nghiˆe.m 10

1.1.3 D- i.nh l´y Peano 14

1.1.4 D- i.nh l´y vˆe` th´ac triˆe’n nghiˆe.m 15

1.2 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at 17

1.2.1 Hˆe phu.o.ng tr`ınh bˆa.c nhˆa´t 17

1.2.2 Hˆe phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆa`n nhˆa´t v`a cˆong th´u.c biˆe´n thiˆen h˘a`ng sˆo´ 22

1.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh c´o hˆe sˆo´ h˘a`ng sˆo´ v`a tuˆa`n ho`an 23

1.3.1 H`am ma trˆa.n 23

1.3.2 Phu.o.ng tr`ınh c´o hˆe sˆo´ h˘a`ng sˆo´ 26

1.3.3 Phu.o.ng tr`ınh c´o hˆe sˆo´ tuˆa` n ho`an 30

1.4 Nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆa`n nhˆa´t 31 1.4.1 Nghiˆe.m tuˆa` n ho`an 31

1.4.2 Nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i 33

1.4.3 C´ac khˆong gian h`am chˆa´p nhˆa.n d¯u.o c 35

1.4.4 Nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i trˆen nu.’a tru.c 35

1.5 B`ai to´an biˆen 36

1.5.1 B`ai to´an biˆen thuˆ` n nhˆa a´t 36

1.5.2 Phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t 38

1.6 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh bˆa.c cao 39

1.7 Su phu thuˆo.c liˆen tu.c theo d¯iˆe`u kiˆe.n ban d¯ˆa`u v`a theo tham sˆo´ 41

2 C´ ac phu.o.ng ph´ ap d ¯i.nh lu o ng 44 2.1 Mˆo.t sˆo´ phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan c´ac phu.o.ng tr`ınh vi phˆan 44

III

2.1.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan c´ac l´o.p phu.o.ng

tr`ınh thu.`o.ng g˘a.p 44

2.1.2 Phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t v`a phu.o.ng tr`ınh d¯u.a vˆ` d¯u.o c da.ng n`ay e 47 2.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 49

2.1.4 Phu.o.ng tr`ınh d¯u.a d¯u.o c vˆe` da.ng phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 50

2.1.5 Phu.o.ng tr`ınh Ricati 52

2.1.6 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan ho`an chı’nh 54

2.1.7 Phu.o.ng ph´ap d`ung phˆ` n mˆea ` m to´an ho.c 56

2.2 Phu.o.ng ph´ap tham sˆo´ b´e 61

3 L´ y thuyˆ e´t d ¯i.nh t´ınh 62 3.1 L´y thuyˆe´t ˆo’n d¯i.nh 62

3.1.1 Kh´ai niˆe.m ˆo’n d¯i.nh theo ngh˜ıa Lyapunov 62

3.1.2 Phu.o.ng ph´ap th´u nhˆa´t Lyapunov 64

3.1.3 Phu.o.ng ph´ap th´u hai Lyapunov 67

3.2 D- a ta.p bˆa´t biˆe´n v`a su mˆa´t ˆo’n d¯i.nh 70

3.2.1 Su tˆo`n ta.i cu’a d¯a ta.p bˆa´t biˆe´n 70

3.2.2 T´ınh bˆa´t biˆe´n cu’a c´ac d¯a ta.p 74

3.2.3 D- a ta.p khˆong ˆo’n d¯i.nh v`a su mˆa´t ˆo’n d¯i.nh nghiˆe.m 75

3.2.4 Nguyˆen l´y ˆo’n d¯i.nh thu go.n 75

L ´ Y THUYˆ E ´T T ˆ O’NG QU ´ AT

1.1 PHU . O . NG TR` INH VI PH ˆ AN V ` A C ´ AC D - I.NH L ´ Y

T ˆ ` N TA.I V`A DUY NHˆA´T NGHIˆE.M O

1.1.1 Mˆ o.t sˆo´ v´ı du vˆe ` c´ ac mˆ o h`ınh to´ an ho.c su ’ du.ng .

phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an

Nhiˆ` u b`e ai to´an cu’a Vˆa.t l´y , Co ho.c, Sinh ho.c, dˆa˜n d¯ˆe´n viˆe.cgia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh h`am c´o ch´u.a vi phˆan cu’a h`am pha’i t`ım D- ˆe’minh ho.a ch´ung ta x´et mˆo.t sˆo´ v´ı du quen biˆe´t sau d¯ˆay:

Con l˘ a ´c to´ an ho.c

V´ı du 1.1 X´ et dao d ¯ˆ o ng cu’a mˆ o t chˆ a´t d ¯iˆ e’m c´ o khˆ o´i lu.o ng m du.´ o.i t´ ac du ng cu’a lu c h´ . ut.

Chuyˆe’n d¯ˆo.ng cu’a con l˘a´c s˜e xa’y ra trong m˘a.t ph˘a’ng th˘a’ngd¯´u.ng Go.i l l`a d¯ˆo d`ai cu’a con l˘a´c, φ(t) l`a g´oc lˆe.ch cu’a con l˘a´c so

v´o.i vi tr´ı th˘a’ng d¯´u.ng ta.i th`o.i d¯iˆe’m t Khi d¯´o theo c´ac d¯i.nh luˆa.t

cu’a co ho.c ta c´o phu.o.ng tr`ınh

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y

x Con lac

D - i.nh luˆa.t Malthus vˆe ` quˆ ` n thˆ a e’

Gia’ su.’ quˆ` n thˆe’ d¯u.o c phˆan bˆo´ d¯ˆea ` u trong khˆong gian, tˆa´t ca’c´ac c´a thˆe’ nhu nhau v`a c´ac thˆe´ hˆe kˆe´ tiˆe´p Go.i N(t) l`a sˆo´ lu.o ngcu’a ch´ung ta.i th`o.i d¯iˆe’m t Khi d¯´o D- i.nh luˆa.t Malthus n´oi r˘a`ng

dN (t)

trong d¯´o B l`a ty’ lˆe sinh, D l`a ty’ lˆe chˆe´t tu nhiˆ. en.

Mˆ o h`ınh to´ an ho.c cu’a quˆa ` n thˆ e’ vˆ a.t s˘an-mˆo ` i

Gia’ su.’ quˆ` n thˆe’ d¯ang x´et gˆa `m hai lo`o ai, trong d¯´o mˆo.t lo`ai l`ad¯ˆo.ng vˆa.t ˘an mˆo`i, c`on lo`ai kia l`a mˆ`i cho n´o o Go.i x(t), y(t) tu.o.ng

´

u.ng l`a sˆo´ lu.o. ng con mˆ`i, vˆo a.t s˘an ta.i th`o.i d¯iˆe’m t Khi d¯´o mˆo h`ınh

Volterra cu’a quˆ` n thˆe’ s˜e d¯u.o.a c biˆe’u diˆ˜n nhu sau:e

Ta c´o thˆe’ v˜e tru.`o.ng v´ec to ´u.ng v´o.i hˆe trˆen trˆen m˘a.t ph˘a’ng (x, y)

nhu sau (d`ung phˆ` n mˆea ` m Maple):

0 0.5

1 1.5

2

y

x Lotka-Volterra model

Trong c´ac mˆo h`ınh to´an ho.c trˆen ch´ung ta d¯ˆe` u thˆa´y su. tham giacu’a vi phˆan c´ac cˆa´p cu’a h`am ˆa’n φ(t), N (t), x(t), y(t) trong phu.o.ng

tr`ınh mˆo pho’ng c´ac qu´a tr`ınh thu. c tˆe´ Phu.o.ng tr`ınh h`am trongd¯´o c´o ch´u.a ca’ c´ac vi phˆan cu’a h`am pha’i t`ım d¯u.o. c go.i l`a phu.o.ngtr`ınh vi phˆan thu.`o.ng Cˆ` n ch´a u ´y phˆan biˆe.t phu.o.ng tr`ınh vi phˆanthu.`o.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d¯a.o h`am riˆeng Phu.o.ng tr`ınh viphˆan d¯a.o h`am riˆeng l`a phu.o.ng tr`ınh h`am nhiˆe` u biˆe´n, c´o ch´u.a d¯a.oh`am riˆeng cu’a h`am pha’i t`ım Viˆe.c nghiˆen c´u.u phu.o.ng tr`ınh d¯a.oh`am riˆeng v`ı thˆe´ s˜e kh´o kh˘an gˆa´p bˆo.i v`a d¯`oi ho’i pha’i c´o nh˜u.ngphu.o.ng ph´ap ph´u.c ta.p ho.n nhiˆe` u Nhu vˆa.y mˆo.t phu.o.ng tr`ınh viphˆan thu.`o.ng s˜e c´o da.ng

th`o.i d¯iˆe’m t, c` on y = y(t) l`a tra.ng th´ai ta.i th`o.i d¯iˆe’m n`ay D- ˆe’ cho

go.n trong phu.o.ng tr`ınh ngu.`o.i ta s˜e viˆe´t y thay cho y(t) nˆe´u hiˆe’u

ngˆ` m h`a am pha’i t`ım y l`a h`am cu’a t.

Mˆo.t d¯`oi ho’i tu nhiˆ. en khi nghiˆen c´u.u c´ac mˆo h`ınh to´an ho.c l`a su..pha’n ´anh trung th`anh cu’a ch´ung c´ac qu´a tr`ınh thu. c tiˆe˜n Ch˘a’ngha.n, qu´a tr`ınh tiˆe´n h´oa chı’ chuyˆe’n t`u mˆo.t tra.ng th´ai x0 v`a th`o.i

d¯iˆe’m t0 d¯ˆe´n mˆo.t tra.ng th´ai x(t) duy nhˆa´t v`ao th`o i d¯iˆe’m t Ho.n

n˜u.a, nˆe´u x1 kh´a gˆ` n xa 0 ta.i th`o.i d¯iˆe’m t0 th`ı qu´a tr`ınh s˜e chuyˆe’n

tra.ng th´ai n`ay d¯ˆe´n y(t) ta.i th`o i d¯iˆe’m t kh´a gˆa`n v´o.i x(t) Nh˜u.ng d¯`oi

ho’i trˆen d¯u.o. c go.i l`a su. tˆ`n ta.i duy nhˆa´t nghiˆe.m v`a su phu thuˆo.coliˆen tu.c theo d¯iˆe` u kiˆe.n ban d¯ˆa` u Nh˜u.ng d¯iˆ` u kiˆe.n n`ay c`on d¯u.o c go.iev˘a´n t˘a´t l`a su. thiˆe´t lˆa.p d¯´ung d¯˘a´n cu’a phu.o.ng tr`ınh, hay mˆo h`ınhd¯ang x´et

1.1.2 C´ ac d ¯i.nh l´ y tˆ ` n ta.i duy nhˆa´t nghiˆe.m o

X´et phu.o.ng tr`ınh vi phˆan

dx

trong d¯´o f x´ac d¯i.nh v`a liˆen tu.c trˆen miˆe` n G := (a, b) × {y ∈ R n :

y − y0 ≤ r} C`ung v´o.i phu.o.ng tr`ınh (1.6) ta x´et phu.o.ng tr`ınh

˙x = f (t, x),

go.i l`a B`ai to´an Cauchy kˆe´t ho p v´. o.i phu.o.ng tr`ınh (1.6).

Nhˆ a.n x´et Trong b`ai to´an Cauchy (1.7) ch´ung ta khˆong x´ac d¯i.nh

r˜o trong phu.o.ng tr`ınh d¯ˆ` u khoa’ng x´a ac d¯i.nh cu’a h`am pha’i t`ım

x = x(t) Nhu s˜e thˆa´y du.´o.i d¯ˆay, su. tˆ`n ta.i nghiˆe.m x(t) v´o.i t trongo

lˆan cˆa.n (hai ph´ıa) cu’a t0 s˜e d¯u.o. c ch´u.ng minh D- iˆe` u n`ay thˆe’ hiˆe.n

“nguyˆen l´y” : biˆe´t hiˆe.n ta.i x´ac d¯i.nh d¯u.o c tu.o.ng lai v`a t´ai ta.o d¯u.o cqu´a kh´u Trong rˆa´t nhiˆ` u b`e ai to´an kh´ac da.ng tr`ıu tu.o ng, nguyˆenl´y trˆen khˆong d¯´ung “Biˆe´t hiˆe.n ta.i chı’ c´o thˆe’ x´ac d¯i.nh d¯u.o c tu.o.nglai m`a thˆoi” V`ı vˆa.y, b`ai to´an Cauchy tu.o.ng ´u.ng nhˆa´t thiˆe´t d¯`oi ho’i

t > t0 trong phu.o.ng tr`ınh d¯ˆ` u.a

D - i.nh l´y Tˆo ` n ta.i D - i.a phu.o.ng

D- i.nh l´y 1.1 Gia’ su.’ f l`a ´anh xa liˆen tu.c t`u G sang R n tho’a m˜ an c´ ac d ¯iˆ ` u kiˆe.n sau v´o.i mo.i t ∈ (a, b), x, y ∈ ¯ e B η (x0) := {x ∈ R n :

x − x0 ≤ η}:

f(t, x) ≤ M1; (1.8)

trong d ¯´ o M1, M2 l` a c´ ac h˘ a `ng sˆo´ khˆong phu thuˆo.c v`ao t, x, y Khi

d ¯´ o tˆ `n ta.i sˆo´ δ > 0 (δ = min{η/M o 1, 1/M2}) sao cho v´o.i mo.i

t ∈ (a, b), trong khoa’ng (t0 − δ, t0 + δ) ∩ (a, b) b`ai to´an Cauchy (1.7) c´ o d ¯´ ung mˆ o t nghiˆ e.m x = φ(t) tho’a m˜an φ(t) − x0 ≤ η.

Ch´ u.ng minh X´et phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan

[t0−δ1, t0+δ1] v`aoRn (δ1 < δ) v´o.i chuˆa’nf = sup t f(t), v`a h`ınh

cˆ` u d¯´a ong S η (x0) :={u ∈ C([t0−δ1, t0+ δ1],Rn) : supt u(t)−x0 ≤

η } X´et to´an tu.’

[Sx( ·)](t) := y(t) = x0+

 t

t

f (τ, x(τ ))dτ, ∀x(·) ∈ S η (x0) (1.11)

Ta s˜e ch´u.ng minh S l`a to´an tu.’ t´ac d¯ˆo.ng trong S η (x0) Thˆa.t vˆa.y, ´anh

xa y(·) liˆen tu.c v`ı f liˆen tu.c theo t, tho’a m˜an d¯iˆe` u kiˆe.n Lipschitz

theo x Ho.n n˜u.a,

trong S η (x0) tˆ`n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t d¯iˆe’m bˆa´t d¯ˆo.ng x(·) cu’a to´an tu.’o

S D- ´o ch´ınh l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh t´ıch phˆan (1.10) D- i.nh l´yd¯u.o. c ch´u.ng minh

D - i.nh l´y Tˆo ` n ta.i To`an cu.c

Trong d¯i.nh l´y tˆo`n ta.i d¯i.a phu.o.ng ch´ung ta chı’ kh˘a’ng d¯i.nh su tˆo`n

ta.i nghiˆe.m x(·) trong mˆo.t lˆan cˆa.n cu’a t0 N´oi chung khˆong suy ra

d¯u.o. c su tˆ. `n ta.i trˆen to`an khoa’ng (a, b) Do - ˆe’ minh ho.a d¯iˆe` u n`ay, tax´et v´ı du sau:

V´ı du . 1.2 X´ et phu.o.ng tr`ınh

dx

dt = x

Trong tru.`o.ng ho. p n`ay r˜o r`ang a = −∞, b = +∞ v`a ∀C ∈ R h`am

sˆo´ x(t) = C−t1 l`a nghiˆe.m Ch˘a’ng ha.n x´et b`ai to´an Cauchy kˆe´t ho p.v´o.i phu.o.ng tr`ınh trˆen v´o.i x0 = 1, t0 = 0 Khi d¯´o x(t) = 1−t1 l`anghiˆe.m (d¯i.a phu.o.ng) cu’a b`ai to´an n`ay R˜o r`ang r˘a`ng nghiˆe.m n`aykhˆong thˆe’ th´ac triˆe’n ra to`an tru.c d¯u.o c, ch˘a’ng ha.n khˆong thˆe’ quad¯iˆe’m t = 1 Nguyˆen nhˆan cu’a hiˆe.n tu.o ng trˆen l`a v`ı nghiˆe.m bi “nˆo’

” (ra vˆo ha.n) khi t tiˆe.m cˆa.n d¯ˆe´n 1 Nˆe´u thˆem mˆo.t sˆo´ d¯iˆe` u kiˆe.n n˜u.ach´ung ta s˜e c´o thˆe’ ch´u.ng minh d¯u.o. c su tˆ. `n ta.i nghiˆe.m trˆen to`anocu.c

D- i.nh l´y 1.2 Gia’ su.’ f : (a, b) × R n → R n liˆ en tu c v` a tho’a m˜ an c´ ac d ¯iˆ ` u kiˆe.n sau (d¯iˆe e ` u kiˆe.n Lipschitz):

f(t, x) ≤ M1 + M0x, ∀t ∈ (a, b); x ∈ R n (1.14)

f(t, x) − f(t, y) ≤ M2x − y, ∀t ∈ (a, b); x, y ∈ R n (1.15) Khi d ¯´ o v´ o.i bˆ a´t k` y d ¯iˆ e’m x0 ∈ R n , t0 ∈ (a, b) tˆo`n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t nghiˆ e.m x = φ(t) cu’a b`ai to´an Cauchy kˆe´t ho p v´ . o.i phu.o.ng tr`ınh (1.6) trˆ en to` an khoa’ng (a, b).

Ch´ u.ng minh Tru.´o.c hˆe´t x´et tru.`o.ng ho p −∞ < a < b < ∞.

X´et khˆong gian h`am Y := C((a, b),Rn) gˆ`m c´o ac ´anh xa liˆen tu.c v`agi´o.i nˆo.i t`u (a, b) v`ao R n Trong Y x´et to´an tu.’

Ta s˜e ch´u.ng minh T thu. c su l`. a mˆo.t to´an tu’ t´. ac d¯ˆo.ng trong Y

Thˆa.t vˆa.y, ta c´o bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c sau:

sup

t∈(a,b)

y(t) ≤ x0 + {M1+ M2x(·)}(b − a) (1.17)

suy ra y( ·) gi´o.i nˆo.i Ngo`ai ra,

(T n u)(t) − (T n v)(t)  ≤ [M2|t − t0|] n

n! u − v, t ∈ (a, b), u , v ∈ Y.

(1.21)

Do a, b h˜u.u ha.n, c`on d˜ay [M2|t−t n! 0|] n → 0 khi n → ∞, v´o.i n0 d¯u’ l´o.n

T n0 s˜e l`a to´an tu.’ co trong khˆong gian Y Do d¯´o tˆ`n ta.i duy nhˆa´to

mˆo.t d¯iˆe’m bˆa´t d¯ˆo.ng cu’a to´an tu’ T. n0 Dˆ˜ d`ang suy ra d¯u.o c d¯iˆe’me

bˆa´t d¯ˆo.ng n`ay c˜ung l`a d¯iˆe’m bˆa´t d¯ˆo.ng duy nhˆa´t cu’a T Nhu vˆa.yph´ep ch´u.ng minh v´o.i tru.`o.ng ho. p a, b h˜u.u ha.n d¯˜a kˆe´t th´uc

Tru.`o.ng ho. p a ho˘ a.c b vˆo ha.n Theo kˆe´t qua’ d¯˜a ch´u.ng minh o.’trˆen th`ı v´o.i mo.i a
, b
h˜u.u ha.n sao cho a < a
< b
< b trˆen khoa’ng

(a
, b
) luˆon tˆ`n ta.i v`a duy nhˆa´t nghiˆe.m Vˆa.y th`ı b`ai to´an Cauchyo

kˆe´t ho. p v´o.i (1.6) luˆon c´o nghiˆe.m duy nhˆa´t trˆen (a
, b
) Dˆ˜ thˆa´yenghiˆe.m n`ay c´o thˆe’ th´ac triˆe’n d¯u.o c ra vˆo ha.n v`ı a
, b
t`uy ´y Ph´ep

ch´u.ng minh d¯i.nh l´y kˆe´t th´uc

D- iˆe` u kiˆe.n Lipschitz (1.15) l`a rˆa´t quan tro.ng V´ı du du.´o.i d¯ˆaych´u.ng to’ d¯iˆ` u d¯´e o

vˆe´ pha’i khˆong tho’a m˜an d¯iˆ` u kiˆe.n Lipschitz.e

1.1.3 D - i.nh l´y Peano

Mu.c n`ay s˜e tr`ınh b`ay mˆo.t d¯i.nh l´y cˆo’ d¯iˆe’n vˆe` su. tˆ`n ta.i (n´oiochung khˆong duy nhˆa´t) nghiˆe.m trong tru.`o.ng ho p vˆe´ pha’i phu.o.ngtr`ınh khˆong tho’a m˜an d¯iˆ` u kiˆe.n Lipschitz.e

D- i.nh l´y 1.3 (D - i.nh l´y Peano) Gia’ su.’ f : G := [t0, t0 + a] ×

¯

B(b; y0)⊂ R × R n → R n l` a ´ anh xa liˆ en tu c v´ o.i

sup

(t,x)∈G f(t, x) ≤ M; α := min(a, b/M).

Khi d ¯´ o B` ai to´ an Cauchy liˆ en kˆ e´t v´ o.i phu.o.ng tr`ınh (1.6) c´ o trˆ en

d ¯oa n [t0, t0+ α] ´ıt nhˆ a´t mˆ o t nghiˆ e.m x = x(t).

Ch´ u.ng minh Ta cho.n δ > 0 v`a k´y hiˆe.u y0(t) l`a ´anh xa l´o.p C1

t`u d¯oa.n [t0− δ, t0] v`ao Rn tho’a m˜an c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n:e

Ta d¯i.nh ngh˜ıa trˆen d¯oa.n [t0−δ, t0+ α] ´ anh xa y ε (t), 0 < ε ≤ δ b˘a`ng

c´ach d¯˘a.t y ε (t) := y0(t) trˆ en d¯oa.n [t0− δ, t0] v`a

Cˆong th´u.c (1.23) s˜e d¯u.o. c d`ung d¯ˆe’ th´ac triˆe’n ´anh xa y ε lˆen d¯oa.n

[t0− δ, t0 + α2], trong d¯´o α2 := min(α, 2ε) C´u tiˆe´p tu.c qu´a tr`ınhn`ay ta s˜e th´ac triˆe’n d¯u.o. c ´anh xa y ε lˆen d¯oa.n [t0− δ, t0+ α] sao cho

n´o luˆon thuˆo.c l´o.p C1.

V`ıy

ε (t)  ≤ M, ho c´ac ´anh xa y ε , 0 < ε ≤ δ, l`a ho c´ac ´anh xa.

liˆen tu.c d¯ˆe` u d¯ˆ`ng bˆo a.c, gi´o.i nˆo.i d¯ˆe`u Thˆe´ th`ı theo D-i.nh l´y Ascoli t`ım d¯u.o. c mˆo.t d˜ay c´ac sˆo´ {ε n } ∞

Arcela-n=1 : ε n ↓ 0 sao cho y(t) = lim

hˆo.i tu d¯ˆe` u trˆen [t0− δ, t0+ α] T`u d¯´o suy ra c´ac kˆe´t luˆa.n sau d¯ˆay:d˜ay f (t, y ε n (t − ε n)) hˆo.i tu d¯ˆe` u t´o.i f (t, y(t)) khi n → ∞ Vˆa.y th`ı

qua gi´o.i ha.n trong (1.23) s˜e cho ta nghiˆe.m y(t) cu’a b`ai to´an Cauchy

v´o.i c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n ban d¯ˆae ` u y(t0) = x0

Mˆo.t hˆe qua’ quan tro.ng cu’a D- i.nh l´y Peano l`a kh˘a’ng d¯i.ng sau:

Hˆe qua’ 1.1 Gia’ su ’ f : G . ⊂ R × R n → R n liˆ en tu c, trong d ¯´ o G l` a tˆ a p mo ’ ch´ . u.a mˆ o t tˆ a p con compact K Khi d ¯´ o tˆ `n ta.i h˘a`ng sˆo´ o

α > 0 chı’ phu thuˆ o c v` ao G, K, M sao cho nˆ e´u (t0, x0)∈ K th`ı b`ai to´ an Cauchy liˆ en kˆ e´t v´ o.i (1.6) l` a gia’i d ¯u.o c v` a mˆ o ˜i nghiˆe.m cu’a n´o x´ ac d ¯i.nh trˆen d¯oa.n |t − t0| ≤ α.

Ch´ u.ng minh Thˆa.t vˆa.y, ta cho.n chuˆa’n (t, x) ∈ R × R n nhu.sau: (t, x) := max{|t|, x}, c´o ngh˜ıa l`a h`ınh cˆa`u mo.’ l`a h`ınh hˆo.p

mo.’ Khˆong mˆa´t tˆo’ng qu´at c´o thˆe’ coi G l`a tˆa.p mo’ gi´. o.i nˆo.i Nˆe´u d¯˘a.t

a := dist(K, ∂G), trong d¯´ o ∂G l`a biˆen cu’a G, th`ı α := min(a, a/M ) V`ı K compact nˆ en a luˆon tˆ`n ta.i h˜u.u ha.n.o

1.1.4 D - i.nh l´y vˆe ` th´ ac triˆ e’n nghiˆ e.m

Nhu ch´ung ta d¯˜a thˆa´y o.’ mu.c tru.´o.c, su tˆo`n ta.i nghiˆe.m cu’a b`aito´an Cauchy n´oi chung c´o thˆe’ chı’ l`a d¯i.a phu.o.ng Gia’ su.’ ta d¯angx´et phu.o.ng tr`ınh vi phˆan

dx

trong d¯´o f : G ⊂ R × R n → R n liˆen tu.c, G mo’ , v`. a x( ·) l`a mˆo.t

nghiˆe.m x´ac d¯i.nh trong lˆan cˆa.n cu’a t0 ∈ R Cˆau ho’i d¯˘a.t ra l`a khi

n`ao x( ·) c´o thˆe’ th´ac triˆe’n d¯u.o c lˆen khoa’ng l´o.n ho.n n˜u.a V`ı G l`a

mˆo.t tˆa.p mo’ trong. R × R n v`a f liˆen tu.c, nˆen theo D- i.nh l´y Peano

nˆe´u x( ·) x´ac d¯i.nh trˆen mˆo.t khoa’ng J = [α, β) hay J = (α, β] th`ı c´o

thˆe’ th´ac triˆe’n x( ·) qua d¯ˆa`u m´ut α ho˘a.c β Do d¯´o, khˆong mˆa´t tˆo’ng

qu´at ta coi x( ·) d¯˜a cho x´ac d¯i.nh trˆen khoa’ng mo.’ (α, β) n`ao d¯´o.

D- i.nh ngh˜ıa 1.1 Khoa’ng mo.’ J d¯u.o c go.i l`a khoa’ng tˆo`n ta.i cu c d¯a.i

vˆ ` ph´ıa pha’i cu’a x( e ·) nˆe´u khˆong tˆo`n ta.i mˆo.t khoa’ng mo.’ J
= (α
, β
)

v´ o.i α
≤ α v`a β < β
trˆ en d ¯´ o x( ·) c´o thˆe’ th´ac triˆe’n lˆen d¯u.o c Tu.o.ng

tu d ¯i.nh ngh˜ıa khoa’ng tˆo `n ta.i cu c d ¯a i vˆ ` ph´ıa tr´ e ai Khoa’ng tˆ `n ta.i o

d ¯u.o c go i l` a cu c d ¯a i nˆ e´u n´ o l` a cu c d ¯a i d ¯ˆ `ng th` o o.i vˆ ` hai ph´ıa e

D- i.nh l´y 1.4 D - iˆe ` u kiˆe.n cˆa ` n v` a d ¯u’ d ¯ˆ e’ J = [α, β) cu’a nghiˆ e.m x( ·) cu’a (1.26) khˆong l`a cu c d¯a.i vˆe` bˆen pha’i l`a tˆo`n ta.i gi´o.i ha.n

limt↑β x(t) = η v` a (β, η) ∈ G.

Ch´ u.ng minh Cˆa`n R˜o r`ang.

D - u’ : Nˆe´u tˆo`n ta.i gi´o.i ha.n limt↑β x(t) = η v` a (β, η) ∈ G th`ı ta c´o

thˆe’ ´ap du.ng D- i.nh l´y Peano d¯ˆe’ kh˘a’ng d¯i.nh r˘a`ng tˆo`n ta.i nghiˆe.m φ(t)

x´ac d¯i.nh trˆen khoa’ng I l`a lˆan cˆa.n cu’a β cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.26)

sao cho φ(β) = η Thˆe´ th`ı

ψ(t) :=

x(t), t < β φ(t), t ≥ β

cho ta mˆo.t th´ac triˆe’n vˆe` bˆen pha’i cu’a β.

D- i.nh l´y 1.5 Gia’ su.’ f liˆen tu.c trˆen tˆa.p mo.’ G ⊂ R × R n v` ao Rn

v` a x( ·) l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.26) Khi d¯´o x(·) c´o thˆe’ th´ ac triˆ e’n d ¯u.o c lˆ en khoa’ng tˆ `n ta.i cu o c d ¯a i (ω − , ω+) Ho.n n˜ u.a, nˆ e´u

(ω − , ω+) l` a khoa’ng tˆ `n ta.i cu o c d ¯a i cu’a x(·) th`ı x(t) s˜ e tiˆ e´n t´ o.i biˆ en

∂G cu’a G khi t tiˆ e´n t´ o.i ω − ho˘ a c ω+.

Th´ac triˆe’n cu’a x( ·) n´oi chung khˆong duy nhˆa´t V`ıvˆa.y ω ±phu thuˆo.cv`ao c´ach cho.n th´ac triˆe’n Kh˘a’ng d¯i.nh “x(t) tiˆe´n t´o i biˆen ∂G khi

t → ω+” c´o ngh˜ıa l`a ho˘a.c l`a ω+ = +∞, ho˘a.c l`a ω+ < + ∞ v`a khi

t tiˆe´n d¯ˆe´n ω+ c`on c´ac d¯iˆe’m (t, x(t)) khˆong bi ch´u.a trong mˆo.t tˆa.pcon compact n`ao cu’a G.

Ch´ u.ng minh Theo nhˆa.n x´et trˆen, ta chı’ x´et th´ac triˆe’n φ x´ac

d¯i.nh trˆen c´ac khoa’ng mo’ Ta d`. ung Bˆo’ d¯ˆ` Zorn d¯ˆe’ ch´e u.ng minh.Tru.´o.c hˆe´t gia’ su.’ x( ·) x´ac d¯i.nh trˆen (α x , β x) Ta d¯i.nh ngh˜ıa tˆa.p ho p.

A gˆo`m c´ac th´ac triˆe’n φ cu’a x(·), t´u.c l`a c´ac nghiˆe.m φ x´ac d¯i.nh trˆen

khoa’ng mo.’ (α φ , β φ ) sao cho (α x , β x)⊂ (α φ , β φ) v`a φ |(α x , β x ) = x( ·)

Ta d¯u.a ra quan hˆe th´u tu trong A nhu sau: φ ≤ ψ nˆe´u v`a chı’ nˆe´u ψ

l`a th´ac triˆe’n cu’a φ R˜o r`ang mˆo˜i dˆay chuyˆe` nC, gˆo`m φ ≤ ψ ≤ · · · c´o

phˆ` n tu.a ’ l´o.n nhˆa´t Thˆa.t vˆa.y ta c´o thˆe’ d¯i.nh ngh˜ıa J = ∪ φ∈C (α φ , β φ)v`a µ(t) = φ(t) nˆ e´u t ∈ (α φ , β φ) D- i.nh ngh˜ıa n`ay cho ta cˆa.n trˆen cu’a

dˆay chuyˆ` ne C Vˆa.y trong A pha’i tˆo`n ta.i phˆa`n tu.’ cu c d¯a.i D- ´o ch´ınhl`a d¯iˆ` u pha’i ch´e u.ng minh.

Tiˆe´p theo, ta gia’ su.’ r˘a`ng (ω − , ω+) l`a khoa’ng tˆ`n ta.i cu c d¯a.i cu’aonghiˆe.m x(·) Ta s˜e ch´u ng minh r˘a`ng x(t) khˆong thˆe’ bi ch´u.a trong

mˆo.t tˆa.p compact con cu’a G v´o i mo.i t d¯u’ gˆa`n v´o.i ω+ Thˆa.t vˆa.y, gia’

su.’ ngu.o. c la.i tˆ`n ta.i compact K ⊂ G d¯ˆe’ (t, x(t)) ∈ K, ∀t ∈ [δ, ωo +).

Nhu vˆa.y th`ı c´o thˆe’ tr´ıch ra mˆo.t d˜ay con (t k , x(t k )), k ∈ N, t k →

ω+ hˆo.i tu t´o.i mˆo.t d¯iˆe’m (ω − , η) ∈ K Ta ch´u.ng minh gi´o.i ha.n

limt→ω+x(t) = η v`a khi d¯´o theo D- i.nh l´y trˆen suy ra mˆau thuˆa˜n.Thˆa.t vˆa.y, go.i

vi phˆ an tuyˆ e´n t´ınh thuˆ ` n nhˆ a a´t

c´ o duy nhˆ a´t mˆ o t nghiˆ e.m x´ac d¯i.nh trˆen to`an khoa’ng (a, b).

Ch´ u.ng minh Lˆa´y [α, β] ⊂ (a, b) bˆa´t k`y Khi d¯´o do A, f liˆen

tu.c, c´ac d¯a.i lu.o ng sau l`a tˆo`n ta.i v`a h˜u.u ha.n

mˆo.t nghiˆe.m n`ay Do t´ınh t`uy ´y cu’a α, β nˆen ta c´o thˆe’ “mo’ rˆ. o.ng”nghiˆe.m n`ay lˆen to`an (a, b) b˘a`ng c´ach mo’ rˆ. o.ng d¯oa.n [α, β] D- i.nh l´yd¯u.o. c ch´u.ng minh

Nhˆa.n x´et 1.1 T`u D - i.nh l´y trˆen ta thˆa´y d¯ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh c´ o thˆ e’ chı’ n´ oi d ¯ˆ e´n nghiˆ e.m x´ac d¯i.nh trˆen to`an khoa’ng (a, b) Du.´ o.i d ¯ˆ ay ch´ ung ta quy u.´ o.c khi n´ oi vˆ ` nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh e tuyˆ e´n t´ınh t´ u.c l` a n´ oi vˆ ` c´ e ac nghiˆ e.m x´ac d¯i.nh trˆen khoa’ng cu c d . ¯a i (a, b) nˆ e´u c´ ac d ¯iˆ ` u kiˆe.n cu’a D e - i.nh l´y trˆen tho’a m˜an.

Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an tuyˆ e´n t´ınh thuˆ ` n nhˆ a a ´t

Bˆay gi`o ch´ung ta nghiˆen c´u.u c´ac t´ınh chˆa´t cu’a c´ac nghiˆe.m phu.o.ngtr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t

D- i.nh l´y 1.7 Gia’ su.’ A liˆen tu.c Khi d¯´o tˆa.p ho p tˆa´t ca’ c´ac nghiˆe.m

cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆ ` n nhˆ a a´t lˆ a p nˆ en mˆ o t khˆ ong gian tuyˆ e´n t´ınh n chiˆ ` u trˆen tru.` e o.ng sˆ o´ thu c R.

Ch´ u.ng minh Go.i N l`a tˆa.p ho p tˆa´t ca’ c´ac nghiˆe.m cu’a phu.o.ng

tr`ınh (1.31) Gia’ su.’ φ, ψ ∈ N , α, β ∈ R Khi d¯´o

sˆo´ thu. c R Bˆay gi`o ta ch´u.ng minh kh˘a’ng d¯i.nh sau: Nˆe´u φ k ∈

N , k = 1, · · · , m l`a hˆe m nghiˆe.m cu’a (1.31) Khi d¯´o hˆe n`ay d¯ˆo.c

lˆ a p tuyˆ e´n t´ınh khi v` a chı’ khi tˆ `n ta.i t o 0 ∈ (a, b) sao cho hˆe c´ac vecto φ k (t0), ∈ R n , k = 1, · · · , m l`a d¯ˆo.c lˆa.p trong R n Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u

φ k , k = 1, · · · , m l`a hˆe c´ac v´ec to phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh trong N ,

th`ı r˜o r`ang t`u d¯i.nh ngh˜ıa suy ra v´o.i mo.i t0 ∈ (a, b) hˆe c´ac v´ec to.

φ k (t0), k = 1, · · · , m l`a hˆe c´ac v´ec to phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh trong

Rn Ta ch´u.ng minh d¯iˆ` u kiˆe.n d¯u’ b˘a`ng c´ach chı’ ra r˘a`ng nˆe´u tˆoe `n ta.i

t ∈ (a, b) v`a c´ac sˆo´ α k , k = 1, · · · , m khˆong d¯ˆo`ng nhˆa´t b˘a`ng khˆong

sao cho m

k=1 α k φ(t0) = 0 th`ım

k=1 α k φ = 0 Nhu.ng d¯iˆ` u n`e ay suy

ra t`u d¯i.nh l´y tˆo`n ta.i duy nhˆa´t b˘a`ng c´ach x´et b`ai to´an Cauchy kˆe´t

ho. p v´o.i (1.31), tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n ban d¯ˆae ` u t0, x0 = 0 T`u.kh˘a’ng d¯i.nh trˆen n´oi riˆeng suy ra r˘a`ng dimN = n.

D- i.nh ngh˜ıa 1.2 Gia’ su.’ {φ k , k = 1, · · · , n} l`a hˆe n nghiˆe.m d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆ e´n t´ınh cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.31) Khi d ¯´ o ma trˆ a n vuˆ ong c´ o c´ ac

cˆ o t lˆ a p bo ’ i c´ . ac v´ ec to φ k cu’a Rn d ¯u.o c go i l` a mˆ o t ma trˆ a n co ba’n cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆ ong thuˆ ` n nhˆ a a´t (1.31).

Dˆ˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng ma trˆa.n co ba’n X(t) bˆa´t k`y tho’a m˜an phu.o.ngetr`ınh vi phˆan sau d¯ˆay trong khˆong gian Rn×n

dY

Ngu.o. c la.i mˆo.t nghiˆe.m bˆa´t k`y Y (t) cu’a phu.o.ng tr`ınh ma trˆa.n (1.33)

´

u.ng v´o.i mˆo.t hˆe n nghiˆe.m cu’a (1.31) D - ˆe’ Y (t) l`a ma trˆa.n co ba’n th`ı

d¯iˆ` u kiˆe.n cˆae ` n v`a d¯u’ l`a detY (t) = 0 C´o thˆe’ c´o nhiˆe`u ma trˆa.n co ba’n.

Ch´ung ta s˜e x´et ho c´ac ma trˆa.n co ba’n sau d¯ˆay (X(t, s)) t,s∈(a,b)d¯u.o. cd¯i.nh ngh˜ıa nhu sau: X(t, s) = X(t)X −1 (s), trong d¯´ o X(t) l`a mˆo.t

ma trˆa.n co ba’n n`ao d¯´o Ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng ho (X(t, s)) t,s∈(a,b)

khˆong phu thuˆo.c v`ao ma trˆa.n co ba’n X(t) b˘a`ng c´ach ch´u.ng minh

mˆe.nh d¯ˆe` sau:

Mˆ e.nh d¯ˆe ` 1.1 Ma trˆ a n Y (t) := X(t, s) l` a nghiˆ e.m cu’a b`ai to´an Cauchy

D- i.nh ngh˜ıa 1.3 Ho c´ac ma trˆa.n (X(t, s)) t,s∈(a,b) d ¯u.o c go i l` a c´ ac

ma trˆ a n Cauchy liˆ en kˆ e´t v´ o.i phu.o.ng tr`ınh thuˆ ` n nhˆ a a´t (1.31).

T`u d¯i.nh ngh˜ıa v`a lˆa.p luˆa.n o’ trˆen ta c´. o

Mˆ e.nh d¯ˆe ` 1.2 Tˆ `n ta.i duy nhˆa´t ho hai tham sˆo´ c´ac ma trˆa.n o khˆ ong suy biˆ e´n (X(t, s)) t,s∈(a,b) liˆ en kˆ e´t v´ o.i phu.o.ng tr`ınh thuˆ ` n nhˆ a a´t (1.31) tho’a m˜ an c´ ac d ¯iˆ ` u kiˆe.n sau: e

Cˆ ong th´ u.c Liouville

Gia’ su.’ X(t) l`a ma trˆa.n lˆa.p bo’ i hˆe n nghiˆe.m bˆa´t k`y Trong ch´u.ng.

minh trˆen ta d¯˜a ch´u.ng minh d¯u.o. c r˘a`ng detX(t) = 0 ∀t ∈ (a, b) khi

v`a chı’ khi tˆ`n ta.i to 0 ∈ (a, b) sao cho detX(t0)= 0 Thu c ra kh˘a’ng

d¯i.nh n`ay c´o thˆe’ l`am ma.nh lˆen nhiˆe` u b˘a`ng d¯i.nh l´y sau:

D- i.nh l´y 1.8 (Cˆong th´u.c Liouville) Gia’ su.’ {φ1, · · · , φ n } l`a hˆe n nghiˆ e.m cu’a (1.31) Khi d¯´o ma trˆa.n X(t) c´o c´ac cˆo.t l`a c´ac v´ec to .

trong d ¯´ o A(t) = (a ij (t)), t0 ∈ (a, b).

Ch´ u.ng minh Gia’ su.’ φ k (t) = (φ 1k (t), · · · , φ nk) v`a X ik l`a phˆ` nab`u d¯a.i sˆo´ cu’a phˆa` n tu.’ φ ik trong khai triˆe’n d¯i.nh th´u.c detX(t) theo

cˆo.t th´u k Khi d¯´o theo t´ınh chˆa´t cu’a d¯i.nh th´u.c ta c´o

D`ung t´ınh duy nhˆa´t nghiˆe.m, ta thˆa´y y(t) l`a h`am sau

detX(t) = y(t) = detX(t0)e

t

t0

i a ii (s)ds .

1.2.2 Hˆ e phu o.ng tr`ınh khˆong thuˆa ` n nhˆ a ´t v` a cˆ ong th´ u.c

biˆ e´n thiˆ en h˘ a `ng sˆ o´

Gia’ su.’ φ0 l`a mˆo.t nghiˆe.m n`ao d¯´o cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆa`nnhˆa´t (1.30) Khi d¯´o ta c´o d¯i.nh l´y sau:

D- i.nh l´y 1.9 Mˆo.t nghiˆe.m bˆa´t k`y kh´ac cu’a (1.30) l`a tˆo’ng cu’a φ0

v` a mˆ o t nghiˆ e.m n`ao d¯´o cu’a phu o.ng tr`ınh thuˆa`n nhˆa´t (1.31).

Ch´ u.ng minh Gia’ su.’ φ(t) l`a nghiˆe.m bˆa´t k`y cu’a (1.30) D- ˘a.t

ψ(t) = φ(t) − φ0(t) B˘a`ng c´ach thˆe´ tru. c tiˆe´p dˆ˜ thˆa´y r˘a`ng ψ(t) l`aenghiˆe.m cu’a (1.30)

Vˆa.y th`ı d¯ˆe’ t`ım d¯u.o c tˆa´t ca’ c´ac nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆongthuˆ` n nhˆa a´t, ta chı’ cˆ` n t`ım mˆa o.t nghiˆe.m riˆeng n`ao d¯´o v`a sau d¯´o b`aito´an quy vˆ` viˆe.c t`ım nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆae ` n nhˆa´t Mˆo.ttrong c´ac c´ach t`ım nghiˆe.m riˆeng cu’a (1.30) l`a su’ du.ng cˆong th´u.c.sau:

Cˆ ong th´ u.c biˆ e´n thiˆ en h˘ a `ng sˆ o´

Nhu ta d¯˜a biˆe´t mˆo.t nghiˆe.m bˆa´t k`y cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆa`n nhˆa´td¯ˆ` u c´e o thˆe’ t`ım d¯u.o. c nˆe´u biˆe´t mˆo.t nghiˆe.m co ba’n X(t) Thˆa.t vˆa.y,

nghiˆe.m bˆa´t k`y c´o da.ng x(t) = X(t)C, trong d¯´o C ∈ R n l`a mˆo.t v´ec

to h˘a`ng n`ao d¯´o Ngu.`o.i ta c´o thˆe’ b˘a´t tru.´o.c c´ach t`ım nghiˆe.m cu’aphu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t b˘a`ng c´ach coi h˘a`ng sˆo´ C = C(t),

t´u.c l`a “ biˆe´n thiˆen h˘a`ng sˆo´ C” thˆe´ n`ao d¯´o d¯ˆe’ y(t) = X(t)C(t) s˜e l`a

nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆa`n nhˆa´t D- ˆe’ l`am d¯iˆe` u n`ay ta

vi phˆan y(t) v`a thˆe´ v`ao phu.o.ng tr`ınh th`ı d¯u.o. c

D- i.nh l´y 1.10 Mˆo.t nghiˆe.m bˆa´t k`y cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆa`n

nhˆ a´t y(t) luˆ on tho’a m˜ an cˆ ong th´ u.c biˆ e´n thiˆ en h˘ a `ng sˆo´ sau d¯ˆay: y(t) = X(t, t0)y(t0) +

Chuˆ o ˜i ma trˆ a.n

X´et d˜ay c´ac ma trˆa.n A k ∈ R n×n , k = 1, 2, · · · v`a chuˆo˜i ma

trˆa.n ∞

k=1 A k Chuˆo˜i d¯u.o c go.i l`a hˆo.i tu tuyˆe.t d¯ˆo´i nˆe´u chuˆo˜i sˆo´

k=1 A k  < ∞ Tru.`o.ng ho p d¯˘a.c biˆe.t khi A k = a k A k, trong d¯´o

a k ∈ C v`a A ∈ R n×n ta c´o thˆe’ ´ap du.ng c´ac tiˆeu chuˆa’n hˆo.i tu cu’achuˆo˜i l˜uy th`u.a d¯ˆe’ d¯u.o. c c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n d¯u’ cho su hˆo.i tu tuyˆe.t d¯ˆo´i.eGia’ su.’ h`am sˆo´ f (z) l`a mˆo.t h`am biˆe´n ph´u.c l`a tˆo’ng cu’a chuˆo˜i l˜uyth`u.a hˆo.i tu tuyˆe.t d¯ˆo´i v´o.i b´an k´ınh hˆo.i tu r = ∞, t´u.c l`a c´o da.ng

trong d¯´o chuˆo˜i bˆen pha’i hˆo.i tu tuyˆe.t d¯ˆo´i v´o.i b´an k´ınh hˆo.i tu r = ∞.

Khi d¯´o ta d¯i.nh ngh˜ıa h`am f(A) nhu sau:

V`ı b´an k´ınh hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i ban d¯ˆa` u r = ∞ nˆen d¯i.nh ngh˜ıa cu’a

ta l`a ho. p l´y, v`a f (A) l`a tˆo’ng cu’a chuˆo˜i hˆo.i tu tuyˆe.t d¯ˆo´i

V´ı du 1.4 V`ı e z = ∞

k=0 z k! c´ o b´ an k´ınh hˆ o i tu r = ∞, v´ o.i ma trˆ a n A ∈ R n×n bˆ a´t k` y h` am e A luˆ on d ¯u.o c d ¯i.nh ngh˜ıa, v`a cho b˘a`ng

Dˆe˜ d`ang ch´u.ng minh d¯u.o. c:

Bˆ o’ d ¯ˆ ` e 1.1 C´ ac kh˘ a’ng d ¯i.nh sau d¯´ung:

1 Nˆ e´u f (A), g(A) l` a c´ ac h` am ma trˆ a n d ¯i.nh ngh˜ıa theo c´ach trˆen th`ı

f (A)g(A) = g(A)f (A);

2 Gia’ su ’ A = SJ S −1 , trong d ¯´ o S l` a ma trˆ a n khˆ ong suy biˆ e´n Khi d ¯´ o

f (A) = Sf (J )S −1

Nhˆa.n x´et 1.2 Viˆe.c mo ’ rˆ . o ng d ¯i.nh ngh˜ıa h`am f(A) cho c´ac l´o p h` am f (z) c´ o da ng tˆ o’ng qu´ at ho.n s˜ e cho ph´ ep nghiˆ en c´ u.u nhiˆ ` u vˆ e a´n

d ¯ˆ ` th´ e u vi cu’a phu o.ng tr`ınh vi phˆan n´oi chung Ch˘a’ng ha.n, nˆe´u

f (z) chı’nh h`ınh trong miˆ ` n ch´ e u.a tˆ a p c´ ac gi´ a tri riˆeng cu’a A th`ı

f (A) c´ o thˆ e’ d ¯i.nh ngh˜ıa b˘a`ng cˆong th´u c

trong d ¯´ o γ l` a chu tuyˆ e´n d ¯´ ong d ¯o.n, d ¯i.nh hu ´o.ng du.o.ng trong miˆe ` n

d ¯ang x´ et bao quanh tˆ a p c´ ac gi´ a tri riˆeng cu’a A Nh˘a´c la.i r˘a`ng h`am

f : Ω  z → (f1(z), · · · , f N (z)) ∈ C N d ¯u.o c go i l` a chı’nh h`ınh nˆ e´u c´ ac h` am to a d ¯ˆ o f k (z) l` a chı’nh h`ınh H` am ρ(A)  λ → (λI −A) −1 ∈

Cn×n c´ o thˆ e’ ch´ u.ng minh d ¯u.o c l` a chı’nh h`ınh theo λ Do d ¯´ o t´ıch phˆ an (1.42), d ¯u.o c hiˆ e’u nhu l` a t´ıch phˆ an cu’a da ng vi phˆ an bˆ a c nhˆ a´t theo chu tuyˆ e´n d ¯´ ong γ s˜ e khˆ ong phu thuˆ o c v` ao c´ ach cho n cu thˆ e’ chu tuyˆ e´n γ.

Bˆ o’ d ¯ˆ ` e 1.2 Nˆ e´u A, B l` a hai ma trˆ a n giao ho´ an, th`ı e A+B = e A e B

Ch´ u.ng minh Theo d¯i.nh ngh˜ıa ta c´o

∞



j=0

B j j!

Gia’ su.’ A ∈ R n×n Ma trˆa.n Ln A ∈ R n×n d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa l`a

ma trˆa.n sao cho e B = A Ngay ca’ tru.`o.ng ho. p d¯o.n gia’n nhˆa´t ch´ung

ta c˜ung thˆa´y su.’ tˆ`n ta.i cu’a Ln A l`a khˆong duy nhˆa´t Tuy nhiˆen taos˜e chı’ quan tˆam d¯ˆe´n su. tˆ`n ta.i cu’a ´ıt nhˆa´t mˆo.t ma trˆa.n nhu thˆe´.o

Mˆ e.nh d¯ˆe ` 1.3 Nˆ e´u A khˆ ong suy biˆ e´n th`ı tˆ `n ta.i Ln A o

Ch´ u.ng minh C´o hai c´ach ch´u.ng minh C´ach th´u nhˆa´t du a trˆen

viˆe.c d¯´u.a vˆe` da.ng chuˆa’n Jordan B`ai to´an quy vˆe` viˆe.c ch´u.ng minh

mˆo.t ˆo Jordan c´o d¯u.`o.ng ch´eo l`a c´ac phˆa`n tu.’ kh´ac 0 luˆon c´o rithm Gia’ su.’ J = λE r + Z, trong d¯´ o E r l`a ma trˆa.n d¯o.n vi r × r,

loga-Z l`a ma trˆa.n l˜uy linh Z k = 0, ∀k ≥ r Khi d¯´o c´o thˆe’ chı’ ra

trong d¯´o Ln z = ln |z| + iarg z + 2kπi, k ∈ Z Nˆe´u ma trˆa.n A

khˆong suy biˆe´n th`ı h`am du.´o.i dˆa´u t´ıch phˆan (1.42) chı’nh h`ınh trongmiˆ` n gi´e o.i ha.n bo’ i chu tuyˆe´n d¯´. ong γ.

D - i.nh l´y 1.11 (D- i.nh l´y ´Anh xa phˆo’) Gia’ su.’ f(z) l`a h`am chı’nh h`ınh trˆ en mˆ o t tˆ a p ho p mo . ’ Ω ch´ . u.a σ(A) cu’a m˘ a t ph˘ a’ng ph´ u.c v` a

f (A) d ¯u.o c d ¯i.nh ngh˜ıa nhu trong (1.41) Khi d¯´o

Ch´ u.ng minh Gia’ su.’ λ ∈ σ(A) D - ˆo´i v´o.i ζ ∈ Ω d¯˘a.t

f
(λ), nˆ e´u ζ = λ.

Khi d¯´o g chı’nh h`ınh trˆen Ω v`a f (A) − f(λ)I = g(A)(A − λI) Nˆe´u

f (λ) ∈ ρ(f(A)) (trong d¯´o ρ(f(A)) := {z ∈ C : z ∈ σ(A)}), th`ı

f (A) − f(λ)I c´o ngu.o c liˆen tu.c, v`a do d¯´o (A − λI) c˜ung vˆa.y D- iˆe` un`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’ thiˆe´t λ ∈ σ(A) Vˆa.y th`ı f(λ) ∈ σ(f(A)).

Bˆay gi`o gia’ su.’ λ ∈ σ(f(A)) Nˆe´u λ ∈ f(σ(A)), th`ı h(ζ) = (f (ζ) − λ) −1 l`a h`am chı’nh h`ınh trˆen mˆo.t lˆan cˆa.n n`ao d¯´o cu’a σ(A),

ch˘a’ng ha.n Ω
´Ap du.ng c´ac kˆe´t qua’ trˆen cho c´ac h`am chı’nh h`ınhtrˆen Ω
ta c´o h(A)(f (A) − λI) = I D- iˆe` u n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’thiˆe´t λ ∈ σ(f(A)) Vˆa.y th`ı λ ∈ f(σ(A)).

V´ı du . 1.5 Nˆ e´u f (z) = e z ta c´ o σ(e A ) = e σ(A)

Ch´ung ta s˜e thˆa´y quan hˆe trˆen c´o vai tr`o nhu thˆe´ n`ao khi nghiˆenc´u.u d´ang d¯iˆe.u tiˆe.m cˆa.n cu’a nghiˆe.m trong c´ac mu.c cuˆo´i

1.3.2 Phu.o.ng tr`ınh c´ o hˆ e sˆo´ h˘a `ng sˆ o´

Ta x´et phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh c´o hˆe sˆo´ h˘a`ng sˆo´ sau

Ch´ u.ng minh Ta chı’ cˆa`n ch´u.ng minh cho tru.`o.ng ho p t0 = 0.

Thˆa.y vˆa.y, Ta c´o

Nhu vˆa.y ta v`u.a ch´u.ng minh e tA l`a ma trˆa.n co ba’n Dˆe˜ thˆa´y mo.i

ma trˆa.n co ba’n kh´ac d¯ˆe` u nhˆa.n d¯u.o c t`u ma trˆa.n n`ay Ta d¯i nghiˆenc´u.u chi tiˆe´t ho.n cˆa´u tr´uc cu’a ma trˆa.n co ba’n

D- i.nh l´y 1.13 Gia’ su.’ A = SJS −1 l` a da ng Jordan cu’a ma trˆ a n

A ph´ u.c, trong d ¯´ o J = diag(J0, J1, · · · , J q ), trong d ¯´ o J k c´ o k´ıch c˜ o.

r k × k v´o.i phˆa`n tu.’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo ch´ınh l`a λ p+k Khi d ¯´ o



,



x y



∈ R2.

Phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng cu’a c´ac hˆe sˆo´ c´o da.ng:

Phu.o.ng tr`ınh n`ay c´o c´o nghiˆe.m λ1 = 3 + 2i, λ2 = 3− 2i D- ˆe’ tiˆe´p

tu.c, ta cˆa` n coi phu.o.ng tr`ınh d¯u.o. c x´et trong C2 V`ı c´ac sˆo´ riˆeng

d¯o.n nˆen tˆ`n ta.i mˆo.t co so.’ cu’a Co 2 gˆ`m to`o an c´ac v´ec to riˆeng s1, s2

d¯ˆe’ ma trˆa.n hˆe sˆo´ c´o da.ng Jordan Theo biˆe’u diˆe˜n trˆen cu’a h`am e J,

trong tru.`o.ng ho. p n`ay

trong d¯´o S l`a ma trˆa.n c´o c´ac cˆo.t l`a s1, s2 Bˆay gi`o ta d¯i t`ım s1, s2.

Theo d¯i.nh ngh˜ıa

Ta s˜e t`ım d¯u.o. c mˆo.t nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh trˆen, ´u.ng v´o.i mˆo.t

v´ec to riˆeng l`a

s1 =

1

1− 2i



.

Nˆe´u b`ai to´an d¯u.o. c x´et trongC2 th`ı ta tiˆe´p tu.c t`ım s2 v`a cuˆo´i c`ung

t`ım d¯u.o. c hˆe nghiˆe.m co ba’n l`a

Tuy nhiˆen, b`ai to´an xuˆa´t ph´at cu’a ta la.i l`a t`ım nghiˆe.m trong R2

D- ˆe’ l`am d¯iˆe` u n`ay, ta t´ach c´ac phˆ` n thu.a c v`a a’o cu’a φ1 th`ı d¯u.o. c

Do d¯´o ψ1(t), ψ2(t) l`a hai nghiˆe.m thu c Hai nghiˆ. e.m n`ay d¯ˆo.c lˆa.ptuyˆe´n t´ınh v´o.i nhau v`ı dˆe˜ thˆa´y s2 = ¯s1 l`a v´ec to riˆeng cu’a A.

Thˆem n˜u.a φ1(t) v` a φ2(t) = ¯ φ1(t) lˆa.p th`anh hˆe nghiˆe.m co ba’n,t´u.c l`a ch´ung d¯ˆo.c lˆa.p v´o.i nhau Do d¯´o ψ1(t) = (φ1(t) + φ2(t))/2 v`a

ψ2(t) = (φ1(t) − φ2(t))/2i l`a c´ac h`am d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh

Vˆa.y th`ı nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯ang x´et l`a



,



x y



∈ R2.

Gia’i phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng ta d¯u.o c nghiˆe.m bˆo.i λ 1,2 = 3 Ta cˆ` natiˆe´p tu.c t`ım c´ac v´ec to d¯˘a.c tru.ng Nˆe´u c´o d¯u’ hai v´ec to d¯˘a.c tru.ngd¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh th`ı r˜o r`ang ma trˆa.n A d¯u.a d¯u.o c vˆe` da.ng d¯u.`o.ngch´eo Khi d¯´o tiˆe´n h`anh nhu v´ı du trˆen Tuy nhiˆen gia’i phu.o.ng tr`ınht`ım v´ec to riˆeng ta c´o



⇐⇒ x = y

T`u d¯ˆay suy ra chı’ c´o thˆe’ c´o nhiˆ` u nhˆe a´t mˆo.t v´ec to riˆeng d¯ˆo.c lˆa.ptuyˆe´n t´ınh, ch˘a’ng ha.n ta cho.n s1 = (1, 1) T D- iˆe` u n`ay cho thˆa´y

A c´o da.ng chuˆa’n t˘a´c Jordan v´o.i mˆo.t ˆo Jordan k´ıch c˜o l´o.n ho.n

1 D- ˆe’ t`ım co so.’ riˆeng trong d¯´o A c´o da.ng ˆo Jordan ta pha’i t`ım

thˆem mˆo.t v´ec to n˜u.a s2, d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v´o.i s1t`u phu.o.ng tr`ınh

As2 = λ1s2 + s1 Gia’i phu.o.ng tr`ınh n`ay ta d¯u.o. c s2 = (0, 1) T V`ıtrong co so.’ s1, s2 A c´o da.ng ˆo Jordan nˆen ta d¯u.o c mˆo.t hˆe nghiˆe.m

co ba’n

φ1(t) = e 3t

11



, φ2(t) = te 3t

11



+ e 3t

01

1.3.3 Phu.o.ng tr`ınh c´ o hˆ e sˆo´ tuˆa ` n ho` an

Trong mu.c n`ay ta x´et phu.o.ng tr`ınh

trong d¯´o A(t), B(t) l`a c´ac ma trˆa.n ph´u.c (thu c) liˆen tu.c v`a tuˆa`n ho`an

theo t chu k` y ω, t´u.c l`a A(t + ω) = A(t); B(t + ω) = B(t), ∀t ∈ R.

Ma trˆ a.n co ba’n

D- i.nh l´y 1.14 (Biˆe’u diˆe˜n Floquet) Mˆo˜i ma trˆa.n co ba’n Φ(t) cu’a

phu.o.ng tr`ınh (1.46) c´ o thˆ e’ biˆ e’u diˆ ˜n d¯u.o e c du ´o.i da.ng

R˜o r`ang G(t) kha’ vi theo t v` a Φ(t) = G(t)e tR

Mˆo.t hˆe qua’ quan tro.ng l`a kˆe´t qua’ sau

Hˆe qua’ 1.2 Phu o.ng tr`ınh c´o hˆe sˆo´ tuˆa`n ho`an (1.46) luˆon c´o thˆe’

dˆ a ˜n vˆe ` phu.o.ng tr`ınh c´ o hˆ e sˆo´ h˘a`ng sˆo´ ˙y = Ry b˘a`ng ph´ep d¯ˆo’i biˆe´n x(t) = G(t)y(t).

Ch´ u.ng minh Thˆa.t vˆa.y, v`ı Φ(t) = G(t)e tR, nˆen x(t) := Φ(t)x0

l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh xuˆa´t ph´at C`on y(t) := e tR x0l`a nghiˆe.mcu’a hˆe c´o hˆe sˆo´ h˘a`ng sˆo´ ˙y = Ry Nˆe´u d`ung c´ach vi phˆan h`ınh th´u.c

ta c´o x(t) := G(t)y(t) Vˆa.y th`ı

A(t)x(t) = x(t)˙

= G(t)y(t) + G(t) ˙˙ y(t)

= [ ˙Φ(t)e −tR − Φ(t)e −tR R]y(t)G(t) ˙y(t)

= A(t)G(t)y(t) − G(t)Ry(t) + G(t) ˙y(t).

Vˆa.y th`ı G(t) ˙y(t) − G(t)Ry(t) = 0 Nhu ng v`ı G(t) khˆong suy biˆe´n

nˆen ˙y(t) = Ry(t).

Gia’ su.’ Φ(t, s) l`a ma trˆa.n Cauchy cu’a (1.46) Ngu.`o.i ta go.i M := Φ(ω, 0) l`a ma trˆa.n monodromy cu’a (1.46) Tru.`o.ng ho p phu.o.ngtr`ınh trongRnc´o ph´u.c ta.p ho.n N´oi chung khˆong kh˘a’ng d¯i.nh d¯u.o c

su. tˆ`n ta.i R thu c d¯ˆe’ M = eo Rv´o.i mo.i ma trˆa.n th´u.c khˆong suy biˆe´ncho tru.´o.c M , ch˘ a’ng ha.n khi M < 0 trong tru.`o.ng ho p mˆo.t chiˆe`u.Tuy vˆa.y ngu.`o.i ta ch´u.ng minh d¯u.o c r˘a`ng nˆe´u B l`a ma trˆa.n thu c

khˆong suy biˆe´n th`ı bao gi`o c˜ung tˆ`n ta.i R thu c R sao cho eo R = B2

Do vˆa.y thay v`ı x´et su tˆ. `n ta.i ma trˆa.n G(t) tuˆao ` n ho`an chu k`y ω

nhu d¯ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh ph´u.c ta x´et ma trˆa.n H(t) tuˆa` n ho`an chuk´y T = 2ω Khi d¯´ o M2 l`a ma trˆa.n monodromy cu’a phu.o.ng tr`ınhn`ay Ch´ung tˆoi d`anh cho d¯ˆo.c gia’ ph´at biˆe’u hˆe qua’ trˆen cho tru.`o.ng

trong d¯´o f l`a h`am liˆen tu.c v`a gi´o.i nˆo.i trˆen R Tru.´o.c hˆe´t ta x´et su

tˆ`n ta.i nghiˆe.m tuˆao ` n ho`an chu k`y ω nˆe´u biˆe´t tru.´o.c f tuˆ` n ho`a an v´o.ichu k`y ω.

1.4.1 Nghiˆ e.m tuˆa ` n ho` an

Ta x´et d¯iˆ` u kiˆe.n cˆae ` n v`a d¯u’ d¯ˆe’ (1.49) c´o duy nhˆa´t nghiˆe.m tuˆa` nho`an

D- i.nh l´y 1.15 D - iˆe ` u kiˆe.n cˆa ` n v` a d ¯u’ d ¯ˆ e’ (1.49) c´ o duy nhˆ a´t mˆ o t nghiˆ e.m tuˆa ` n ho` an chu k` y ω v´ o.i mˆ o ˜i h`am f liˆen tu.c, tuˆa ` n ho` an chu k` y ω l` a 1 ∈ σ(e ωA ), hay tu.o.ng d ¯u.o.ng, 2πi Z/ω ∩ σ(A) = .

Ch´ u.ng minh Cˆa`n: gia’ su.’ (1.49) c´o duy nhˆa´t nghiˆe.m tuˆa`n ho`an

chu k`y ω x(t) v´o.i mˆo˜i f liˆen tu.c, tuˆa` n ho`an chu k`y ω cho tru.´o.c Tas˜e ch´u.ng minh 1 ∈ σ(e ωA) D- ˆe’ l`am d¯iˆe` u d¯´o ta chı’ cˆ` n ch´a u.ng minhr˘a`ng v´o.i mˆo˜i y ∈ C n cho tru.´o.c tˆ`n ta.i ´ıt nhˆa´t mˆo.t nghiˆe.m x ∈ Co n

sao cho x − e ωA x = y D - ˘a.t f(t) := α(t)e (t−ω)A y, trong d¯´ o α(t) l`ah`am liˆen tu.c n`ao d¯´o trˆen [0, ω] tho’a m˜an

D - u’: Gia’ su.’ ngu.o c la.i 1 ∈ σ(e ωA) Khi d¯´o gia’ su.’ f liˆen tu.c v`a

tuˆ` n ho`a an chu k`y ω bˆa´t k`y Ta d¯˘a.t

ta suy ra y(t) = x(t), t´u.c l`a x(t + ω) = x(t), ∀t Dˆe˜ thˆa´y d¯ˆo´i v´o.i

mˆo˜i nghiˆe.m tuˆa` n ho`an y(t) v´o.i chu k`y ω th`ı

1.4.2 Nghiˆ e.m gi´o i nˆo.i

D- ˆe’ nghiˆen c´u.u d¯iˆ` u kiˆe.n Perron tru.´o.c hˆe´t ta x´et mˆo.t kˆe´t qua’e

bˆo’ tro. sau d¯ˆay

D- i.nh ngh˜ıa 1.4 Phu.o.ng tr`ınh thuˆa`n nhˆa´t

d ¯u.o c go i l` a hyperbolic nˆ e´u i R ∩ σ(A) = .

Mˆ e.nh d¯ˆe ` 1.4 Nˆ e´u phu.o.ng tr`ınh thuˆ ` n nhˆ a a´t (1.51) hyperbolic, th`ı tˆ `n ta.i mˆo.t ph´ep chiˆe´u P : C o n → C n v` a c´ ac h˘ a `ng sˆo´ du.o.ng

P e A = e A P v` a σ(P e A P ) ch´ınh l`a phˆ` n phˆa o’ cu’a e A trong h`ınh tr`on

d¯o.n vi c`on σ((I − P )e A (I − P )) l`a phˆa`n cu’a σ(e A) n˘a`m ngo`ai v`ongtr`on d¯o.n vi.1

D - i.nh l´y 1.16 (D- i.nh l´y Perron) D - iˆe ` u kiˆe.n cˆa ` n v` a d ¯u’ d ¯ˆ e’ phu.o.ng tr`ınh khˆ ong thuˆ ` n nhˆ a a´t (1.49) c´ o nghiˆ e.m duy nhˆa´t gi´o i nˆo.i trˆen to` an tru c v´ o.i mˆ o ˜i f gi´o.i nˆo.i cho tru.´o.c l`a iR ∩ σ(A) = .

Ch´ u.ng minh Cˆa`n: Gia’ su.’ x f l`a nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i duy nhˆa´t v´o.i

mˆo˜i f gi´o.i nˆo.i cho tru.´o.c Gia’ su.’ f l`a ω tuˆa` n ho`an Khi d¯´o ta s˜ech´u.ng minh nghiˆe.m duy nhˆa´t x f c˜ung ω-tuˆ` n ho`a an Thˆa.t vˆa.y, d¯˘a.t

l`a x f l`a ω-tuˆ` n ho`a an Vˆa.y th`ı theo D- i.nh l´y trˆen 2πiZ/ω∩σ(A) = .

γ (λI − e A)−1 dλ, trong d¯´o γ ch´ınh l`a d¯u.`o.ng tr`on d¯o.n v i d¯i.nh

hu.´ o.ng du.o.ng T´ıch phˆ an n` ay tu.o.ng ´ u.ng v´o.i χ(A) trong d¯´o χ(z) l`a h`am d¯˘a.c

tru.ng cu’a h`ınh tr` on d ¯o.n v i

Theo mˆe.nh d¯ˆe` trˆen su. hˆo.i tu cu’a t´ıch phˆan trong biˆe’u th´u.c l`a r˜or`ang Ngo`ai ra vi phˆan tru. c tiˆe´p ta c´o Gf ( ·) l`a mˆo.t nghiˆe.m gi´o.i

nˆo.i T´ınh duy nhˆa´t c´o thˆe’ ch´u.ng minh d¯u.o c dˆe˜ d`ang b˘a`ng c´achchı’ ra phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t chı’ c´o duy nhˆa´t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i l`anghiˆe.m tˆa` m thu.`o.ng

Nhˆa.n x´et 1.3 Ta c´o c´ac nhˆa.n x´et sau d¯ˆay:

1 To´ an tu ’ G ´ u.ng mˆ o ˜i h`am f gi´o.i nˆo.i v´o.i nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i Gf

d ¯u.o c go i l` a to´ an tu ’ Green.

2 D - ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh c´o hˆe sˆo´ tuˆa`n ho`an chu k`y τ, ch´ung

ta c´ o thˆ e’ ph´ at biˆ e’u mˆ o t d ¯iˆ ` u kiˆe.n tu.o.ng tu e cho to´ an tu. ’ monodromy (t´ u.c l` a ´ anh xa tuyˆ e´n t´ınh x´ ac d ¯i.nh bo ’ i ma trˆ . a n Cauchy X(τ, 0)) Khi d ¯´ o d ¯iˆ ` u kiˆe.n s˜e l`a σ(X(τ, 0)) ∩ {z ∈ C : e

|z| = 1} = .

3 C´ o thˆ e’ chı’ ra pha’n v´ı du ch´ u.ng to’ r˘ a `ng d¯ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh c´ o hˆ e sˆo´ tuˆa ` n ho` an c´ ac gi´ a tri riˆeng cu’a ma trˆa.n A(t), ∀t ∈ R khˆ ong d ¯´ ong vai tr` o g`ı trong su tˆ `n ta.i nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i cu’a o phu.o.ng tr`ınh khˆ ong thuˆ ` n nhˆ a a´t, c˜ ung nhu t´ınh ˆ o’n d ¯i.nh cu’a

hˆ e thuˆa ` n nhˆ a´t.

1.4.3 C´ ac khˆ ong gian h` am chˆ a´p nhˆ a.n d¯u o c

Trong ´u.ng du.ng phu.o.ng tr`ınh thuˆa`n nhˆa´t thu.`o.ng mˆo ta’ hˆe.thˆo´ng, c`on f d¯˘a.c tru.ng cho ngoa.i lu c, thu.`o.ng go.i l`a sˆo´ ha.ng cu.˜o.ngchˆe´ (forcing term), hay “d¯ˆ` u v`a ao” (input) Mˆo.t b`ai to´an quan tro.ngsau d¯ˆay l`a nˆo.i dung ch´ınh cu’a l´y thuyˆe´t c´ac khˆong gian h`am chˆa´pnhˆa.n d¯u.o c

B` ai to´an: Gia’ su. ’ cho tru.´ o.c mˆ o t khˆ ong gian h` am M V´o.i d¯iˆe ` u kiˆe.n n` ao d ¯˘ a t lˆ en A d ¯ˆ e’ v´ o.i mˆ o ˜i f ∈ M tˆo`n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t nghiˆe.m x f

cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆ ong thuˆ ` n nhˆ a a´t (1.49) ?

1.4.4 Nghiˆ e.m gi´o i nˆo.i trˆen nu.’a tru.c

C´o thˆe’ d¯˘a.c tru.ng t´ınh hyperbolic cu’a hˆe tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´tqua su. tˆ`n ta.i (khˆong duy nhˆa´t) nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i trˆen nu.’a tru.codu.o.ng v´o.i mˆo˜i h`am cu.˜o.ng b´ach (forcing term) f cho tru.´o.c trˆen

nu.’ a tru.c Tuy nhiˆen, viˆe.c ch´u.ng minh d¯˘a.c tru.ng n`ay kh´a ph´u.c ta.p

so v´o.i ch´u.ng minh d¯i.nh l´y Perron o’ trˆen Gia’ su.. ’ σ(A) ∩ iR = .

Khi d¯´o tˆ`n ta.i ph´ep chiˆe´u P : Ro n → R n sao cho P A = AP , v`a

σ(A | ImP) = {λ ∈ σ(A) : Reλ < 0}, σ(A | KerP = {λ ∈ σ(A) : Reλ > 0}.

Ta nh˘a´c la.i r˘a`ng BC(R+,Rn) :={g : [0, +∞) → R nliˆen tu.c v`a gi´o.i nˆo.i}.

D- i.nh l´y 1.17 V´o.i gia’ thiˆe´t v`a k´y hiˆe.u trˆen, v´o.i mo.i f ∈ BC(R+,Rn)

c´ ac kh˘ a’ng d ¯i.nh sau d¯ˆay l`a d¯´ung:

1 Phu.o.ng tr`ınh (1.49) c´ o ´ıt nhˆ a´t mˆ o t nghiˆ e.m gi´o.i nˆo.i trˆen nu.’a tru c, cho bo ’ i cˆ . ong th´ u.c:

v´o.i hai sˆo´ du.o.ng N, α n`ao d¯´o x´ac d¯i.nh t`u A, ta c´o thˆe’ chı’ ra ngay

x f l`a h`am gi´o.i nˆo.i Thu’ tru.. c tiˆe´p suy ra ngay x f l`a nghiˆe.m cu’a(1.49)

(2) D`ung nguyˆen l´y chˆ`ng chˆo a´t nghiˆe.m suy ra hiˆe.u y(t) − x f (t) = z(t) l`a mˆo.t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆa`n nhˆa´t tu.o.ng

´

u.ng Vˆa.y th`ı z(t) pha’i c´o da.ng z(t) = e tA (P z(0) + (I − P )z(0)).

Nˆe´u (I − P )z(0) = 0 th`ı nghiˆe.m z(t) khˆong thˆe’ gi´o.i nˆo.i d¯u.o c Vˆa.y

ta d¯u.o. c d¯iˆ` u cˆe ` n ch´a u.ng minh

1.5 B ` AI TO ´ AN BIˆ EN

1.5.1 B` ai to´ an biˆ en thuˆ ` n nhˆ a a ´t

X´et phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh

Ax(α) + Bx(β) = 0, (1.57)trong d¯´o A, B ∈ R n×n l`a hai ma trˆa.n, v`a α, β ∈ (a, b) l`a hai sˆo´ thu c.cho tru.´o.c.

Gia’ su.’ Φ(t) l`a ma trˆa.n co ba’n chuˆa’n h´oa (t´u.c l`a Φ(0) = I, ma

trˆa.n d¯o.n vi.) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.56) Ta s˜e t`ım nghiˆe.m trong da.ngsau

1.

dG

dt = P (t)G, ∀t ∈ [α, s), t ∈ (s, β]

2 AG(α, s) + BG(β, s) = 0,

3 G(s + 0, s) − G(s − 0, s) = I , (I l`a to´an tu.’ d¯o.n vi.).

T`u l´y thuyˆe´t hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh ta c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n G(t, s)

du.´o.i da.ng sau:

G(t, s) =

Φ(t)S(s), α ≤ t < s, Φ(t)T (s), s < t ≤ β.

Theo c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n cu’a h`am Green ta c´oe

Vˆa.y th`ı G(t, s) x´ac d¯i.nh mˆo.t c´ach d¯o.n tri t`u cˆong th´u.c

1.5.2 Phu.o.ng tr`ınh khˆ ong thuˆ ` n nhˆ a a ´t

X´et b`ai to´an biˆen khˆong thuˆ` n nhˆa a´t sau:

˙

trong d¯´o q : (a, b) → C n l`a h`am liˆen tu.c cho tru.´o.c

D- i.nh l´y 1.18 Nˆe´u ∆ = 0 th`ı b`ai to´an biˆen khˆong thuˆa`n nhˆa´t

(1.60) v` a (1.61) c´ o nghiˆ e.m duy nhˆa´t x´ac d¯i.nh b˘a`ng cˆong th´u c

Ch´ u.ng minh D - ˆe’ chı’ ra h`am x(t) l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh

(1.60) ta biˆe’u diˆe˜n h`am n`ay du.´o.i da.ng

Tiˆe´p theo ta c´o

Thˆe´ th`ı ta d¯˜a ch´u.ng minh d¯u.o. c (1.62) l`a nghiˆe.m cu’a (1.60)

Bˆay gi`o ta ch´u.ng minh t´ınh duy nhˆa´t Gia’ su.’ ta c´o hai nghiˆe.m

x1(t) v` a x2(t) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.60) v`a (1.61) Khi d¯´o ϕ(t) :=

x1(t) − x2(t) l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆa`n nhˆa´t (1.56) v`a(1.57) Theo d¯iˆ` u kiˆe.n ∆ = 0 ta c´o ϕ(t) = 0, ∀t ∈ (a, b).e

Nhˆa.n x´et 1.4 D - i.nh l´y trˆen cho d¯iˆe ` u kiˆe.n d¯u’ tˆo’ng qu´at ho.n d¯iˆe ` u kiˆ e.n d¯u’ cho su tˆ . `n ta.i nghiˆe.m tuˆa o ` n ho` an trong D - i.nh l´y 1.15 d¯˜a biˆe´t trong mu c tru ´o.c.

1.6 PHU . O . NG TR` INH TUYˆ E ´N T´INH B ˆ A C CAO

X´et phu.o.ng tr`ınh vi phˆan

x (n) + p1(t)x (n−1)+· · · + p n (t)x = q(t), (1.63)trong d¯´o x = x(t) l`a h`am vˆo hu.´o.ng, p k (t), q(t) l`a h`am liˆen tu.c trˆen

khoa’ng (a, b) ⊂ R Phu.o.ng tr`ınh trˆen d¯u.o c go.i l`a phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an tuyˆ e´n t´ınh cˆ a´p n.

D- ˘a.t

z1(t) = x(t), z2(t) = ˙x2(t), · · · , z n (t) = x (n−1) (t)

ta c´o

˙z(t) = A(t)z(t) + Q(t), t ∈ (a, b), (1.64)trong d¯´o

.0

Ma trˆa.n da.ng trˆen cu’a A d¯u o c go.i l`a ma trˆa.n Sylvester B˘a`ng c´ach

d¯u.a phu.o.ng tr`ınh cˆa´p cao vˆ` hˆe phu.o.ng tr`ınh bˆa.c nhˆa´t, vˆee ` nguyˆent˘a´c th`ı r˜o r`ang viˆe.c gia’i phu.o.ng tr`ınh bˆa.c cao ho`an to`an thu c hiˆe.nd¯u.o. c Tuy vˆa.y d¯ˆo´i v´o.i hˆe phu.o.ng tr`ınh bˆa.c nhˆa´t c´o ma trˆa.n hˆe sˆo´da.ng Sylvester, viˆe.c t`ım hˆe nghiˆe.m co ba’n c´o thuˆa.n lo i ho.n D-´oc˜ung ch´ınh l`a mu.c d¯´ıch cu’a mu.c n`ay

Bˆ o’ d ¯ˆ ` e 1.3 Hˆ e c´ac h`am {t k j e λ j , j = 1, 2, · · · , N}, trong d¯´o k j ∈

N, λ j ∈ C l`a hˆe c´ac h`am d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh trˆen R khi v`a chı’ khi (k j , λ j)= (k m , λ m ) v´ o.i mo i j = m.

Ch´ u.ng minh Tru.´o.c hˆe´t ta ch´u.ng minh kh˘a’ng d¯i.nh: nˆe´u

N



j=1

P j (t)e λ j = 0, ∀t,

trong d¯´o P j (t) l`a c´ac d¯a th´u.c theo t, th`ı P j (t) = 0, ∀t, ∀j Ta s˜e

ch´u.ng minh b˘a`ng quy na.p gia’ su.’ v´o.i N − 1 cˆong th´u.c trˆen d¯´ung.

Ta chia hai vˆe´ cho e λ N t v`a d¯u.o. c

D- a th´u.c f(λ) d¯u.o c go.i l`a d¯a th´u.c d¯˘a.c tru.ng, c`on phu.o.ng tr`ınh

f (λ) = 0 d¯u.o. c go.i l`a phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng C´ac nghiˆe.m cu’aphu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng d¯u.o c go.i l`a nghiˆe.m d¯˘a.c tru.ng

Bˆ o’ d ¯ˆ ` e 1.4 Gia’ su. ’ λ1 l` a mˆ o t nghiˆ e.m d¯˘a.c tru ng bˆo.i k cu’a phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an tuyˆ e´n t´ınh bˆ a c n c´ o hˆ e sˆo´ h˘a`ng sˆo´ (1.63) Khi d¯´o

hˆ e {e λ1 , te λ1 , · · · , t k−1 e λ1 } l`a hˆe k nghiˆe.m d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.63).

Ch´ u.ng minh D - ˘a.t Lu := u (n) + p

1u (n−1)+· · · + p n u Khi d¯´o dˆe˜d`ang ch´u.ng minh d¯u.o. c

0≤ m ≤ k − 1 nˆen L(t m e λ1 )≡ 0 ´Ap du.ng bˆo’ d¯ˆe` trˆen ta thu d¯u.o c

t´ınh d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a hˆe n`ay

Hˆe qua’ tru c tiˆ. e´p cu’a hai bˆo’ d¯ˆ` trˆen l`e a d¯i.nh l´y sau d¯ˆay:

D- i.nh l´y 1.19 Gia’ su.’ phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng c´o c´ac nghiˆe.m

λ1, · · · , λ l v´ o.i c´ ac bˆ o i tu o.ng ´u.ng l`a m1, · · · , m l Khi d ¯´ o hˆ e c´ac h` am {e λ j , te λ j , · · · , t m j −1 e λ j , j = 1, · · · , l} l`a hˆe nghiˆe.m co ba’n cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.63).

Nhˆa.n x´et 1.5 Tru `o.ng ho p c´ac hˆe sˆo´ thu c ta c´o thˆe’ t`ım hˆe nghiˆe.m

co ba’n thu c nhu sau: trong d¯i.nh l´y trˆen thay v`ı cho.n c´ac h`am ph´u.c

t k e λt , t k e ¯λt ta lˆ a´y c˘ a

p h` am thu. c sau t k e Reλt cos(λt), t k e Reλt sin(λt).

1.7 SU PHU . THU O ˆ C LI EN TU ˆ C THEO D - Iˆ ` U KIˆ E E N

BAN D - ˆ ` U V ` A A THEO THAM S ˆ O ´

Trong mu.c n`ay ta gia’ su’ b`. ai to´an Cauchy ´u.ng v´o.i phu.o.ng tr`ınh

dx

dt = f (t, x, µ), µ ∈ Λ,

trong d¯´o Λ l`a mˆo.t tˆa.p con mo’ cu’a khˆ. ong gianRm n`ao d¯´o, gia’i d¯u.o. ctrˆen to`an khoa’ng (a, b) v´o.i mˆo˜i µ ∈ Λ D- ˆe’ c´o d¯iˆe` u n`ay ta gia’ thiˆe´tnhu trong D- i.nh l´y Tˆo`n ta.i To`an cu.c, t´u.c l`a :

1 f : (a, b) × R n → R n liˆen tu.c theo t, x, µ v`a D x f , D µ f tˆ`n ta.iov`a liˆen tu.c;