Tài liệu CHƯƠNG 7: CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG docx

Các công thức này đi thành cặp: một công thức tích phân bậc m và một công thức tích phân bậc m+1.. Để tìm nghiệm của phương trình vi phân ta dùng chương trình ctadaptrk.m: Đây là công th

CHƯƠNG 7: CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

)y, ,y,y,x(fy

)y, ,y,y,x(fy

n 2

1 n n

n 2

1 2 2

n 2

1 1 1

(

Y

)X,x()x

(

Y

 với: 

y

yy

f

ff

y

yy

n hằng số tuỳ ý. Để nhận được một nghiệm riêng, ta phải cho n điều kiện đầu. Bài toán sẽ có giá trị đầu nếu với giá trị xo đã cho ta cho y(xo), y′(xo), y″(xo),    Một  phương  trình  vi  phân  bậc  n  có  thể  đưa  về  thành  một  hệ  phương trình vi phân cấp 1. Ví dụ nếu ta có phương trình vi phân cấp 2: 

a

(

y

)y,y,x(y

 Khi  đặt u = y và v = y′ ta nhận được hệ phương trình vi phân cấp 1: 

vu

với điều kiện đầu: u(a) = α và v(a) = β 

  Các  phương  pháp  giải  phương  trình  vi  phân  được  trình  bày  trong chương này là các  phương pháp rời rạc: đoạn [a, b] được chia thành n đoạn  nhỏ bằng nhau được gọi là các ʺbướcʺ tích phân h = ( b ‐ a) / n. 

()x(y2

)xx

()x(y)xx

()x(y)x

(

3 i 1 i i

2 i 1 i i

i 1 i i

  yi+1 = yi + hf(xi, yi)           (2) 

Về  mặt  hình  học  ta  thấy  (1)  cho  kết  quả  càng 

Xét bài toán Cauchy (1). Giả sử ta đã tìm được giá trị gần đúng yi của y(xi) và muốn tính yi+1 của y(xi+1). Trước hết ta viết công thức Taylor: 

)c(y

!m

h)x(y

!m

h)

x(y2

h)x(yh)x(y)x

(

1 m

i ) m ( m

i

2

i i

1 i

+ +

d)x

(

1 k

i )

!m

h)x(y

!m

h)

x(y2

h)x(yhy

1 m

i ) m ( m

i

2

i i

1

i

+ +

Ta đã kéo dài khai triển Taylor để kết quả chính xác hơn. Để tính y′i, y″i v.v. ta 

có thể dùng phương pháp Runge‐Kutta bằng cách đặt: 

) i ( 4 4 ) i ( 3 3 ) i ( 2 2 ) i ( 1 1 i 1

=

α++

=

=

)kk

y,bhx

(hfk

)ky

,ahx(hfk

)y,x(hfk

) i ( 2 ) i ( 1 i

i )

i

(

3

) i ( 1 i

i )

i

(

2

i i )

=

=

)ky

,ahx(hfk

)y,x(hfk

) i ( 1 i

i )

i

(

2

i i )

h)y,x

  k(1i) = hf(xi,yi)= hy′i 

  k(2i) =h[ (xi,yi)+ahfx′(xi,yi)+αk(1i)fy′(xi,yi)+⋅ ⋅⋅] 

Do đó vế phải của (16) là: 

  h(r1+r2) (xi,yi)+h2[ar2fx′(xi,yi)+αr2y′ify′(xi,yi)]+⋅ ⋅⋅    (18) Bây giờ cho (17) và (18) khác nhau một vô cùng bé cấp O(h3) ta tìm được các 

  Vấn đề xác định bước tính h là rất quan trọng. Nếu muốn có độ chính xác cao thì bước tính h phải nhỏ. Tuy nhiên khi h nhỏ, ta lại tốn thời gian tính toán.  Hơn  nữa  bước  hằng  số  sẽ  không  thích  hợp  trên  toàn  bộ  miền  tìm nghiệm.  Ví  dụ  nếu  đường  cong  nghiệm  ban  đầu  thay  đổi  nhanh  rồi  sau  đó gần như không đổi thì ta phải dùng h nhỏ ở đoạn đầu và h lớn ở đoạn sau. đây là chỗ mà các phương pháp thích nghi chiếm ưu thế. Chúng đánh giá sai 

số làm tròn tại mỗi lần tích phân và tự động hiệu chỉnh độ lớn của h để sai số nằm trong giới hạn cho phép. 

  Phương  pháp  Runge  ‐  Kutta  thích  nghi  còn  gọi  là  phương  pháp  tích phân kết hợp. Các công thức này đi thành cặp: một công thức tích phân bậc m 

và một công thức tích phân bậc m+1. Ý tưởng là dùng hai công thức này cải thiện nghiệm trong đoạn [x, x+h]. Gọi kết quả là ym(x+h) và ym+1(x+h) ta có sai 

số đối với công thức bậc m là: 

  E(h) = ym+1(x+h) ‐ ym(x+h)      (1) 

Chúng  ta  dùng  công  thức  kết  hợp  bậc  4  và  5  mà  đạo  hàm  được  tính  bằng công thức Fehlenberg. Do vậy công thức Runge ‐ Kutta thích nghi còn được gọi là công thức Runge ‐ Kutta ‐ Fehlenberg: 

i 1

1e(h) E (h)

Để tìm nghiệm của phương trình vi phân ta dùng chương trình ctadaptrk.m:   

Đây  là  công  thức  bậc  2,  giống  như  công  thức 

Euler.  Ta  xem  xét  phương  pháp  này  vì  đây  là  cơ 

sở  của  phương  pháp  Burlisch  ‐  Stör  dùng  tìm 

nghiệm  có  độ  chính  xác  cao.  Hình  bên  minh  hoạ 

công  thức  điểm  giữa  đối  với  phương  trình  đơn 

phương trình  ′ =y f(x,y)  từ x = x0 đến x = x0 + H với công thức điểm giữa. 

Ta chia đoạn tích phân thành n đoạn nhỏ có độ dài mỗi đoạn là  =h H / n  như hình bên và tính: 

  y1 =y0 +hf0 

  y2 =y0 +2hf  1

x‐h  h  x+h

x y’(x) 

  y′′=f(x,y,y ) y(a)′ = α,y(b)= β 

Đây  là  bài  toán  tìm  nghiệm  của  phương  trình  vi 

phân  khi  biết  điều  kiện  biên  và  được  gọi  là  bài 

toán  giá  trị  biên  hai  điểm.  Trong  bài  toán  giá  trị 

đầu  ta  có  thể  bắt  đầu  tìm  nghiệm  ở  điểm  có  các 

giá  trị  đầu  đã  cho  và  tiếp  tục  cho  các  thời  điểm 

sau.  Kỹ  thuật  này  không  áp  dụng  được  cho  bài 

toán  giá  trị  biên  vì  không  có  đủ  điều  kiện  đầu  ở 

các biên để có nghiệm duy nhất. Một cách để khác 

phục  khó  khăn  này  là  cho  các  giá  trị  còn  thiếu. 

Nghiệm  tìm  được  dĩ  nhiên  sẽ  không  thoả  mãn 

điều  kiện  ở  các  biên.  Tuy  nhiên  ta  có  thể  căn  cứ 

vào  đó  để  thay  đổi  điều  kiện  đầu  trước  khi  tích 

phân  lại.  Phương  pháp  này  cũng  giống  như  bắn 

bia.  Trước  hết  ta  bắn  rồi  xem  có  trúng  đích  hay 

không,  hiệu  chỉnh  và  bắn  lại.  Do  vậy  phương 

pháp này gọi là phương pháp bắn. 

  Một phương pháp khác để giải bài toán giá trị biên là phương pháp sai phân  hữu  hạn  trong  các  đạo  hàm  được  thay  bằng  các  xấp  xỉ  bằng  sai  phân hữu hạn tại các nút lưới cách đều. Như vậy ta sẽ nhận được hệ phương trình đại số đối với các sai phân.    

  Cả  hai  phương  pháp  này  có  một  vấn  đề  chung:  chúng  làm  tăng  số phương trình phi tuyến nếu phương trình vi phân là phi tuyến. Các phương trình này được giải bằng phương pháp lặp nên rất tốn thời gian tính toán. Vì vạy việc giải bài toán biên phi tuyến rất khó. Ngoài ra, đối với phương pháp lặp,  việc  chọn  giá  trị  đầu  rất  quan  trọng.  Nó  quyết  định  tính  hội  tụ  của phương pháp lặp.   

  y′′=f(x,y,y ) y(a)′ = α,y (a) u′ =         (2) 

Chìa  khoá  thành  công  là  tìm  ra  giá  trị  đúng  u.  ta  có  thể  thực  hiện  việc  này bằng phương pháp “thử và sai”: cho một giá trị u và giải bài toán giá trị đầu bằng cách đi từ a đến b. Nếu nghiệm giống với điều kiện biên mô tả y(b) = β 

thì ta đã có nghiệm của bài toán. Nếu không ta phải hiệu chỉnh u và làm lại. Tuy  nhiên  làm  như  vậy  chưa  hay.  Do  nghiệm  của  bài  toán  giá  trị  đầu  phụ thuộc u nên giá trị biên tính được y(b) là hàm của u, nghĩa là: 

Do đó u là nghiệm của phương trình: 

  r(u) = θ(u) ‐ β = 0      (3) 

Trong  đó  θ(u)  gọi  là  số  dự  biên(hiệu  số  giữa  giá 

trị  tính  được  và  giá  trị  biên  cho  trước).  Phương 

trình  (3)  có  thể  gải  bằng  các  phương  pháp  tìm 

nghiệm  trong  chương  trước.  Tuy  nhiên  phương 

pháp  chia  đôi  cung  đòi  hỏi  tính  toán  lâu  còn 

Nội  dung  của  phương  trình  Picard  là  thay  cho  việc  tìm  nghiệm  đúng  của phương trình (2) ta tìm nghiệm gần đúng theo công thức: 

plot(t, y);