Kinh nghiệm phát triển bài toán vận dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức vào giải toán lớp 7.. Việc vận dụng kiến thức này vào giải toán cho từng đối tợng học sinh nh thế nào và có thể k
Trang 1Kinh nghiệm
phát triển bài toán vận dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ
thức vào giải toán lớp 7
_
Một trong những kiến thức cơ bản quan trọng của Chơng trình Đại số lớp 7
là "Khái niệm tỉ lệ thức - Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức" Việc vận dụng kiến thức này vào giải toán cho từng đối tợng học sinh nh thế nào và có thể khai thác các bài toán ở sách giáo khoa ra sao? Qua giảng dạy môn Toán lớp 7, tôi có một vài kinh nghiệm về vấn đề này nh sau:
I Về kiến thức cơ bản cần khắc sâu cho học sinh.
1 Định nghĩa
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
d
c b
a = hay a : b = c : d Trong đó a, b,
c, d là các số hạng của tỉ lệ thức
a, d là ngoại tỉ; b, c là trung tỉ
2 Tính chất.
* Nếu
d
c b
a = thì ad = bc
* Nếu ad = bc và a, b, c, d ? 0, Thì ta có các Tỉ lệ thức:
d
c b
a
=
; d
b c
a
=
c b
d
=
; a
b c
d
=
3 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
f d b
e c a f
d b
e c a f
e d
c b
a
+
−
+
−
= + +
+ +
=
=
=
(Giả thiết các Tỉ số đều có nghĩa)
II Vận dụng kiến thức cho từng đối tợng học sinh.
A Với học sinh trung bình: Chỉ yêu cầu các em làm bài tập vận dụng ở
SGK và sách bài tập Chẳng hạn:
Bài 1: Từ Tỉ lệ thức
d
c b
a
= với a, b, c, d ? 0, ta có thể suy ra:
A
a
c b
d = ; B
a
b c
d = ; C
b
c d
a = ; D
d
b c
a =
Phơng án nào đúng, phơng án nào sai ?
Trang 2Bài 2: Điền số thích hợp vào ô trống:
a)
5
2
c) 1,5 : 0,3 = : (-15); d) :
2
1 3 2
1 : 4
3
1 = Bài này với học sinh yếu kém chỉ yêu cầu các em làm đợc câu a và câu b Bài 3: Lập các Tỉ lệ thức có đợc từ các số sau 5; 10 ; 15 ; 30
Bài 4: Tìm hai số x , y biết:
3 2
y x
= và x + y = 30
Bài 5: Tìm các số a , b , c , d biết rằng:
a : b : c : d = 3 : 4 : 5 : 6 và a + b + c + d = 3,6
B Với đối tợng học sinh khá, giỏi.
Ngoài những bài toán ở SGK và bài toán cho học sinh trung bình, phát triển thêm các bài toán sau:
Bài 1: Cho a, b, c, d ≠ 0, Từ Tỉ lệ thức
d
c b
a = hãy suy ra
c
d c a
b
a± = ±
Với điều kiện học sinh khá, giỏi, ngoài việc giải đợc, mà còn yêu cầu các em có các cách giải khác nhau Chẳng hạn:
Cách 1: Từ
d
c b
a = => ad = bc
=> ac bc = ad ac± ±
=> c (a b) = a (c d)± ± =>
c
d c a
b
a± = ±
Cách 2: Đặt k
d
c b
a = = => a = kb
c = kd
Từ
k
k kb
k b kb
b kb a
b
a± = ± = .( ± 1 ) = + 1
(1)
k
k kd
k d kd
d kd a
d
c+ = ± = .( ± 1 ) = + 1
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
c
d c a b
a± = ±
Trang 3Bài 2: Chứng minh rằng Từ Tỉ lệ thức
d
c b
a
=
( a - b ≠ 0 và c - d ≠ 0 )
ta có thể suy ra đợc tỉ lệ thức
d c
d c b a
b a
−
+
=
−
+
Giải:
Cách 1: Đặt
d
c b
a
= = k => a = bk, c = dk vì a - b ≠ 0 và b ≠ 0 => kb - b ≠ 0 và kd - d ≠ 0 => b (k - 1) ≠ 0 => k ≠ 1
Từ a a−+b b = kb kb−+b b = b b((k k−+11)) = k k−+11 (1)
Từ c c−+d d = kd kd−+d d = d d((k k−+11)) = k k−+11 (2)
Từ (1) và (2) tà có
d c
d c b a
b a
−
+
=
− +
Cách 2: Từ
d
c b
a = => ad = bc
Do đó a a−+b b = d d((a a−+b b)) = ad ad−+bd bd = bc bc−+bd bd =b b((c b−+d d)) = c c−+d d
Bài toán 3: (Là bài toán đảo của bài 2)
Chứng minh rằng Từ tỉ lệ thức
d c
d c b a
b a
−
+
=
−
+
? 1
Ta suy ra tỉ lệ thức
d
c b
a =
Giải:
Cách 1: Đặt
d c
d c b a
b a
−
+
=
−
+
= k ≠ 1
=> a + b = k (a - b) và c + d = k (c - d)
=> (1 + k) b = (k - 1) a
và (1 + k) d = (k - 1) c
Với K ≠ 1 Thì b≠ 0 và c ≠ 0 ta có
d
c k
k
b
−
+
=
1 1
Trang 4C¸ch 2:
d c
d c b a
b a
−
+
=
−
+
≠ 1
=> a b± => a ≠ 0 ; b ≠ 0
c ≠ d± => c ≠ 0 ; d ≠ 0
<=> (a + b) (c - d) = (c + d) (a - b)
<=> ac - ad + bc = bd = ac + ad - bc - bd
<=> - ad + bc = ad = bc
<=> 2bc = 2ad
<=> bc = ad
<=>
d
c b
a =
Ph¸t triÓn bµi to¸n 4
Chøng minh r»ng tõ TØ lÖ thøc
d
c b
a = , ta cã thÓ suy ra:
qd pc
qd pc qb pa
qb pa c
qd pc a
qb
pa
−
+
=
−
+ +
=
=
;
Chøng minh:
§Æt
d
c b
a = = k => a = bk
c = dk
Tõ
k
q pk bk
q pk b bk
qb pbk c
ab
(1)
k
q pk dk
q pk d dk
qd pdk c
qd
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã
c
qd pc a
qb
T¬ng tù:
Tõ Pa pa−+qb qb = pbk pbk−+qb qb = b b((pk pk−+q q)) = pk pk−+q q (3)
vµ pc pc−+qd qd = pdk pdk+−qd qd = d d((pk pk−+q q)) = pk pk−+q q (4)
Tõ (3) vµ (4) ta cã: pa pa−+qb qb = pc pc−+qd qd
Trang 5TiÕp tôc ph¸t triÓn thªm:
Bµi to¸n 5:
Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc
d
c b
a
= , ta cã thÓ suy ra tØ lÖ thøc:
k k
k k
k k
k k
nd mc
qd pc
nb ma
qb
pa
+
+
= +
+
Gi¶i: §Æt
d
c b
a = = t => a = bt
c = dt
Tõ
n mt
q pt n
mt b
q pt b nb t
mb
qb t
pb nb
ma
qb pa
K
k k
k
k k k k
k
k k
k k
k
+
+
= +
+
= +
+
= +
+
) (
) (
(1)
n mt
q pt n
mt d
q pt d nd
t md
qd t
pd nd
mc
ad pc
K
k k
k
k k k
k k
k k
k k
k k
+
+
= +
+
= +
+
= +
+
) (
) (
(2)
Tõ (1) vµ (2) =>
k k
k k
k k
k k
nd mc
qd pc
nb ma
qb pa
+
+
= +
+
* øng dông To¸n vËn dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau, cã thÓ ph¸t triÓn t duy cho häc sinh giái b»ng mét sè bµi sau:
Bµi 1: ×m a, b, c biÕt 3a = 2b; 5b = 4c vµ 42 + 3a - 5b + c = 0
Gi¶i:
Tõ 3a = 2b =>
12 8 3 2
b a b
a = ⇒ = (1)
5b = 4c =>
15 12 5
4
c b c b
=
⇒
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
15 12 8
c b a
=
=
Tõ 42 + 3a - 5b + c = 0 => 3a - 5b + c = - 42
Theo tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:
2 21
42 15
60 24
5 3 15 60
5 24
3 15 12
−
−
= +
−
+
−
=
=
=
=
=
a
=> a = 8 2 = 16
b = 12 2 = 24
c = 15 2 = 30
Trang 6Bài 2: Tìm x, y, z biết
z y x
5
1 4
3 3
2 = = và 2x + 4Z - 42 = 3y
Giải:
5
6 4
3 3
2 = = =>
6
1 5
6 6
1 3
4 6
1 3
2
Z y
5 8 9
Z y
x = =
Từ 2x + 4Z - 52 = 3y
=> 2x - 3y + 4Z = 42
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3 14
42 20 24 18
4 3 2 20
4 24
3 18
2 5 8
+
−
+
−
=
=
=
=
=
x
=> x = 9 3 = 27
y = 8 3 = 24
z = 5 3 = 15
hoặc có thể phát triển thêm:
Bài 3: Tìm các số a, b, biết
200
13 3
b a b a b
a− = + =
Giải:
Từ
8 13
3 200
13 3
a b a b a b a b a b
+
+ +
−
=
=
+
=
−
=>
25
200
8 8
8 200 8
b a a ab a ab
a
=
⇒
=
⇒
=
=> 1
25b = => b = 25
13 3
b a b
a− = +
=> 13 (a - b) = 3 (a + b)
=> 13a - 13b = 3a + 3b
=> 13a - 13 25 = 3a + 3 25
=> 13a - 325 = 3a + 75
=> 10a = 400
a = 40 Vậy a = 40 ; b = 25
Ngoài ra ta có thể phát triển nhiều bài toán khác
Tóm lại: Việc khai thác các bài toán ở sách giáo khoa là nhằm khắc sâu
kiến thức; đồng thời rèn luyện t duy sáng tạo, phát huy trí tuệ, kích thích sự khám
Trang 7phá ở học sinh; đó chính là mục tiêu của việc đổi mới phơng pháp dạy và học hiện nay./