Những sai lầm thờng gặp khi biến đổi biểu thức chứa căn thức GV:Tạ Quang Hng Trờng THCS Nghĩa Hng -Vĩnh Tờng-Vĩnh Phúc.. Khi giải toán không ít lần chúng ta mắc phải những sai lầm th
Trang 1Những sai lầm thờng gặp khi biến
đổi biểu thức chứa căn thức
GV:Tạ Quang Hng
Trờng THCS Nghĩa Hng
-Vĩnh Tờng-Vĩnh Phúc Khi giải toán không ít lần chúng ta mắc phải những sai lầm thiếu sót đáng tiếc Nhng chúng ta không đợc nản lòng trong những trờng hợp nh vậy mà luôn phải tự mình suy nghĩ ,phân tích tìm ra lí do dẫn đến những sai lầm đó và tìm cách khắc phục để đi đến đợc lời giải đúng,đồng thời phải ghi nhớ tránh mắc phải những sai lầm tơng tự khi giải các bài toán khác.Phát hiện sai lầm trong lời giải của bài toán cũng là một cách học hay giúp chúng ta củng cố ,khắc sâu kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải toán chính xác hơn
Trong bài viết này tôi muốn trao đổi cùng các bạn học sinh lớp 9 một số
“những sai lầm thờng gặp khi biến đổi biểu thức chứa căn thức” thông qua một vài ví dụ dới đây
Trớc hết ,đề nghị các bạn hãy đọc và phát hiện ra những sai lầm trong các lời giải của các ví dụ sau
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức :
A= ( )
x x
x x
2
8
2 2
−
−
+
Với x > 0 , x ≠ 2
Lời giải
Ta có : A= ( )
x x
x x
2
8
2 2
−
−
+
2
2 2
8 4
2
−
−
=
−+ −
+
x
x x
x x
x x
x
= ( )
2
2
−
−
x
x
Vậy biểu thức rút gọn của A= x
Ví dụ 2: Cho biểu thức :
B =
a
a ab a
a) Tìm điều kiện đối với a,b để biểu thức A đợc xác định
b) Rút gọn biểu thức B
Trang 2Lời giải :
a) Điều kiện để biểu thức B xác định là :
≥ 0
a b
a.b ≥ 0 ⇔ a.b ≥ 0
a2 ≥ 0 a ≠ 0
a ≠ 0
b) Với điều kiện a.b ≥ 0, a ≠ 0 ta có:
B =
a
a ab a
b − − 2 =
a
a a
ab a
+
−
2
2
−
a
b a
b a
a a
ab a
b
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức :
C=
9 6
2
9 2
3
2
2
− +
−
− +
+
x x
x
x với |x| > 3
Lời giải :
Ta có : C =
9 6
2
9 2
3
2
2
− +
−
− +
+
x x
x
2
3 3 2
) 3 (
2 2
+
− +
−
+
− +
+
x x
x
x x
x
= ( )
3
3 2 3 3
+ +
−
−
− + + +
x x
x
x x
3
9 3
−
−
=
−
+
x
x x
Vậy biểu thức rút gọn của C=
3
9 2
−
−
x
x Bây giờ chúng ta cùng đi phân tích và tìm ra những sai lầm của lời giải của các
ví dụ trên
1) Trong ví dụ 1: nếu thay giá trị x =1 vào biểu thức ban đầu ta đợc:
A= ( ) 1
1 1 1
2 1
8 9 1
2 1
1 8 2
1 2
−
=
−
=
−
−
=
−
− +
và thay vào biểu thức thu gọn ta đợc:
A= 1=1
Nh vậy giá trị của biểu thức ban đầu và biểu thức thu gọn lại khác nhau , chứng tỏ đã biến đổi sai lầm ở một bớc nào đó
Nếu nhìn kĩ các bạn sẽ thấy ngay sai lầm ở chỗ thừa nhận : (x−2)2 = x−2
Trang 3Ta biết rằng : D2 = D
+) D2 =D nếu D ≥ 0
+) D2 =−D nếu D < 0
Do đó : (x−2)2 =|x−2|
Nhng với điều kiện đề bài x>0, x≠ 2 ta có:
Nếu x > 2 thì | x-2 | =x-2 khi đó (x−2)2 = x−2.
Nếu 0 <x <2 thì |x-2|=-(x-2)=2-x khi đó (x−2)2 =2−x.
Nh vậy lời giải đúng sẽ là từ A= ( )
2
.
2 2
−
−
x
x
2
.
| 2
|
−
−
x
x
x ta có:
• Nếu x>2 thì A= ( )
2
2
−
−
x
x x
= x
• Nếu 0 <x < 2 thì A= ( ) x
x
x x
−
=
−
−
2
2
2) Trong ví dụ 2: Dễ thấy sai lầm ở phần b).chẳng hạn thay: a =-1 , b = 0 vào biểu thức ban đầu ta có : B= 0- ( ) 1
1
1
−
=
−
−
− ,giá trị này khác 1,do đó
lời giải trên sai Chúng ta biết rằng: 2
|
A B
B
A B
A = nếu B > 0
B
A B
A
−
= nếu B < 0
Nh vậy lời giải trên chỉ đúng trong trờng hợp a > 0, còn thiếu trong trờng hợp a
< 0 Do đó dẫn đến mâu thuẫn ở trên
Lời giải đúng:
Từ điều kiện để B xác định là a.b ≥ 0, a ≠ 0 ta cần xét 2 trờng hợp:
TH1: a > 0,b ≥ 0 Khi đó lời giải nh phần b)
TH2: a < 0, b ≤ 0 ,ta có :
B =
a
a ab a
b − − 2 =
a
a a
ab a
+
a
a a
ab a
2
= + −1=2 −1
a
b a
b a
Trang 43)Trong ví dụ 3: Theo bài ra |x| >3 ⇔ x < -3 hoặc x >3.
Nh vậy,biến đổi biểu thức nh ở ví dụ 3 nh trên chỉ đúng với x >3 ,còn
với x < -3 thì ta không thể viết x+3=( x+3)2 và x2 −9 = x+3. x−3 nên biến đổi nh thế là sai
Chúng ta biết rằng:
+) A=( )2
A khi A ≥ 0 +) A.B = A. B khi A ≥ 0, B ≥ 0
Để lời giải đúng thì ta cân xét thêm trờng hợp x< -3 và biến đổi nh sau: Với x<-3 thì x+3 < 0 nên -x-3> 0
x-3 <0 nên 3-x > 0
khi đó : x2-9 = (x-3)(x+3) = (3-x)(-x-3)
Do đó : C = ( )
2
3
3 2 3 2 2
−
−
− +
−
−
−
−
− +
−
−
−
x x x
x x
3
3 2 3 3
−
− +
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
x x
x
x x
=
3
9 3
) 3 )(
3 ( 3
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
x
x x
x x
x
x
Qua những ví dụ trên tôi muốn nhắc nhở với các bạn học sinh lớp 9 hãy cẩn trọng khi biến đổi những biểu thức chứa căn thức Mong các bạn không mắc phải những sai lầm tơng tự,
Chúc các bạn thành công