BH là đường cao của hình thang... Dùng Pitago trong V BCH... Tính tổng các vuông cân.
Trang 1CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
Bài 1: 33 22 22 33
x x y xy y
A
x x y xy y
Giải:
a Rút gọn A:
x x y xy y x x y y x y x y x y
A
x x y xy y x x y y x y x y x y
Vậy A x y
x y
(đk xy)
b Tính A khi x 3; y 2
2
3 2
3 2
5 2 6
c Khi A = 1 tức A x y 1 x y x y ( do x y)
x y
2y 0 y 0 x x
( luôn đúng) Vậy để A = 1 thì x R; y = 0
x
B
a Rút gọn B (ĐK: x 3; x 2)
3 ( 3)( 2) 2 ( 3)( 2)
B
2 4 5 3 2 12 ( 4)( 3)
( 3)( 2) ( 3)( 2) ( 3)( 2)
4 2
B
x
B
x
b
2 2
2
2 2(2 3) 4 2 3
3 1 3 1 3 1
4 3
Thay x 3 1 vào B ta có: 3 1 4 3 5
3 1 2 3 3
B
c Tìm x Z để B Z
B
Trang 2Để B Z thì 2 hay 2 x - 1 x - 2
2 Z
2 2
x
hoặc x – 2 = + 1
x – 2 = 2 => x = 4 x – 2 = -2 => x = 0
x – 2 = 1 => x = 3 x – 2 = -1 => x = 1
Vậy để B nguyên thì các giá trị của x nguyên là: 4, 0, 3, 1
2
2
:
a Rút gọn C (ĐK: x 1 )
2 2
2
(1 )
1
x x
x
2 2
.
1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
(1 )(1 ) (1 ) 1
x x C
b x 3 2 2 2 1 2 2 1 2 1
Thay x 2 1 ta có:
2
1 3 2 2 2( 2 2)
1 2 1
2
4
C
2 2
2
3
1
3 1 0
3 5
2
x
x
x x x
:
D
a Rút gọn D (ĐK: x 2;x 2;x 0)
:
D
(2 ) (2 ) 4 ( 3)
:
22 2 2 2
:
(Tương tự)
c
Trang 3
2 2
(2 2 )(2 2 ) 4 (2 )
x
2
8 4 (2 ) 4 (2 ) (2 )
Vậy 2 2
4
3
x
D
x
x
2 2
4.7 196 98 7
7 3 46 23
x D
2 2
4.3
3 3
x D
4 1 (2 1)( 1)
2 4
E
x
a Rút gọn E (ĐK: x 23 )
(2 1)(2 1) (2 1)( 1)
(3 2)(3 2) (2 1)(3 2) 2 1
(3 2)(3 2) 3 2
E
b Tìm x để E 0
1
2 1 0
2
2 3
2 1
1 2
x
x x
E
x
x x
x x
1
2 2 3
x
x
Trang 4Bài 6: F 1 : 1 2
a Rút gọn F (ĐK: x 1;x 1;x 0)
:
F
1 ( 1)( 1)
1
x x
x
b x 4 2 3 ( 3 1) 2
( 3 1)
x vào F
2
3 1 3 1 1 6 3 3
2 3 3 3
3 1 1
2 0
1
x x
2
1
1 0
x
x x
Vậy để K > 1 thì x > 1
Bài 7: a/ G a22 b22 : a b a . a b b
a b a b b a b a
22 22
:
a b a b b a b a a b a a b b
ĐK: ab a; 0;b 0
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
a b a b a b
G
a b a b b a b a
.
a b ab a b ab a b
b thay a b 2 vào G ta được:
( Loại )
Trang 53 3
2 2
2 ( 2 ) 2( 2 1) 2( 2 1)
3 ( 2 1) 3( 2 1) (b 2 ) ( 2)
G
b
3 2 4
3
x x H
a Rút gọn H (ĐK x > 1)
H
( 1) ( ))
x
x
2 x 1 x
b Ta có: 53 53(9 2 7)2 2 53(9 2 7) 9 2 7
81 28
9 2 7 9 (2 7)
Thay x 9 2 7 vào H ta được:
9 2 7 2 9 2 7 1
9 2 7 2 8 2 7
9 2 7 2( 7 1) 9 2 7 2 7 2 7
1 2 1 1 16
( 1 1) 4 0
( 1 1 4)( 1 1 4) 0
x
( 1 3)( 1 5) 0
1 3 0
1 5 0
x x
x 1 3 0 x 1 3 (Vô lí)
x 1 5 0 x 1 5 x 1 25 x 26
Trang 6Bài 9:
2
I
a Rút gọn I (ĐK: ba )
:
I
I
b a I
a b a
b Thay a 1 2và b 1 2vào I ta có:
2
2
a
b a
a b a
2
a a
a = 0 => b = 0 (loại)
a = 3 => b = 6
ab b ab a ab
a Rút gọn J (ĐK: a > 0; b > 0; b 0 )
J
a a b a b b b a a b b a
ab b a
a ab a b b ab b a ab b a
b Ta có:
Trang 72 2
a
b
Thay a, b vào J ta có:
3 2
5
b 5a
J
(2 3)( 1) 4(2 3)
( 1) ( 3)
K
a Rút gọn K ( ĐK: x 1;x 3)
2
( 1) 4 (2 3) (2 3)( 1 2)( 1 2)
.
x
K
2
(2 3)( 1)( 3)
1
x x
b Ta có: x 3 2 3 2 1
Thay vào K ta có:
2 3 2( 2 1) 3 2 2 2 3 2 2 1
x K
x
Vậy 5 2 6
2
K
c K > 1 2 3 1
1
x x
1
x x
4 0 1
x x
x 4 hoặc x < -1
Trang 8Bài 12: 1 : 3 2 2
L
a Rút gọn L (ĐK: x 9;x 4;x 0)
:
L
1 :
2 1
x L
x
b Tìm x để L < 0
1
x L
x
Vì x 0nên x 1 1 để L 0 x 2 0
16
x x
Vậy để L < 0 thì 0 x 16 và x4,x 9
9 1
P
x
a Rút gọn P (ĐK: x 19 và x > 0)
1 3 1 3 1 8 3 1 3 2
:
P
x x x
b Ta có: x 6 2 5 ( 5 1) 2
Thay x vào P ta có:
2
( 5 1) ( 5 1) 1
3 5 1 1
P
Trang 9( 5 1)( 5 2) 3 5 7
x x P
x
2
;
x
x
x
Vậy để 6
5
P thì x = 4; 9
25
x
Q
a Rút gọn Q (ĐK: x0;x1)
Q
2 5
3
x x
x Q
x
121
x (loại)
(loại)
Trang 10c 5 2 5 15 17
Q
5 15 17
x
5 17
3
x
17
5 3
x
max
17 3
Q
x
lớn nhất x 3 nhỏ nhất Lúc đó: 17 5 17 15 2
Vậy max 2
3
Q khi x = 0
Bài 15:
1
x
1
x x
1:
x x
1
b CM R > 3 với mọi giá trị x > 0 và x 1
Xét hiệu R – 3 x x 1 3
x
x x 1 3 x x 2 x 1
Do x 0và ( x 1)2 0 Nên R – 3 > 0 => R > 3
Trang 11CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: BH = 12 (cm); BD = 15 (cm)
Tính SABCD
Giải
Qua B kẻ đường thẳng song song AC cắt DC ở E BH là đường cao của hình thang
Ta có: BE // AC
Mà: AC BD
Trong V BDH ta có: HD2 = BD2 – BH2 = 152 – 122 = 81
=> DH = ? (cm)
Trong V BDE ta có: BD2 = DE.DH => DE = BD2 = 225 = 25 (cm)
DH 9
Ta có AB = CE (t/c đoạn chắn)
Nên: AB + CD = CE + CD = DE = 25 (cm)
Do đó: SABCD = 25.12:2 = 150 (cm2)
Bài 2: CD = 10 (cm); AB = AH = BK
Tính đường cao
Giải Đặt AH = BK = AB = x
DH + CK = 10 – HK = 10 – x
Xét V ADC:
5
Nên x 2 5 (cm)
Vậy: Đường cao hình thang bằng 2 5(cm)
C
=> BE BD
C K
H D
Trang 12Bài 3: CABC = 72 (cm); AM – AH = 7 (cm)
Tính SABC
Giải
Đặt AM = x
Ta có: BC = 2x; AH = x – 7
AB.AC = BC.AH = 2x (x – 7) => 2AB.AC = 4x (x – 7) (2)
Cộng (1) và (2) ta được: AB2 + AC2 + 2AB.AC = 4x2 + 4x (x – 7)
(AB + AC)2 = 8x2 – 28x Mà AB + AC = CABC – BC (72 – 2x)2 = 8x2 – 28x
x2 + 65x – 1296 = 0
(x – 16) (x + 81) = 0
x = 16; x = -81 (loại)
BC = 32 (cm); AH = 16 – 7 = 9 (cm)
ABC
1
2
Bài 4: ABC có: A= 1200; BC = a
AC = b; AB = c
Chứng minh: a2 = b2 + c2 – bc
Giải
Kẻ BH AC
ABH vuông tại H có BAH 60 0 ABH là nữa đều
Nên AH = AB = C1 1
2 2 Dùng Pitago trong V BCH
Ta có: BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AH + AC)2 = BH2 + AH2 + 2AH.AC + AC2
a2= BC2 = AB2 + 2AH.AC + AC2 = b2 + c2 + 2 c.b1
2
a2 = b2 + c2 + bc
Bài 5: Biết BD = 7,5; DC = 10
Tính AH, BH, DH
Giải
A
B
C
a c
120 0
A
Trang 13Theo tính chất phương phân giác: AB DB= 7,5 3
AC DC 10 4
Mà AB2 = BC2 – AC2 = 17,52 – AC2 (Pitago)
AC2 = 196 nên AC = 14 (cm)
Dùng AB AC = BC.AH
14.10,5
17.5
AB = BC.BH BH = = = 6,3 (cm)
BC 17.5
DH = DB – BH = 7,6 – 6.3 = 1,2 (cm)
Bài 6: BC = 25, DK = 6
Tính AB
Giải
Ta có: v ADK = v ADH ( ch – gn)
DH = DK = 6; D = D D +A 90
1
D + BAD = 90 (ΔABCABC vuông ở A)
1
D = BAD
nên ABD cân ở B => AB = DB
Đặt AB = DB = x Ta có: AB2 = BC.BH => x2 = 25 (x – 6)
Được pt: x2 – 25x + 150 = 0 (x – 10) (x – 15) = 0
Nên AB = x = 10 hoặc AB = x = 15
Bài 7: AB = AC; MA = MC
CM: AH = 3HD
Giải:
Xét v AMB và v DMC
1 1
A x
K
2 1
1 2
A
B
C D
M H
Trang 14Mà AB = 2AM nên HC = 2HD
Đặt HD = x => HC = 2x (ta sẽ tính sao cho AH = 3x)
Ta có: DH2 = HM.HC hay x2 = HM.2x => HM 2 0,5
2
x
x x
MC = 2,5x; AM = 2,5x => AH = 3x
Vậy AH = 3x = 3HD
Bài 8: Cho AB = BC = CD = DA =10 cm
AE = EF = FA
Tính EF, FA, AE
Giải
Ta có: v BAF =v DAE (Ch – Cgv)
=> BF = DE nên CE = CF
Đặt DE = x => CE = 10 – x; CE = CF = 10 – x (ĐK: x < 10)
Nên AE2 = x2 + 100 (1)
Từ EF2 (=AE2) = CE2 + CF2 = (10 – x)2 + (10 – x)2 = 2 (10 – x)2
=> x2 + 100 = 2 (100 – 20x + x2)
x2 – 40x + 100 = 0
x2 – 2.20x + 400 – 300 = 0
x
Thay x 20 10 3 vào (1)
= 800 400 3
20 2 3 (cm)
(loại)
F
C E
D
Trang 15Bài 9:
CM: 1 2 + 12 = 12
Giải
Vẽ đường thẳng vuông góc với AM tại A, cắt CD ở N
Trong v ANI ta có:
+ = *
AD AN AI
v DAN và BAM có: AB = AD = a
3
A )
=> DAN = v BAM (Cgv – góc nhọn kề)
=> AN = AM (**)
Thay (**) vào (*) ta có: 1 2 + 12 = 1 2 = 12
Bài 10: BC = 3 5; AD = DE = EF = FA = 2
Tính AC, AB
Giải:
Đặt BD = x; CF = y
BDE EFC nên: 2x 2y
Theo pitago: AB2 + AC2 = BC2
Nên: (x + 2)2 + (y + 2)2 = 3 52 45
x2 + y2 + 4(x + y) = 37
(x + y)2 – 2xy + 4 (x + y) = 37 (2) Đặt t = x + y > 0 và thay (1) vào (2) ta được:
t2 + 4t – 45 = 0
(t – 5) (t + 9) = 0 t = 5; t = -9 (loại)
N
M
1 3 2
B
E D
x 2
2
Trang 16Vậy x + y = 5 x = 5 – y (3)
Thay (3) vào (1) ta được: y2 – 5y + 4 = 0
(y – 1) (y – 4) = 0
y = 1; y = 4
y = 1 => x = 4 Khi đó: AB = 2 + x = 2 + 4 = 6; AC = 3
y = 4 => x = 1 Khi đó AB = 3; AC = 6
Bài 11: Cho
B = B ; IA = 2 5 ; IB = 3 Tính AB
Giải:
Đường vuông góc với AB tại A cắt BI ở K
Ta có: K = AIK (Vì cùng phụ với
B = B ) => AIK là cân
Kẻ AH BK, đặt IH = KH = x
Trong v ABK có: AK = KH.KB 2 2 52 x x(2 3)
2x2 + 3x – 20 = 0 (2x – 5) (x + 4) = 0
2
x
2
AB
Bài 16: Cho AB = DB; HE = 2HA
CM: DEC 90 0
Giải
Gọi I là trung điểm HE
Đặt AH = a; HB = b
Thì: EH = 2a; DI = 2b
Và HC = AH2 = a2
(loại)
A
K H
C B
I
x
2
2 5
A
H
a
b a
a 2b
Trang 17 DI 2b HE a2 2b
tg IED = = tgHCE = = 2a: =
IED = HCE
EH a2 2b cotg CEH = = 2a: =
IED + CEH = 90
Bài 17: AB = 10; EFGHIKMN
là bát giác đều; DKM, ANE, BFG, CHI
là các vuông cân Tính tổng các vuông cân
Giải
Đặt DK = CI = x
2 2
MK = x +x = x 2 = KI
Ta có: DK + KI + IC = 10
Nên x x 2 x 10 x(2 2) 10
Do đó: x 210 2
Tổng diện tích của 4 vuông cân bị cắt:
2
2 2
2x x 2 2 6 4 2 3 2 2
ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1: CM HK là tiếp tuyến của (O)
Giải
Gọi O là trung điểm của EC
OE = OC = OK nên EKC 90 0
Gọi M là trung điểm AK => HM là đtb của hình thang ABEK
Nên HM AK => HAK cân tại H (đc cũng là tr tuyến)
1 1
K = A
K = C K + K = A + C OKH 90
Vậy HK là t2 của (O)
Bài 18:
17
N M
G H
M
A
K
A N M
K I
Trang 18Gọi p là bán kính đường tròn nội tiếp ABC
2 2
BC = 15 +20 = 25 (cm)
15 + 20 - 25
2
2 2
2 2
Kẻ IK AH tính được AK = 7 cm
IK = AI - AK = 5 2 - 7 = 1 (cm)
Bài 19:
Xét ABC vuông ở A
Giả sử AB = 12 (cm)
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp
=> BC = 5r
Ta có: AB + AC – BC = 2r nên AC = BC + 2r – AB = 7r – 12 (2) Từ (1) và (2) suy ra: (7r – 12)2 = 25r2 – 144
2 7 12 0
Vậy r = 3 hoặc r = 4
2
Bài 17:
a Chu vi DMN = DM + MN + ND
= DM + ME + EN + ND
= DM + MA + DN + NC = 2a
b CM: MBN 45 0
v ABM = v EBM (ch – Cgv)
B = B
v CBN = v EBN (ch – Cgv)
B = B
p
E F
A
I A
M
1 2 3 4
E
Trang 19 0 0 0
1
2
c MN < DM + DN
=> MN + N < MN + DM + DN = 2a
=> 2MN < 2a => MN < a (1)
Ta có: MN > DM; MN > DN
Nên 2MN > DM + DN => 2MN + MN > DM + DN + MN = 2a
=> 3MN > 2a MN > 2a (2)
3
Từ (1) và (2) 2a < MN < a
3