Các chuyên đề lớp 6

Chuyên đề 1 điền chữ số 1.tìm số tự nhiên có 5 chữ số ,biết nếu thêm chữ số 2vào đằng sau thì đợc số gấp 3 lần số có đợc bằng cách viết thêm bằng cách viết thêm chữ số 2 vào đằng trớc

Chuyên đề 1

điền chữ số

1.tìm số tự nhiên có 5 chữ số ,biết nếu thêm chữ số 2vào đằng sau thì đợc số gấp 3 lần số

có đợc bằng cách viết thêm bằng cách viết thêm chữ số 2 vào đằng trớc số đó

giải

cách 1 gọi số cần tìm là abcde ta có 2abcde

3

abcde2

3e tận cùng 2 nên e=4 ta có 3.4 =12 nhớ 1 sang hàng chục

3d +1 tận cùng 4 nên d = 1

3c tận cùng 1 nên c=7 ta có 3.7=21 nhớ 2 sang hàng nghìn

3b tận cùng 7 nên b=5 ,ta có 3.5=15 nhớ 1 sang chục nghìn

3a+1 tận cùng là 5 nên a =8 , ta có 3.8 =24 nhớ 2sang tram nghìn

3.2 +2 =8 ta đợc số cần tìm 85714

Cách 2

Đặt abcde = x, ta có abcde2 = 3.2abcde

Hay 10x +2 = 3 (200000 +x )

10x +2 = 600000+3x

7x = 599998

X = 85714

Số phải tìm là : 85741

**khai thác c1

Tìm số TN nhỏ nhất có chữ số đầu tiên là 2,khi chuyển chữ số 2 này xuống cuối cùng thì đợc

số gấp 3lần

**khai thác c2

Tìm số TN có 5chữ số biết khi viết thêm một chữ số vào đằng sauchữ số đó thì đợc số gấp 3 lần số có đợc khi viết thêm số ấy vào trớc

**ví dụ

Tìm số tn có 3 chữ số biết rằng trong 2 cách viết : viết thêm chữ số 5vào đằng sau hoặc viết thêm chữ số 1 vào trớc thì cách viết thứ nhất chóos gấp 5 lần so với cách viết thứ 2

(giảI theo cách 2 )

2 thay các chữ bởi các chữ số thích hợp a b c

+ a c b

b c a

giải

cọt đơn vị và cột hàng chục thấy c + b có nhớ

b+c+1(nhớ )=10+c nên b = 9

ở cột hàng trăm a+a+1(nhớ) = 9 nên a=4

ở cột hàng đơn vị c+9=14 nên c=5

(vậy các chữ số đợc điền nh sau)

3 tìm các chữ số a,b,c biết tổng a+b+c=tổng của 4 số chẵn liên tiếp và các chữ số a,b,c thoả

mãn cả 2 phép trừ a b c b a c

- c b a - a b c

99 270

Giải

xét phép trừ thứ nhất ở cột thứ nhất ac nên phép trừ ở hàng đơn vị và hàng chục có nhớ

do đó ở cột hàng trăm a-c -1(nhớ) =0 nên c=a-1 (1)

xét phép trừ thứ 2 ở cột trăm ta có b>a nên phép trừ ở hàng chục có nhớ do đó ở cột hàng trăm b-a -1(nhớ) =2 nên a = b – 3 (2)

từ 1 và 2 suy ra c = b – 4 (3)

từ 2 và 3 suy ra a +b+c =b-3 +b +b-4 =3b-7 20

số không quá 20 và là tổng của 4 số chẵn liên tiếp có thể bằng 0+2+4+6 hoặc 2+4+6+8 trờng hợp 3b-7=12 (loại) (vì b không là số TN)

trờng hợp 3b-7 =20 cho ta b=9

thay vào 3 và 4 ta đợc a=6,c=5

4 thay các dấu * bằng các số thích hợp

* * * * * * *

A * * * * * 8

B 0 0 0 * *

C * *

0 0

GiảI

Gọi thơng là a b 8 ,ta thấy a nhân với số chia đợc tích riêng A có 3 chữ số , còn 8 nhân với số chia đợc tích riêng C có 2 chữ số do đó a >8 vậy a=9

ậ dòng B ta hạ liền 2 chữ số bị chia xuống do đó b=0

Số chia nhân với 9đợc tích riêng có 3 chữ số nên số chia lớn hơn 11

Số chia nhân với 8đợc tích riêng có 2 chữ số nên số chia nhỏ hơn 13

Vậy số chia = 12

Số bị chia = 908 12= 10896

5 thay số _

ab cc abc abcabc

giảI ta biến đổi

ab (10c+c) = abcabc : abc

ab.c =1001 : 11 =91

phân tích 91 = 13.7 hoặc 91.1

c=1 loại vì b=c

c=7 thì a=1 , b=3

6.Thaycac chữ số bởi cac số

a ab bc ca abc  

b abc ab a  874

c abc ab a  1037

d acc b dab  biết a là chữ số lẻ

e ac ac acc 

f ab ab acc 

giải

a cùng bớt bcta đợc ab ca a  00

11a +10c+b = 100a

10c+b = 89a (cùng bớt 11a)

bc =89a

a=1(vì bclà số có 2 chữ số)

nên bc=89 suy ra b=8 , c=9

b đổi chỗ các chữ ở cùng cột ta đợc

a b c a a a

a b b b

a c

8 7 4 8 7 4

Do bb+c <110(số có 2 cs cộng với số có 2 cs) nên

874> aaa>874-110 = 764 nên aaa=777

Suy ra bb+c =874 -777 =97

Ta có 97 bb>97-10 = 87 nên bb=88

Do đó c=97-88=9

Vậy các số cần tìm là 789+78+7=874

C,Viết đảng thức hành : aaa + bb + c = 1037 rồi lần lợt tìm a = 9,b , b=3 , c = 5

D a là chữ số lẻ nên b và c cũng lẻ Ta lại có b và c khác 1 và 5 để a c vậy b,c  3;7;9

Lần lợt xét b bằng 9;7;3 và chú ý rằng a,b,c lẻ, khác nhau

Đáp số :177 3 = 513

E ac.ac = acc

Thực hiện phép tính chia acccho acđợc 10 vậy c = 0 , a = 1

Đáp số : 10 10 = 100

F Xét chữ số đầu tiên bên trái của các thừa số và tính , ta có a.a  a nên a=1

Ta có : 1b 1b= 1cc

Ta thấy b 4 vì nếu b5 thì 1b.2b 15.15=225>1cc xét các tích

10.10,11.11,12.12,13.13,14.14, ta có đáp số 12.12=144

7

a 1abc.2 =abc8

b ab=9.b

c abc- ca=ca-ac

d abcd+abc=3576

Giải

a làm tơng tự bài 1 cách 2

b ta có 9b=10b-b

nên ab=b0- b

đặt phép tính theo cột dọc ta thấy

10-b =b nên b=5 , a=4

c vế phải<100 nên vế trái cũng <100 hayabc- ca<100 do đó a=1 ta có

1bc=c1=c1-1c *

xét vế p của * c>1 ,phép trừ ở cột đơn vị 11-c xét vế t phép trừ ở cột đơn vị c-1 do đó 11-c=c-1 suy ra c=6 thay vào * ta tính đợc b = 0 d thêm chữ số d vào cuối số bị rtừ 3576d-abcd=abcd0 3576d=11 abcd Chia 3576dcho 11 ,ta tìm đợc d=1 abc=325 8.điền vào dấu * a * * * b * * * * * * * c * * * * * * * * *

8 0 9 * * * * 2 * * * * * 8 * *

* * * 9 * * * 0 0 0 * * * * * * * * * *

* * * * * 0 * * *

* * *

0

Giải a Gọi số bị nhân là abc Để tích riêng thứ 1 tận cùng bằng 9 thì c = 1 Để tích riêng thứ 2 có ba chữ số thì a = 1 số bị nhân là 1 1b chú ý rằng 1 1b 9 đợc số có 4 chữ số nên b > 1 , còn 1 1b 8 đợc số có 3 chữ số nên b<3 do đó b=2 b.10098:99=102 c 1089708 : 12 =90809 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Chuyên đề 2 phép chia có d Chú ý : a: b đợc thơng là q ,số d là r thì a=b.q +r Bài tập 1.tìm số bị chia và số chia biết :thơng =6 ,số d =49, tổngcủa số bị chia ,số chia và số d = 595 Giải Gọi số b/c là a,số chia là b Ta có a=b 6 +49 (1)

a+b+49= 595 (2)

thay 1 vào 2 ta đợc

6.b +49 +b+49 = 595

7b = 595 -49 2

7b = 497

b= 497:7

b= 71

thay vào 1 suy ra a= 495

2 Một phép chia có thơng = 4 , số d = 25 tổng của số bị chia , số chia và số d = 210 Tìm số

bị chia và số chia

( tơng tự bài 1 )

3.tìm thơng của 1 phép chia , biết nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm 5 vào số chia thì thơng

và số d không đổi

Giải

Gọi SBC là a ,SC là b , thơng là q , số d là r

Ta có : a=b.q +r (1)

( a+15) = (b +5) q +r nên a+15 = bq +5q +r

a=bq +5q+r -15 (2) lấy (2) – (1) đợc 5q =15 hay q=3

4 tim thơng của 1 phép chia biết nếu tăng số BC lên 90 đơn vị tăng số chia 6 đơn vị thì thơng

và số d không đổi (tơng tự 3 )

5 tim thơng của 1 phép chia biết nếu tăng số BC lên 73 đơn vị tăng số chia 4 đơn vị thì

th-ơng không đổi, số d tăng 5 đơn vị

Giải

Gọi SBC là a ,SC là b , thơng là q , số d là r

Ta có : a=b.q +r (1)

( a+73) = (b +4) q +(r +5) nên a+73 = bq +4q +r +5

a=bq +4q+r +5-73 (2) lấy (2) – (1) đợc a=bq +4q+r +5-73

a=b.q +r

0= 4q +5 - 73

4q = 0 + 73 – 5

4q = 68

q = 17

6 xác định phép chia biết số bị chia ,số chia ,thơng và số d là 4 trong các số sau

a 3,4,16,64,256,772

b 2,3,9,27,81,243,567

Giải

a lần lợt đi thử số chia là 3,4…… SC = 256 thì SBC=772 thơng và số d bằng 3 d=4

b tơng tự 567=243.2+81

7 khi chia một số tự nhiên gồm 3chữ số nh nhau cho một số tnhiên gồm 3 chữ số nh nhau ta

đợc thơng là 2và còn dnếu xoá 1 chữ sổơ số bị chiavà 1 chữ số ở số chiathì thơng của phép chia vẫn là 2nhng số d giảm hơn trớc là 100.tìm số chia và số bị chia lúc đầu

Giải

Gọi số bị chia lúc đầu là aaa,số chia lúc đầu là bbb,số d là r

Ta có : aaa= 2 bbb +r (1)

aa= 2 bb +r - 100 (2)

Từ 1và 2 suy ra

aaa- aa= 2 ( bbb - bb) + 100

a00= 2 b00 + 100

A = 2.b +1

Ta có

Thử từng trờng hợp ,ta đợc ba đáp số

555 và 222 , 777 và 333 , 999 và 444

8 trong phép chia có d số b/c gồm 4 chữ số nh nhau ,số chia gồm 3 chữ số nh nhau ,thơng =

13 và còn d nếu xoá 1 chữ số ở số b/c và 1 chữ số ở số chia thì thơng không đổi còn số d-giảm hơn trớc 100 đơn vị tìm số chia và số b/c lúc đầu

Giải

Gọi số b/c lúc đầu là aaaa , số chia lúc đầu là bbb, số d là r

Ta có aaaa= 13.bbb + r (1)

aaa =13.bb+ r (2)

Từ 1 và 2 suy ra

a000 13 00 100 b 

a0 13 b1

Nh vậy 13b tận cùng =9 (do 13b +1 có tận cùng = 0) nên b=3 do đó a0= 40

Số bị chia và số chia là 4444 và 333

Bài 4 tính chất chia hết trên tập hợp số tự nhiên

I.lý thuyết

1.định nghĩa

a,b là số TN b khác 0 tanói a chia hết b nếu tồn tại số TN qsao cho a=b.q

2 tính chất chung

a b b c  ,   a c 

a a  với mọi a khác 0

0 b  với mọi b khác 0

Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1

3 tính chất chia hết của tổng , hiệu

a,b cùng chia hết cho m thì a+b chia hết cho m, a-b chia hết cho m

tổng của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m

nếu 1 trong 2 số a,bchia hết cho m số kia khong chia hết cho m thì tổng ,hiệu của chúng không chia hết cho m

4 tính chất chia hết của 1 tích

Nếu một thừa số của tích chia hết cho mthì tích chia hết cho m

Nếu a chia hết cho m,b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n

Nếu a chia hết cho b thì a b n n

II bài tập

1 chứng minh rằng

a) ab ba chia hết cho 11

b) ab ba chia hết cho 9 với a > b

giải : a) ab ba (10a b ) (10 b a ) 11 a11b,chia hết cho 11

b) ab ba (10a b ) (10 b a ) 9 a 9b, chia hết cho 9

2.Quan sát các VD :

14+19 = 33 chia hết cho 11, 1419 chia hết cho11; 6 + 49 = 55 chia hết cho 11,649 chia hết cho 11

Hãy rút ra nhận xét và chứng minh nhận xét ấy

Giải : Nxét: Nếu ab cd 11thì abcd11thật vậy

abcd  ab cd  ab ab cd 

3.cho abc27chứng minh bca27

GiảI abc27

0 27

abc

a bc

a a bc

a bca

do a nenbca



 











4 chứng minh rằng không tồn tại các số TN a,b,c nào mà a.b.c+a=333, a.b.c+b=335

a.b.c+c=341

giải

từ a.b.c+a=333 suy ra a là số lẻ

tơng tự b,c cũng là các số lẻ

a,b,c là các số lẻ nên a.b.c+a là số chẵn (vô lí vì a.b.c+a=333là số lẻ )

5 a.chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau một số TN có 2 chữ số gồm chính 2 chữ

số ấy viết theo thứ tự ngợc lại thì đợc 1 số chia hết cho 11

b.cũng chứng minh nh trên đối với số TN có 3 chữ số

giải

gọi số TN có 3 chữ số là abc khi viết thêm ta đợc số abccba

ta có abccba=100000a+10000b+1000c+100c+10b+a

=100001.a+10010.b+1100c chia hết cho 11

(Phần 2 chữ số làm tơng tự )

6, chứng minh nếu ab2cd thì abcd67

Giải

100

100.(2 )

201

abcd ab cd

cd cd

cd



Chia hết cho 67

7 chứng minh rằng

a)abccba chia hết cho 7 , 11 , và 13

b)abcdeg chia hết cho 23 và 29 , biết rằng abc 2.deg

(tơng tự bài 5 và bài 6 )

8 chứng minh rằng ab cd eg  chia hết cho 11 thì abcdeg chia hết cho 11

5 Cấc dấu hiệu chia hết

I lý thuyết :

Gọi A = a a n n1 a a a2 1 0 ta có

0 0

1 0 1 0

2 1 0 2 1 0

n n

n n

A a a a A a a a





II Bài tập :

1) Tìm STN có 4 chữ số,chia hết cho 5 và cho 27 biết rằng 2 chữ số giữa của số đó là 9 Giải :

Gọi n là SCT , n phảI có tận cùng là 0hoặc 5và n phải chia hết cho 9 xét n = 975 9 nên * = 6 Thử lại :6975không chia hết cho 27

xét n = 975 9 nên * = 2 Thử lại :2970 27. SCT là 2970

2) hai số TN a và 2a đều có tổng các chữ số = k chứng minh rằng a chia hết cho 9 Giải :

Ta biết rằng 1 số và tổng các chữ số có cùng số d trong phép chia hết cho 9 ,do đó hiệu cuả chúng chia hết cho 9

Nh vậy : 2a – k  9

Và a  k  9

Suy ra : (2a – k) (a  k )  9

Do đó a  9

3) chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27.

giải :

gọi A là số gồm 27 chữ số 1 , B là số gồm 9 chữ số 1 Lấy A chia cho B ta đợc thơng là

C =10 0   10 0   1 Nh vậy A = B C trong đó B chia hết cho 9, còn C chia hết

8 chữ số 8 chữ số

cho 3 Vậy A chia hết cho 27

4) cho số tự nhiên ab= 3 lần tích các chữ số của nó

a)chứng minh rằng b chia hết cho a

b) giả sử b = ka (kN) ,chứng minh rằng k là ớc của 10

c)tìm các số ab nói trên

Giải : a) Theo đề bài : ab= 3ab

 10a b 3ab (1)

 10a + b  a

 b  a

b) Do b= ka nên k <10 Thay b= ka vào (1) :

10k + ka = 3a ka

10 10

k ak

k k k







(2)

c)Do k<10 nên k1;2;5

với k=1 thay vào (2) 11=3a loại

với k=2 thay vào (2) 12 = 6a nên a=2

b=ka = 2.2 = 4 ta có số ab = 24 = 3.2.4

với k=5 thay vào (2) 15 =15a nên a=1

b=ka = 5.1 =5 ta có số ab= 15 =3.1.5

chú ý

ab=3ab

10a+b=3ab

10a=3ab-b

Nên 10a=b(3a-1)

Ta thấy 10a chia hết 3a-1, mà a và 3a-1 nguyên tố cùng nhau (thật vậynếu a và 3a-1 cùng chia hết chod thì 3a-(3a-1)chia hết cho dtức là 1 chia hết cho dvậy d=1 ) nên

10 chia hết cho 3a-1

5)tìm số TN có 2 chữ số ,biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó

Giải

Gọi số phảI tìm là ab , ta có 10a+b chia hết cho a.b (1)

Suy ra b chia hết cho a ,đặt b=ka thì k< 10

Suy ra 10a ka nên 10k , k=(1,2,5)

Nếu k=1 thì b=a thay vào 1 ta đợc 11a a.a nên 11a hay a=1

Nếu k=2 thì b=2a xét các số 12,24,36,48 ta có các số 12,24,36 thoả mãn đầu bài

K=5 thì b=5a ab=15 thoả mãn đề bài

Vậy có 5số thoả mãn đề bài là 11,12,15,24,36

6)tìm số TN biết

a)chia cho 4 thì d 1,chia cho 25 thì d 3

b)chia cho 8 thì d 3, chia cho 125 thì d12

giảI

a)các số chia hết cho 25 có tận cùng bằng 00,25,50,75nên các số chia cho 25 d 3 có tận cùng = 03,28,53,78

các số chia hết cho 4 có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4 nên các số chi cho 4 d1có 2 số tận cùng tạo thành số chia cho 4 d 1trong các số 03,28,53,78 chỉ có số 53chia cho 4 d 1

vậy số cần tìm là các số có tận cùng =53

b) tơng tự số có tận cùng là 387

7)tìm các chữ số a,b, sao cho

a) a-b=4 và7 5 1 3a b 

b) a-b=6 và 4 7 1 5 9a  b 

giảI

a) số 7 5 1 3a b  nên 7+a+5+b 3

13+a+b 3 nên a+b chia cho 3 d 2 (1)

Ta có a-b =4 nên 4 9

a b

 

 

Suy ra 4  a b 14 (2)

Mặt khác a-b là số chẵn nên a+b là số chẵn (3)

Từ 1,2,3 suy ra a+b = 8 hoặc 14

Với a+b=8, a-b=4 ta đợc a=6,b=2

Với a+b=14,a-b=4 tađợc a=9,b=5

b) 4 7 1 5 9a  b  nên 512 +10(a+b) 9

504 +8+9(a+b)+a+b 9 nên a+b chia 9 d 1

a b a b   =6 nên a+b=10

Từ đó ta tìm đợc a=8,b=2

8)tìm số TN có 3 chữ số ,chia hết cho 5 và 9,biết chữ số hàng chục bằng trung bình cộng của

hai chữ số kia

GiảI

( 2 số a và b có số trung aình cộng là (a+b):2 )

Gọi số phảI tìm làabc vì số đó chia hết cho 9 nên a+b+c9

Chữ số hàng chục =tb cộng của chữ số trăm và đơn vị nên2.b=a+c

Thay vào trên 3.b9 suy ra b3 vậy b=0 (3,6,9) do số đó 5 nên c=0(5)

xét ab0với a=2b-0 ta đợc 630

xét ab5 với a=2b-5 ta đợc 136 và 765

về nhà

1) điền vào dấu *521* 8

2) 2 *8* 7 9 chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng nhgìn là 2

6 Bồi dỡng toán 6

1)Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9 , biết rằng :

a) Tổng của chúng bằng *657 và hiệu của chúng bằng 5*91 ;

b) Tổng của chúng bằng 531* và số lớn gấp đôi số nhỏ

Giải : a) Tổng của chúng bằng 9657 và hiệu của chúng bằng 5391.

 Số bé là : ( 9657 – 5391) : 2 = 2133

Số lớn là : 2133 + 5319 = 7524

c) Tổng của hai số phải tìm là số chia hết cho 9 nên có thể bằng 5130 hoặc 5139

Nếu tổng hai số bằng 5130 thì số bé bằng : 5130 : 3 = 1710 , số lớn bằng 3240 , thoả mãn bài toán

Nếu tổng hai số bằng 5139 thì số bé bằng : 5139 : 3 = 1713 , loại vì không chia hết cho

9

Đáp số : 1710 và 3240.

2) Bạn An làm phép tính trừ trong đó số bị trừ là số có 3 chữ số chia hêt cho 9 , số trừ gồm

chính ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngợc lại An tính đợc hiệu bằng 188 Hãy chứng tỏ rằng

An tính sai ?

Giải : Chú ý rằng : Số bị trừ và số trừ cùng số d trong phép chia cho 9 nên hiệu phảI chia

hết cho 9

Chú ý : Bỏ từ “ ngợc lại’’ trong đề bài , bài toán vẫn đúng.