Hãy tìm tất cả các số tự nhiên m để dãy số trên chứa nhiều số nguyên tố nhất.. Bài 5 4 điểm: Hội khoẻ Phù Đổng tỉnh Hà Nam lần thứ nhất có 495 vận động viên là học sinh trong toàn tỉnh v
Trang 1Năm học 1999-2000
Bài 1 (3 điểm):
Tìm phân số lớn hơn
17
4 , nhỏ hơn
17
6 và có mẫu số bằng 20
Bài 2 (5 điểm):
Tìm các cặp số tự nhiên thảo mãn: Tổng của chúng bằng 240 và ớc chung lớn nhất của chúng bằng 12
Bài 3 (4 điểm):
Một ngời đã cắt từ một sợi dây dài
3
2 mét lấy một đoạn dây dài 25 cm mà không phải dùng thớc để đo Hỏi ngời đó đã làm nh thế nào
Bài 4 (4 điểm):
Cho dãy số m+1, m+2, , m+10, với m là số tự nhiên
Hãy tìm tất cả các số tự nhiên m để dãy số trên chứa nhiều số nguyên tố nhất
Bài 5 (4 điểm):
Hội khoẻ Phù Đổng tỉnh Hà Nam lần thứ nhất có 495 vận động viên là học sinh trong toàn tỉnh về tham gia thi đấu các môn thể thao
Chứng minh rằng ít nhất có 2 vận động viên có số ngời quen nh nhau (Ngời A quen
ng-ời B thì ngng-ời B cũng quen ngng-ời A)
Trang 2Hớng dẫn chấm thi
Bài 1: Gọi phân số phải tìm là
20
a , a là số tự nhiên
17
4 <
20
a <
17
6
80 < 17a < 120
5 < a < 7 => a = 6
Bài 2:
Gọi số phải tìm là a, b Giả sử a ≤ b
ƯCLN (a,b) = 12 ta có a = 12a1 và b = 12b1
Trong đó ƯCLN (a1,b1) = 1
Ta có: a + b = 240 = 12 (a1 + b1)
a1 + b1 = 20 Kết hợp với ƯCLN (a1,b1) = 1 ta có:
Thay vào ta tính đợc:
Kết luận:
Bài 3:
- Nhận xét đợc:
6
1 2
1 3
2 − =
Mà
3
2 4
1 6
1
⋅
=
- Nhận xét đợc:
2
1 2
1 4
1 = ⋅
- Nhận xét đợc
2
1 chính là phép chia dôi sợi dây
- Nhận xét đợc 25 cm chính là 0,25 m =
4
1 sợi dây
- Kết luận
Bài 4:
+ m = 0 ta có dãy số: 1; 2; 3; 4; ; 10 Trong dãy này có 4 số nguyên tố
+ m = 1 ta có dãy số: 2; 3; 4; ; 11 Trong dãy này có 5 số nguyên tố
+ m = 2 ta có dãy số: 3; 4; 5; ; 12 Trong dãy này có 4 số nguyên tố
+ m ≥ 3 trong dãy luôn chứa 5 số lẻ liên tiếp, các số lẻ này đều lớn hơn 3 nên phải có 1
số lẻ là bội của 3 do đó nó không là số nguyên tố Vậy m ≥ 3 thì trong dãy có ít hơn 5 số nguyên tố
Do đó m = 1là số phải tìm Khi đó ta có 5 số nguyên tố
Bài 5:
Giả sử có 1 ngời không quen ai trong số 495 vận động viên
Nh vậy 494 ngời còn lại có nhiều nhất là 493 ngời quen
Trang 3Ta chia thành nhóm số ngời quen:
Nhóm 0 ngời quen gồm những ngời có số ngời quen bằng 0 Nhóm 1 ngời quen gồm những ngời có số ngời quen bằng 1
Nhóm 493 ngời quen gồm những ngời có số ngời quen bằng 493
Nh vậy ta có 494 nhóm (từ 0 đến 493) Mà có 495 ngời
Vậy theo nguyên tắc Dirichlet ít nhất có 1 nhóm ngời quen gồm 2 hay ít nhất có 2 ngời
có số ngời quen giống nhau
Giả sử có 1 ngời quen tất cả những ngời còn lại Nh vậy 494 ngời còn lại có nhiều nhất
là 494 ngời quen
Chia nhóm ngời quen: Có 494 nhóm ngời quen (từ 1 đến 494)
Kết luận