Đề thi HSG Tỉnh môn Toan 12 bảng B

Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC.. Đường thẳng qua M song song với AD cắt mặt phẳng BCD tại A’, đường thẳng qua M song song với BD cắt mặt phẳng ACD tại B’,

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2009 - 2010

Môn thi: TOÁN HỌC - THPT BẢNG B

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm).

Giải phương trình: x3 2x (5 3 ) 5 3x  x2 5 3  x

Câu 2 (4,0 điểm).

Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

 

2

x y m

y x xy m x

 





   



Câu 3 (2,0 điểm).

Cho ba số dương x y z, , Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 36

9

x y z   x y y z x z 

Câu 4 (2,0 điểm).

Tính  

2

1 2 1

x x





Câu 5 (3,0 điểm).

Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC Đường thẳng qua M song song với AD cắt mặt phẳng (BCD) tại A’, đường thẳng qua M song song với

BD cắt mặt phẳng (ACD) tại B’, đường thẳng qua M song song với CD cắt mặt phẳng

(ABD) tại C’ Chứng minh tổng MA' MB' MC'

DA  DB  DC không phụ thuộc vị trí điểm M

Câu 6 (3,0 điểm).

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và AC Trên cạnh AB lấy điểm P sao cho 1.

3

AP

AB  Tính thể tích khối tứ diện

AMNP

Câu 7 (2,0 điểm).

Tìm hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn:

f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi số thực x, y

Hết

-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Đề thi chính thức