ung dung bien hinh giai toan

Bài toán 3: Cho góc xoy và một điểm A thuộc miền trong của góc đó .Hãy dựng đường thẳng đi qua A cắt o x tại B và cắt oy tại C sao cho A là trung điểm của đoạn BC... Bài toán 4: cho hai

I)Lý do ch ọn đề tài:

Ta đã biết tơng quan hàm số núi riờng ,tương quan ỏnh xạ núi chung chiếm

một vị trớ quan trọng , chủ yếu của giỏo trỡnh toỏn học phổ thụng Nú xuất hiện hầu hết cỏc lĩnh vực của toỏn phổ thụng ,từ số học đến hỡnh học , đại số và giải tớch Do đú cần quan tõm thớch đỏng đến mạch vấn đề

này.Trong nội dung ỏnh xạ thỡ một vấn đề quan trọng là nghiờn cứu cỏc bất biến qua cỏc ỏnh xạ ,nghĩa là cỏc tớnh chất được giữa nguyờn

Khi đi qua ỏnh xạ Nếu cú cỏi nhỡn thấu đỏo về vẫn đề này nú gúp phần

để nghiên cứu cỏc tập hợp nghiên cứu không gian Do đú nú cung cấp cho chỳng ta một cụng cụ để định hướng , tỡm lơỡ giải cho nhiều bài toỏn ở tr-ờng phổ thông , những cơ sở phõn tớch ở trờn tụi quyết định lưa chọn đề tài cứu :’’vai trũ cỏc bất biến của cỏc ỏnh xạ trong toỏn phổ

thụng “.

II) NHIấM VỤ NGHIấN CỨU :

Nghiờn cứu cỏc loại bất biến của cỏc ỏnh xạ trong các phép biến hình trong toỏn phổ thụng

Phõn loại cỏc bất biến.Sử dụng cỏc bất biến trong quỏ trỡnh định hướng tỡm lời giải bài toỏn’

III) PHƯƠNG PHÁP NGHIấN CỨU:

Nghiờn cứu tài liệu , tổng kết để đưa ra phương phỏp giải toỏn

III)ĐểNG GểP CỦA ĐỀ TÀI:

Nếu nghiờn cứu đề tài thành cụng thỡ đề tài đúng gúp cho chỳng ta một cụng cụ sắc bộn để giải nhiều bài toỏn ở phổ thụng đồng thời nú giỳp cho chỳng ta hiểu sõu sắc hơn đến khụng gian và cỏc tập đang xột

IV)NỘI DUNG NGHIấN CỨU :

Gồm cú hai chương :

Chương 1 : trỡnh bày cỏc khỏi niờm liờn quan

Chương 2: vai trũ của cỏc bất biến của cỏc ỏnh xạ trong trường phụ thụng

CHƯƠNG 1:

Cho hai tập X và Y ,ỏnh xạ f từ X vào Y là một quy tắc để ứng mỗi phõn

tử xX ,một và chỉ một phõn tử yY

Kớ hiờụ : f: X Y

x y  f (x)

với X là tập nguồn cũn Y là tập đớch

12:phộp biến hỡnh ( trong mặt phẳng)

Phộp đặt t ương ứng f với mỗi điểm M trong mặt phẳng với một và chỉ một điểm M' được gọi là một phộp biến hỡnh

Kớ hiệu :f : M M'

13 :phộp dời hỡnh :

Phộp dời hỡnh là một phộp biến hỡnh bảo toàn khoảng cỏch , nghĩa là

f; M M'

N N' thỡ MN =M' N '

131: phộp đối xứng trục:

trong mặt phẳng cho đường thẳng a phộp biến hỡnh biến M thành M' sao cho đoan MM '

nhận đường thẳng a làm đường trung trực đợc gọi là phép

đối xứng trục kí hiệu là : Đ a

vậy Đ a : M M'  đoạn MM ' nhận a làm đường trung trực

132: phộp đối xứng tõm:

Trong mặt phẳng cho điểm O phộp biến hỡnh biến điểm M thành điểm M '

sao cho OM OM' O được gọi là phộp đối xứng tõm O

Kớ hiệu :Đ O

Vậy: Đ O :M M'  OM OM' O

133:phộp tịnh tiến:

Trong mặt phẳng cho vộc tơ v khi đú

Phộp biến hỡnh biến M thành điểm M '

sao cho MM ' v được gọi là phộp tịnh tiến theo vộc tơ v

Kớ hiệu ; T v

Vậy : T v : M M'  MM ' v

134:phộp Quay :

Cho gúc lượng giỏc α và một điểm O trong măt phẳng

Phep biến hỡnh biến M thành M ' sao cho OM =OM' và

(OM, OM)=' α được goi là phộp quay tõm O gúc quay α

Kớ hiờụ : Q

O

Vậy Q

O :M M'khi và ch i khi OM=OM' và (OM, OM)= ' α

14: phộp vị tự :

Cho số k và một điểm O trong mặt phẳng

Phộp biến hỡnh biến điểm M thành M' sao cho : OM  k OM' được gọi là phộp vị tự tõm O tỷ số k

Vậy : V) k :M M'  OM  k OM'

15: phép đồng dạng :

Phép biến hình biến M M'và N N'sao cho M' N' = kMN ( với K>0) được gọi là phép đồng dạng tỷ số k

Nhận xét :1) các phép đối xứng trục,phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến ,

phép quay đều là phép dời

2)phép dời , phép vị tự là các trường hợp của phép đồng dạng

16: cácbất biến của phép dời

Định lý 1

Phép dời biến ba điểm thẳng hàng thành ba đểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa các điểm

Chứng minh: xét phép dời f biến A A';B B ;C C'

Và giả sử A,B;C thẳng hàng và B nằm giữa A và C ta có

AB +BC =AC do f bảo toàn khoảng cách nên A' B' =AB;B' C' =BC

,A' C'=AC vậy nên ta có

A' B' +B' C' =A' C ' suy ra A' '

,B' ,C' thẳng hàng và B' nằm giữa A'

và C'

Định lý 2) phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

và không làm thay đổi thứ tự giữa các điểm

Chương 2 : vai trò của các bất biến trong các ánh xạ

ở trường phổ thông

Sau đây chung ta sẽ ứng dụng các bất biến để giải một số bài toán

Bài toán 1: cho hai điểm A và B phân biệt nằm cùng một nửa mặt phẳng

có bờ là đường thẳng x cho trước.Hãy tìm trên đường thẳng x một điểm

M sao cho tổng hai đoạn thẳng MA + MB ngắn

Nhất

Giải : gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng x goi M0 là giao điểm của A' B với x

Ta có : MA + MB = MA' + MB  A'B

Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của A ' B với đường thẳng x

Nhận xét :ở trên ta đã sử dụng bất biến khoảng cách qua phép đối xứng trục nhằm đưa tổng trên về tổng mới dễ đánh giá hơn

Bài toán 2: cho góc nhọn x0y và đường thẳng d cắt oy tại S Hãy dựng

đường thẳng m vuông góc với d cắt o x và Oy lần lượt A và B sao cho A

và B cách đều đường thẳng d

Nhận xét : do A và B cách đều d nên chúng là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục d

Giải

Do A và B cách đều d nên

Đd : B  A

Sx  Sx' mà BSx nên ASx' suy ra

ASx ' Ox

Vậy ta có cách dựng :

-Dựng tia Sx' là ảnh của tia Sx qua phép đối xứng trục d

-khi đó A là giao điểm của Sx với O x

-đường thẳng m cần dựng là đường thẳng đi qua A và vuông góc với d

X

A

B

A

Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng m đó thỏa mãn các điều kiên của bài toán

Bài toán 3:

Cho góc xoy và một điểm A thuộc miền trong của góc đó Hãy dựng

đường thẳng đi qua A cắt o x tại B và cắt oy tại C sao cho A là trung điểm của đoạn BC

Giải:

S

B

A

O

x y

O

A

O C

B

y

X x

Vỡ A là trung điểm của cạnh BC nờn qua phộp đối xứng tõm A thỡ C biến thành B và phộp biến hỡnh này biến Oy thành O' y'

và vỡ COy nờn B

'

' y

O



Vậy nờn B =Oy O'y'

Như vậy ta cú cỏch dựng :

-dựng tai O'y'là ảnh c ủa tia Oy qua phộp đối xứng tõm A

- khi đú B là giao điểm của tia O x với tia O' y's minh

-đường thẳng m cần dựng là đường thẳng đi qua A và B

Ta dễ dàng chứng minh được đường thẳng m như vậy thỏa món yờu cầu bài toài toỏnỏn

Nhận xột : ở bài toỏn ta đó dựa vào bất biến thẳng hàng và bất biến tỷ số

đơn để giải đú là định hướng để quyết định lựa chọn phộp đối xứng tõm

Bài toán 4: cho hai đờng thẳng d và d' cắt nhau và hai điểm A,B không thuộc hai

đờng thẳng đó Hãy tim một điểm M
trên d và một điểm M
'

Trên d' sao cho tứ giác ABM
M
' là một hình bình hành

Nhận xét :

véc tơ MM' có hớng và độ dài bất biến nên ở đây ta sử dụng phép tịnh tiến

Giải :

giả sử dựng đợc hình bình hành ABM
M
' thoả mãn các điều kiên bài toán khi đó M
' là ảnh của M
qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA mặt khác M
' phải nằm trên d

' Do đó ta chỉ cần tìm M
' là giao điểm của d' với đờng thẳng ảnh d " của

d qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA nói tr ên điểm M
thuộc d và đợc xác định sao cho M'M AB.khi đó ta đợc hình bình hành ABM
M
' thoả mãn các điều kiện của bài toán

Bài toán 5 : cho đờng tròn tâm O bán kính R và một điểm M
chạy trên đờng tròn

đó cho một đoạn thẳng AB có các đầu mút A và B không nằm trên đờng tròn đó tìm tập hợp các điêm M
' đỉnh còn lại của hình bình hành ABM
M
' khi M
chạy trên đờng tròn đó

M

M

d

d d

Giải:

Giả sử ta đã có hình bình hành ABM
M
' có đỉnh M
thuộc đờng tròn tâm O cho

tr-ớc

Ta có MM ' AB điểm M
' la ảnh của điểm M
qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA do đó khi M
vẽ nên đờng tròn tâm O , bán kính R thì điểm M
'

sẽ vẽ nên đờng tròn tâm O' bán kính O'M ' R Để tìm O' ta cần dựa vào hệ thức

BA

OO ' vậy tập hợp các điểm M
' là đỉnh còn lại của hình bình hành ABM
M
'

khi M
chạy trên đờng tròn tâm O cho trớc là đờng tròn ảnh của đờng tròn tâm O qua phép tịnh tiến theo véc tơ v  BA

nhận xét : dựa vao bất biến về phơng và độ dài của véc tơ MM' ta quyết định sử dụng phép tịnh tiến theo véc tơ để giải

Bài toán 6: cho hai đờng thẳng song song a và b với một điểm C không thuộc hai

đờng thẳng đó , hãy tìm trên a và b lần lợt hai điểm A,B sao cho ABC là tam giác

đều

Giải:

M

M

Giải sử ta đã dựng đợc tam giác đều ABC thoả mãn các điều kiện của bài toán với phép quay Q

c

3



ta có điểm A biền thành điểm B khi đó đờng thẳng a biến thành đ-ờng thẳng a' cũng đi qua B

Từ đó suy ra cách dựng sau đây:

- dựng đờng thẳng a' là ảnh của a qua phép quay Q

c

3



bằng cách kẻ CH

a

 tại H tìm ảnh của H qua phép quay rồi vẽ a' CH' tại H'

- gọi B là giao điểm của a' với b và lấy A là tạo ảnh của B trong phép quay nói trên ta có a nẳm trên a ta dễ dàng chứng minh đợc ABC là tam giác đều cần dựng

Nhân xét : ở bài toán trên ta sử dụng phép quay vì nhận thấy có CA=C B và

góc ACB luôn có số đo không đổi là 600

Bài toán 7:

Cho tam giác ABC trên cạnh AB và AC ta dựng ra phía ngoài các hình vuông ABM
N và ACPQ

a) chứng minh NC vuông góc với BQ và NC =BQ

b) Gọi M
1 là trung điểm của BC ,chứng minh AM
1 vuông góc với QN và AM

1 =

2

NQ

Giải:

b

a a

A

a) với phép quay Q

A

2



ta biến điểm N thành điểm B, điểm C thành điểm

Q Do đó đờng thẳng NC biến thành đờng thẳng BQ từ đó

NC =BQ

b)gọi B1 là điểm đối xứng của B qua tâm A ta có AM
1 song song với B1C ( do AM
1 là đờng trung bình của tam giác BCB1) Qua phép quay Q

A

2



nói trên điểm C biến thành điểm Q và điêm B 1 biến thành điểm N Do đó đờng thẳng CB1 QN và AM
1 QN

vì NQ =CB1 mà AM
1 =

2

1

CB

nên AM
1=

2

NQ

Bài toán 8:

Cho một điểm M
chuyển động trên một nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Dựng

ra phía ngoài tam giác AM
B một hình vuông M
BCD hãy tìm quỹ tích của dỉnh C khi M
vạch ra nửa đuờng tròn nói trên trên tia B x vuông góc với AB tại B và nằm cùng phía với nửa đờng tròn ,ta lấy điểm O' sao cho BO ' = BO chứng minh OM

C

O'



Giải: theo giả thiết ta có BM
=BC và (BM;BC) =   2k

2 Với phép quay tâm

B ,góc quay

2







 ta có C là ảnh M
Do đó khi M
vạch nửa đờmg tròn đờng

N

M

Q

P

B

C M

A B

kính AB thì C vạch nửa tròn đờng kính A' B với A ' là ảnh của A trong phép quay Q

2





B

Nói trên ta dễ dàng minh đợc đó là quỹ tích của điểm cần tìm nửa đờng tròn này

là ảnh của đờng tròn đờng AB đã cho qua phep quay

Q

2





B qua phép quay Q

2





B điểm M
biến thành điểm C , điểm O biến thành

điểm O' nên ta suy ra OM
O'C



Nhận xét: do góc M
BC luôn là góc vuông và BM
=BC nên ở đây ta sử dụng phép

quay 90o tâm B để giải bài toán này

Bài toán 9:

Cho góc nhọn định hớng Y
OX bằng  và một điểm M
thuộc miền trong góc đó Hãy dựng đờng tròn tâm M
cắt các cạnh O x và OY
theo các dây AB và CD sao cho AB + CD =m cho trớc

Giải :

Gọi  =(OY;OX) (hình vẽ dới đây)

A

O

B

M

x

A

C D

O

gỉa sử ta đã dựng đợc đờng tròn tâm M
cắt O x và OY
theo các dâyAB và CD thoả mạn điều kiện AB + CD = m

Hãy quay dây CD trong phép quay tâm M
với góc quay  ta sẽ có với trí mới của

CD và C' D' song song với AB

Do đó đoạn thẳng nối trung điểm của đoạn AC' và BD' là PQ =

2

CD

AB 

=

2

m

đ-ờng thẳng PQ cắt đđ-ờng trung trực của đoạn AB và C' D'

Là HI' tại R là trung điểm của đoạn PQ ta có RP=RQ =

2

PQ

=

4

m

Từ đó suy ra cách dụng sau :

-quay cạnh Oy một góc  với phép quay tâm M
góc quay ,đờng thẳng này song song với O x

-vẽ qua M
đờng thẳng vuông góc với O x tại H và đờng thẳng song song với O x tại I'

Từ trung điểm R của đoạn HI' ta vẽ đờng song song với O x và trên đờng Rẳng này về hai phía của R ta lấy RP =RQ =

4

m

’t Q v ẽ đờng vuông góc với M
Q tại

Q ,đờng này cắt O x tại B

-vẽđờng tròn đờng bán kính M
B tâm M
ta đợc đờng tròn cần dựng thoả mạn các yêu cầu bài toán

Bài toán 10:

Cho tam giác ABC có góc định hớng tại định là (AB ; AC) thoả mạn điều kiện

O về phía ngoài tam giác ABC ngời ta dựng các tam giác vuông cân ABO và ACO

' có định O và O' Gọi M
là trung điểm của đoạn BC Hãy chứng tỏ tam giác OM
O' vuông cân tại M

Giải:

O

x

y

A

B

M

C

D H

I P

Q

Qua phép quay Q1(O; )

2



điểm B biến thành điểm Avà qua phép quay Q2 (O;

)

2



điểm A biến thành điểm C

Vậy tích của hai phép quay Q2.Q1 cũng là một phép quay Q biến B thành C có góc Quay có góc quay    

2

2 đây là phép đối xứng tâm la trung điểm của

đoạn BC vậy tích của hai phép quay là phép quay tâm M
góc quay là  ta có (OM :OO' )=

4 2







và ( OO' ;O'M)=

4 2

'







suy ra tam giác OM
O' vuông cân tai M
( hình vẽ dới đây)

Bài toán 11: cho tam giác ABC vẽ về phía ngoài của

Tam giác các hình vuông ABDE vACFCG lần lợt có tâm là M
và N Gọi I ;K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn EG và FC chứng minh rằng KM
IN là hình vuông

Giải :

A O

O

M

NhËn xÐt : v× cã m« h×nh cña phÐp quay v× cã AE=AB vµ AC=AG vµ gãc

EAB vµ gãc GAC b»ng 900 nªn ë ®©y ta gi¶i bµi to¸n b»ng phÐp quay t©m A gãc quay 90.0

Bµi to¸n 12:

Cho tam gi¸c ABC cã gãc A nhän dùng ra phÝa ngoµi cña tam gi¸c c¸c h×nh vu«ng ABM
N ,ACPQ ,BCEF

a) chøng minh r»ng BQ b»ng va vu«ng gãc víi CN

b) gäi D lµ trung ®iÓm cña BC vµ K ,H,G theo thø tù lµ t©m cña c¸c h×nh

vu«ng

ABM
N ,ACPQ,BCEF chøng minh tam gi¸c DKH lµ tam gi¸c vu«ng c©n vµ KH vµ

AG b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau

Gi¶i:

F D

A

Víi phÐp quay t©m

A , gãc quay ta cã : M
K // =EC

KN//=BG M
µ EC= BG nªn M
K=KN vµ M
K t¬ng tù ta chøng minh ® îc IM
=IN vµ IM

VËy KM
IN lµ mét h×nh vu«ng

Giác SGH vuông cân tại S xét phép quay tâm S với góc quay   90 0 ta có A

.,G H

K 

 do đó AG =HK và AGHK.

Nhận xét : do có mô hình của phép quay nên ta sử dụng phép quay để giải.cái quan trọng là sự phát hiện ra NC=BQ và NC vuông góc vời BQ đó là mẫu chốt để quyết

định sử dụng phép quay để giải

Bài toán 13:

Cho ba đờng thẳng song song với nhau từng một và một điểm D không thuộc các

đơng thẳng đó Hãy dựng một hình vuông ABCD có ba đỉnh A,B,C năm trên ba đ-ờng thẳng song song đó cho

Giải:

N

M

B

C

A

Q

P

G

K

H

D

xét phép quay tâm

A góc quay 90 ta

có N do đó NC=BQ và NC các

đoạn DK và DH là các đ ờng trung bình của các tam giác BCN và CBQ

mà NC= BQ và NCnên ta suy ra DK= DH

và DK.với S là trung điểm của

AB ,chứng minh t

ơng tự ta có tam

Giả sử có ba đường thẳng a,b ,c song song với nhau qua phép quay tâm

D với góc quay   90 0 ta có C biến thành A dựng c' là ảnh của c qua phép quay trên ta tìm được điểm A là giao của c ' và a

Sau khi tìm được A ,ta dễ dàng tìm được B v à C và dựng được hình

vuông ABCD với phép quay tâm D và góc quay    90 0 ta dựng được hình vuông A1B1C1D

Bài toán 14:

Cho góc xoy và một điểm A nằm trong góc đó Hãy dựng đường tròn đi qua A và đồng thời tiếp xúc với hai cạnh o x và oy

Giải :

Giả sử ta dựng được đường tròn tâm I đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh

O x và oy

Tâm I của đường tròn phải nằm trên đường phân giác của góc x0y

Ta hãy dựng đường tròn tâm I' cũng tiêp xúc với o x và oy như vậy O là tâm vi tự ngoài của đường tròn tâm I và I' ta suy ra cách dựng như sau:

b

a

C

A

D

C

B B

A

c

Nhận xét : ví dựng đường tròn I ' dễ hơn và nếu biết đường tròn I' thì sẽ

vẽ được đường tròn tâm I do đó ta chuyển về dựng đường tròn I' trước rồi làm cơ sở để dựng I

Bài toán 15: Hãy dựng một hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường

tròn cho trước và hai đỉnh còn lại năm trên đường kính của nửa đường tròn đó

Giải :

A

O

I I

-dựng một đường tròn tâm Isao cho tiếp xúc với o x

và oy -gọi A là một trong hai giao điểm của tia OA với đường tròn tâm I

-thực hiên phép vị tự tâm

O tỷ số vị tự k= thì đường tròn Ibiến thành đường tròn tâm I cần dựng thỏa mãn các điều kiện bài toán

Vì tia OA luôn cắt đường tròn tâm Itại hai điểm phân biệt nên bài toán luôn có hai nghiệm hình