KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I.. 2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
Trang 1KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm): Cho hàm số: 2 1
1
x y x
−
=
− có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 4 Câu 2 (3,0 điểm):
1) Giải phương trình: 2 2
log x−log (4 ) 5 0x − =
2) Tính tích phân: 3
0
sin cos cos
x
=∫
3) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y x= 3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực tiểu tại điểm x =0 2
Câu 3 (1,0 điểm):
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, ·BAC = 300 ,SA = AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính V S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1 Theo chương trình chuẩn
Câu 4a (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho OMuuuur=3ir+2kr, mặt cầu ( )S có phương trình:
(x−1) + +(y 2) + −(z 3) =9
1) Xác định toạ độ tâm I và bán kính của mặt cầu ( )S Chứng minh rằng điểm M nằm
trên mặt cầu, từ đó viết phương trình mặt phẳng ( )a tiếp xúc với mặt cầu tại M.
2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu, song song với mặt phẳng
( )a , đồng thời vuông góc với đường thẳng : 1 6 2
D
Câu 5a (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức:− +z2 2z− =5 0
2 Theo chương trình nâng cao
Câu 4b (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ độ các đỉnh
là A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1)
1) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD.
2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Câu 5b (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
ln
y = x , trục hoành và x = e
- Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
TRƯỜNG THPT LONG MỸ
ĐỀ THI THỬ 04
GV Bùi Văn Nhạn
Trang 2ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu I:
1
x y
x
-=
- Tập xác định: D = ¡ \ {1}
Đạo hàm: 1 2 0,
( 1)
x
-¢ = < " Î
- Hàm số đã cho NB trên các khoảng xác định và không đạt cực trị.
Giới hạn và tiệm cận: xlim®- ¥ y =2 ; x®lim+ ¥ y =2 Þ y =2 là tiệm cận ngang
;
® = - ¥ ® = + ¥ Þ = là tiệm cận đứng
Bảng biến thiên
y 2
–
+
2
Giao điểm với trục hoành: 0 2 1 0 1
2
y = Û x - = Û x = Giao điểm với trục tung: cho x =0Þ y =1
Bảng giá trị: x –1 0 1 2 3
Đồ thị hàm số như hình vẽ bên đây:
( ) : 2 1
1
x
C y
x
-=
- Tiếp tuyến có hệ số góc bằng –4 nên f x¢( )0 = - 4
2 0 2
0
1
4 ( 1)
4 ( 1)
1
x x
−
Với
3 2
2
2 1 3
4
x = Þ y = - =
2
÷
- = - ç çè - ÷ø Û = - +
Với
1 2
2
2 1 1
0
x = Þ y = - =
2
÷
- = - ççè - ÷ø Û = - +
Vậy, có 2 tiếp tuyến thoả mãn ycbt là : y = - 4x + 2 và y = - 4x + 10
Câu II:
Điều kiện: x > 0 Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
log x−(log 4 log+ x ) 5 0− = ⇔log x−log x− =6 0 (*)
Đặt t = log 2x , phương trình (*) trở thành
3 2
2
2 2
6 0
x
t t
=
− − = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = (nhận cả hai nghiệm)
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm :x = 8 và 1
4
x =
1.
Trang 3 Với 3
sin cos
x dx I
x
p
= ò , ta đặt t = cosx Þ dt = - sin x dx Þ sin x dx = - dt
Đổi cận: x 0
3
p
2
1
2
1
ln ln1 ln ln 2
2
dt dt
−
0
2 0 1.
3
Vậy, 1 2 ln 2
3
y =x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + 2 có TXĐ D = ¡
y¢ = 3x2 - 6mx + m2 - 1
y¢¢ =6x - 6m
Hàm số đạt cực tiểu tại
0
2
(2) 0 6.2 6 0
x
ì
= ÛÛíï ¢¢ > íï
- >
hoac
1 2
m m
m
ïî
Vậy, với m = 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x =0 2
Câu III Theo giả thiết, SA ^ A B , BC ^ A B , BC ^ SA
Suy ra, BC ^ (SA B) và như vậy BC ^ SB
.cos30
2
a
AB AC= = và sin 300
2
a
BC =A C = 2
a a
SB= SA + AB = a + =
SD = AB BC= × × = Þ V = SA S×D =
SBC
a a a
SD = SB BC= × × =
3
3
S ABC
SBC
V d A SBC S d A SBC
D
D
THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu IVa:
OMuuur =3ir + 2kr Þ M(3; 0;2) và ( ) : (S x - 1) 2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 = 9
Mặt cầu có tâm I(1; 2;3)- và bán kính R =3
Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt cầu: (3 - 1) 2 + (0 + 2) 2 + (2 - 3) 2 = 9 là đúng
Do đó, M Î ( )S
( )a đi qua điểm M, có vtpt nr =IMuuur =(2;2; 1)
- Vậy, PTTQ của ( )a là: 2(x - 3)+ 2(y - 0) 1(- z- 2) =0Û 2x + 2y - z- 4=0
Điểm trên d: I(1; 2;3)
- ( )a có vtpt n =r (2;2; 1)
và D có vtcp urD =(3; 1;1)
nên d có vtcp
Trang 42 1 1 2 2 2
D
-÷
r r r
u n u
Vậy, PTTS của d là:
1
2 5 ( )
3 8
x t
= +
= − − ∈
= −
¡
Câu Va: - z2 + 2z - 5 = 0 (*)
Ta có, D = 2 2 - 4.( 1).( 5) - - = - 16 = (4 )i 2
Vậy, pt (*) có 2 nghiệm phức phân biệt
1
2 4
1 2 2
i
2
i
-THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb:
Ta có, A B =uuur (0;1; 0) và CD =(1;1; 1)
-uuur
Gọi M,N lần lượt là điểm nằm trên AB và CD thì toạ độ của M,N có dạng
(1;1 ;1), (1 ;1 ; 2 ) ( ; ; 1)
′ ′ ′
⇒uuuur= − − −
MN t t t t
MN là đường vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi
A B MN t t
t t
t t t t
CD MN
ìï = ìï - ¢=
ïî
uuur uuuur uuur uuuur
Vậy, 1; ;1 ,3 3 3 3; ; 1;0; 1
uuuur
hay u =r (1; 0;1) là vtcp của d cần tìm
PTCT của đường vuông góc chung cần tìm là:
1 3
2 1
ìï = + ïï
ïï
ïï
ï = + ïïî
¡
Phương trình mặt cầu ( )S có dạng: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by- 2cz + d = 0
Vì A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) thuộc ( )S nên:
Vậy, phương trình mặt cầu là: x2 + y2 + z2 - 3x - 3y - 3z + 6 = 0
Câu Vb: Cho y =lnx =0Û x =1
Diện tích cần tìm là:S=∫1elnx dx= ∫1elnxdx
Đặt
1 ln
x
dv dx v x
ìï
Thay vào công thức tính S ta được:
1
S= x x −∫ dx = e e− −x = − − + =e e (đvdt)
Vậy, diện tích cần tìm là: S = 1 (đvdt)