On tap hinh vao 10( hay0

Ax, By là các tia vuông góc với AB Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB.. Qua điểm M thay đổi trên nửa đường tròn M khác A, B, kẻ tiếp tuyến vớ

C

M

y x

A

C¸c bai tap h×nh «n thi vµo 10( hay)

Bài 4 ( 3 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB) Qua điểm M thay đổi trên nửa đường tròn ( M khác A, B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn lần lượt cắt Ax, By tại C và D

a/ Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp

b/ Chứng minh OC vuông góc với OD và 12 12 12

R OD

c/ Xác định vị trí của M để ( AC + BD ) đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4:

a Xét tứ giác ACMO có CAO CMO 900

=> Tứ giác ACMO nội tiếp

b Vì AC và CM là tiếp tuyến của (O) =>OC là tia phân giác của góc AOM (t/c)

Tương tự DM và BD cũng là tiếp tuyến của (O) => OD là tia phân giác của góc BOM (t/c)

Mặt khác AOM kề bù với BOM =>

CO OD

* Ta có COD vuông tại O và OM là đường cao => theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được

c Vì Ax, By, CD là các tiếp tuyến cắt nhau tại C và D nên ta có CA = CM , MD = DB

=> AC + BD = CM + MD = CD

Để AC + BD nhỏ nhất thì CD nhỏ nhất

Mà C, D thuộc hai đường thẳng // => CD nhỏ nhất khi CD Ax và By => M là điểm chính giữa cung AB

Bài 3 ( 3,5 điểm )

Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2

3AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối

AC cắt MN tại E

a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn

b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE.AC

c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2

d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất

Bài 3

a)

1

* Hỡnh vẽ đỳng

* EIB 90   0 (giả thiết)

*  ECB 90  0 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn)

* Kết luận: Tứ giỏc IECB là tứ giỏc nội tiếp b) (1 điểm) Ta cú:

* sđcungAM = sđcungAN

* AME  ACM

*GúcAchung,suyra∆AME ∆ACM

* Do đú: AC AM

AM  AE  AM

2 = AE.AC c)

* MI là đường cao của tam giỏc vuụng MAB nờn MI2 = AI.IB

* Trừ từng vế của hệ thức ở cõu b) với hệ thức trờn

* Ta cú: AE.AC - AI.IB = AM2 - MI2 = AI2

d)

* Từ cõu b) suy ra AM là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CME Do đú tõm O1 của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CME nằm trờn BM Ta thấy khoảng cỏch NO1 nhỏ nhất khi và chỉ khi NO1BM.)

* Dựng hỡnh chiếu vuụng gúc của N trờn BM ta được O1 Điểm C là giao của đường trũn đó cho với đường trũn tõm O1, bỏn kớnh O1M

Bài 4 (3,5điểm)

Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đ-ờng tròn tại C, tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đđ-ờng tròn tại D

1- Chứng minh OD // BC

2- Chứng minh hệ thức : BD.BE = BC.BF

3- Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp

4- Xác định số đo của góc ABC để tứ giác AOCD là hình thoi Tính diện tích hình thoi AOCD theo R

Baứi 4:

1)

(tia phan giac OD//BC

)

EBF CBD







2) ADB ACB  900(goực noọi

tieỏp chaộn nửừa ủửụứng troứn)

* vAEB, ủửụứng cao AD:

Coự AB2 = BD.BE (1)

* vAFB, ủửụứng cao AC:

Coự AB2 = BC.BF (2)

Tửứ (1) vaứ (2)  BD.BE = BC.BF

Tửứ BD.BE = BC.BF

CDB CFE



 Tửự giaực CDEF noọi tieỏp ủửụứng troứn ( goực ngoaứi baống goực trong ủoỏi dieọn)

3) * Neỏu tửự giaực AOCD laứ hỡnh thoi

 OA = AD = DC = CO

 OCD ủeàu

 600

ABC

 

* S hỡnh thoi = AC OD

M

E

C

I

O

1

N

= R2(2 ) R R2 R2 5

B O

A

F

Câu 4: (3đ)

Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt (O) tại P,Q.Tiếp tuyến tại D trên cung nhỏ BP, cắt PQ ở E; AD cắt PQ tại F Chứng minh:

a/ Tứ giác BCFD là tứ giác nội tiếp

b/ED=EF

c/ED2=EP.EQ

Câu 4: (3đ)

a/ Tứ giác BCFD là tứ giác nội tiếp

ADB 900(góc nội tiếp chắn nửađường tròn (o))

FHB90 ( )0 gt

=> ADB FHB 900900 1800 Vậy Tứ giác BCFD nội tiếp được

b/ED=EF

Xét tam giác EDF có

2

EFD sd AQ PD (góc có đỉnh nằm trong đường tròn (O))

2

EDF sd AP PD (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Do PQAB => H là trung điểm của PQ( định lý đường kính dây cung)=> A là trung điểm của PQPA AQ  =>

tam giác EDF cân tại E => ED=EF

3

E

Q

F

O

B

1

A

D

c/ED2=EP.EQ

Xột hai tam giỏc: EDQ;EDP cú

E chung.

 

Q D (cựng chắn PD )

=>EDQ EPD=> ED EQ ED2 EP EQ

Bài 4 (3,0 điểm): Cho tam giác PQR vuông cân tại P Trong góc PQR kẻ tia Qx bất kỳ cắt PR tại D (D không trùng

với P và D không trùng với R) Qua R kẻ đờng thẳng vuông góc với Qx tại E Gọi F là giao điểm của PQ và RE

a) Chứng minh tứ giác QPER nội tiếp đợc trong một đờng tròn

b) Chứng minh tia EP là tia phân giác của góc DEF

c) Tính số đo góc QFD

d) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng QE Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên cung tròn cố định khi tia Qx thay đổi vị trí nằm giữa hai tia QP và QR

Bài 4:

a) Ta có: QPR = 900 ( vì tam giác PQR vuông cân ở P)

QER = 900 ( RE  Qx)

Tứ giác QPER có hai đỉnh P và E nhìn đoạn thẳng QR dới một góc không đổi (900) Tứ giác QPER nội tiếp đờng tròn đờng kính QR

b) Tứ giác QPER nội tiếp  PQR +PER = 1800

Q

P

R

F

x M

I N

1 1 1

I H

K

O

B A

 PQR = PEF  PEF = PRQ (1)

Mặt khác ta có: PEQ = PRQ (2) <Hai góc nội tiếp cùng chắn cung PQ của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác QPER>

Từ (1) và (2) ta có PEF = PEQ  EP là tia phân giác của gócDEF

c) Vì RP  QF và QE  RF nên D là trực tâm của tam giác QRF suy ra

FD  QR QFD = PQR (góc có cạnh tơng ứng vuông góc)

mà PQR = 450 (tam giác PQR vuông cân ở P)  QFD = 450

d) Gọi I là trung điểm của QR và N là trung điểm của PQ (I,N cố định)

Ta có: MI là đờng trung bình của tam giác QRE  MI//ER mà ER  QE

 MI  QE  QMI = 900  M thuộc đờng tròn đờng kính QI

Khi QxQR thì MI, khi QxQP thì MN

Vậy: khi tia Qx thay đổi vị trí nằm giữa hai tia QP và QR thì M luôn nằm trên cung NI của đờng tròn đ-ờng kính QI cố định

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho tam giỏc vuụng cõn ADB ( DA = DB) nội tiếp trong đường trũn tõm O Dựng hỡnh

bỡnh hành ABCD ; Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ D đến AC ; K là giao điểm của

AC với đường trũn (O) Chứng minh rằng:

1/ HBCD là một tứ giỏc nội tiếp

2/ DOK 2.BDH  

3/ CK CA 2.BD.  2

Bài 4:

1/ DHAC (gt) DHC 90  0

BD AD (gt)

BD BC

BC // AD (t / c hình bình hành)









DBC 90

Hai đĩnh H,B cựng nhỡn đoạn DC dưới

một gúc khụng đổi bằng 900

HBCD

  nội tiếp trong đường trũn

đường kớnh DC (quỹ tớch cung chứa gúc)

1 1

D C ( 1/ 2s BH đ của đường trũn đường kớnh DC)

+ 

1 1

C A (so le trong, do AD//BC)  

1 1

D A

 

1

DOK2A (Gúc ở tõm và gúc nội tiếp cựng chắn DK của (O))   

1

DOK 2D 2BDH

3/+AKB 90  0(gúc nội tiếp chắn ẵ (O)  BKC DHA 90   0;  

1 1

C A (c/m trờn) AHD CKB

  (cạnh huyền – gúc nhọn)  AH CK

+AD = BD (ADBcõn) ; AD = BC (c/m trờn)  AD BD BC 

+ Gọi I AC BD ; Xột ADB vuụng tại D , đường cao DH ; Ta cú:

BD2 AD2 AH.AI CK.AI (hệ thức tam giỏc vuụng) (1)

Tương tự: BD2 BC2 CK.CI (2)

Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được:

CK.AI CK.CI 2BD   CK(AI CI) 2BD   CK.CA 2BD (đpcm)

Bài 5.(4điểm)

Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB =a Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn (O) (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đờng tròn (O);

nó cắt Ax, By lần lợt ở E và F

a) Chứng minh: Góc EOF bằng 900

b) Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB và OEF đồng dạng

c) Gọi K là giao điểm của AF và BE, chứng minh: MK vuông góc với AB

5

d) Khi MB = 3MA, tính diện tích tam giác KAB theo a.

Có EA  AB => EA là tiếp tuyến với (O), mà EM là tiếp tuyến

=> góc EOF = 900 (phân giác 2 góc kề bù) 0,25

b) (1đ)

có góc OAE = góc OME = 900=> Tứ giác OAEM nội tiếp 0,5

Tứ giác OAEM nội tiếp => góc OAM = góc OEM 0,25

Có góc AMB = 900 (AB là đờng kính) => OEF và  MAB là tam giác vuông

c) (0,75đ) có EA // FB => KA AE

EA và EM là tiếp tuyến => EA = EM

FB và FM là tiếp tuyến => FB = FM => KA EM

0,25

 AEF => MK // EA mà EA  AB => MK  AB 0,25

d) (0,75đ) Gọi giao của MK và AB là C, xét  AEB có EA // KC => KC KB

xét  AEF có EA //KM => KM KF

AE//BF=> KA KE KF KB

Do đó KC KM

EA  EA => KC = KM => SKAB =

1

2SMAB

0,5

 MAB vuông tại M => SMAB = MA

2

MB

MB = 3 MA => MA =

2

a

; MB = 3

2

a

S  a S  a (đơn vị diện tích

0,25