BÀI TẬP CHƯƠNG III.
Trang 1BÀI TẬP CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1: giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp 3 bước:
1/
398 , 1 04 , 1 12 , 0 11
,
0
849 , 0 05 , 0 03 , 1 11
,
0
795 , 0 1 , 0 05 , 0 02
,
1
z y
x
z y
x
z y
x
(*) Giải:
(*)
04 , 1
398 , 1 0 04 , 1
12 , 0 04 , 1
11 ,
849 , 0 03 , 1
05 , 0 0 03 , 1
11 ,
795 , 0 02 , 1
1 , 0 02 , 1
05 , 0 0
z y x
z
z y
x y
z y
x x
Gọi α=
0 04 , 1
12 , 0 04
,
1
11
,
05 , 0 0 03
,
1
11
,
1 , 0 02 , 1
05 , 0 0
và β =
04 , 1
398 ,
11,03
849 ,
01,02
795 , 0
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là <1,
Vì = max (0,147, 0,155, 0,221) = 0,221 <1
Nên thỏa điều kiện
Vậy (*) có thể viết là X = X + β
Chọn X 0
= β =
04 , 1
398 ,
11,03
849 ,
01,02
795 , 0
Khi đó ta có :
= X0+ β =
521777 ,
1
972764 ,
0
951605 ,
0
, tương tự ta có X 2
=
557123 ,
1
999772 ,
0
976290 ,
0
Trang 2X 3
=
562951
,
1
004124
,
1
981079
,
0
Vậy nghiệm của hpt:
x= 0,981079
y= 1,004124
z= 1,562851
2/
8 , 16 2 , 7 5 ,
1
2
,
1
55 , 10 5 , 1 5 , 5
2
,
2
55 , 16 2 , 1 2 ,
2
1
,
6
z y
x
z y
x
z y
x
(*) với X0
=
5 , 2 2
5 , 1
Giải:
(*)
2 , 7
8 , 16 0 2 , 7
5 , 1 2 , 7
2 ,
55 , 10 5 , 5
5 , 1 0 5 , 5
2 ,
55 , 16 1 , 6
2 , 1 1 , 6
2 , 2 0
z y x
z
z y
x y
z y
x x
Gọi α=
0 2
, 7
5 , 1 2
,
7
2 ,
5 , 1 0
5
,
5
2 ,
2 , 1 1
, 6
2 , 2 0
và β =
2 , 7
8 ,
165,5
55 ,
106,1
55 , 16
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là <1
Vì = max ( 0,557;0,672;0,375) = 0,672 < 1
Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X = X + β
với X 0
=
5 , 2 2
5 , 1
= X0+ β =
5 , 2 2
5 , 1
=
5
,
2
2
5
,
1
và hiển nhiên X 3
=
5 , 2 2
5 , 1
Vậy nghiệm của hpt là: x= 1,5 ; y=2; z= 2,5
Bài 2: giải hệ phương trình sau bằng phương pháp seidel qua 3 bước:
Trang 31/
2 , 1 1
,
0
1
,
0
2 , 1 1 , 0 1
,
0
2 , 1 1 , 0 1
,
0
z y x
z y
x
z y
x
(*) với X 0
=
0 0 0
(*)
2 , 1 0 1 , 0 1 , 0
2 , 1 1 , 0 0 1 , 0
2 , 1 1 , 0 1 , 0 0
z y x
z
z y
x y
z y
x x
Gọi
0 1 , 0 1 , 0
1 , 0 0
1 , 0
1 , 0 1 , 0 0
2 , 1
2 , 1
2 , 1
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là <1
Vì = max( 0,2 ,0,2 ,0,2) = 0,2 < 1 nên thỏa điều kiện hội tụ
Vậy (*) có thể viết là X = X + β với X 0
=
0 0 0
972 , 0 2 , 1 0 1 , 0 1
,
0
08 , 1 2 , 1 1 , 0 0 1
,
0
2 , 1 2 , 1 1 , 0 1 , 0 0
0 1 1
1
0 0
1 1
0 0
0
1
z y x
z y
x
y
z y
x
x
=
972 , 0
08 , 1
2 , 1
00018 , 1 2 , 1 0 1 , 0 1
,
0
00332 , 1 2 , 1 1 , 0 0 1
,
0
9948 , 0 2 , 1 1 , 0 1 , 0 0
1 2 2
2
1 1
2 2
1 1
1
2
z y x
z y
x
y
z y
x
x
=
00018 ,
1
00332 ,
1
9948 , 0
000033 ,
1 2 , 1 0 1 , 0 1
,
0
000016 ,
1 2 , 1 1 , 0 0 1
,
0
9996492 ,
0 2 , 1 1 , 0 1 , 0 0
2 3 3
3
2 2
3 3
2 2
2
3
z y x
z y
x
y
z y
x
x
=
000033 ,
1
000016 ,
1
9996492 ,
0
Vậy nghiệm của hpt là :
000033 ,
1
000016 ,
1
9996492 ,
0
z y x
2/
8 , 16 2 , 7 5 ,
1
2
,
1
55 , 10 5 , 1 5 , 5
2
,
2
55 , 11 2 , 1 2 ,
2
1
,
6
z y
x
z y
x
z y
x
(*) với X 0
=
5 , 2 2
5 , 1
Trang 4(*)
2 , 7
8 , 16 0 2 , 7
5 , 1 2 , 7
2 ,
55 , 10 5 , 5
5 , 1 0 5 , 5
2 ,
55 , 16 1 , 6
2 , 1 1 , 6
2 , 2 0
z y x
z
z y
x y
z y
x x
Gọi α=
0 2
, 7
5 , 1 2
,
7
2 ,
5 , 1 0
5
,
5
2 ,
2 , 1 1
, 6
2 , 2 0
và β =
2 , 7
8 ,
165,5
55 ,
106,1
55 , 16
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là <1
Vì = max ( 0,557,0,672,0,357) = 0,672 < 1
Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X = X + β
5 , 2 2 , 7
8 , 16 0
2 , 7
5 , 1 2
,
7
2
,
1
2 5 , 5
55 , 10 5
, 5
5 , 1 0 5
,
5
2
,
2
5 , 1 1 , 6
55 , 16 1
, 6
2 , 1 1
, 6
2 , 2 0
0 1 1
1
0 0
1 1
0 0
0
1
z y x
z y
x y
z y
x
x
z
hay X1
=
5 , 2 2
5 , 1
Tương tự ta có X 2
=
5 , 2 2
5 , 1
và hiển nhiên X3
=
5 , 2 2
5 , 1
Nên nghiệm của hpt là: x= 1,5 ; y=2; z= 2,5
Bài 3 : Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với
5
n
n x
1/
398 , 1 04 , 1 12 , 0 11
,
0
849 , 0 05 , 0 03 , 1 11
,
0
795 , 0 1 , 0 05 , 0 02
,
1
z y
x
z y
x
z y
x
(*)
(*)
04 , 1
398 , 1 0 04 , 1
12 , 0 04 , 1
11 ,
849 , 0 03 , 1
05 , 0 0 03 , 1
11 ,
795 , 0 02 , 1
1 , 0 02 , 1
5 , 0 0
z y x
z
z y
x y
z y
x x
Trang 5Gọi α=
0 04 , 1
12 , 0 04
,
1
11
,
05 , 0 0 03
,
1
11
,
1 , 0 02 , 1
5 , 0 0
và β =
04 , 1
398 ,
11,03
849 ,
01,02
795 , 0
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là <1
Vì = max ( 0,147059; 0,155340; 0,221154) = 0,221154 < 1
Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X = X + β
Chọn X 0= β=
04 , 1
398 ,
11,03
849 ,
01,02
795 , 0
1
X = X0+ β =
521777 ,
1
972764 ,
0
951605 ,
0
tương tự ta có X2 =
557123 ,
1
999772 ,
0
976290 ,
0
3
X =
562951
,
1
004124
,
1
981079
,
0
6
X =
564062
,
1
005069
,
1
982015
,
0
, X7 =
564067 ,
1
005073 ,
1
982019 ,
0
Khi đó X 6 X7 =
6 6 6
10 5
10 4
10 4
vì X6 X7 < 10 5
Nên nghiệm gần đúng của phương trình là
564067 ,
1
005073 ,
1
982019 ,
0
z y x
(*) Đánh giá sai số :
*
7 X
1 X6 X7 =0,12211540,221154.5.10 6
= 1,419754 10 6
Trang 62/
8 , 16 2 , 7 5 ,
1
2
,
1
55 , 10 5 , 1 5 , 5
2
,
2
55 , 16 2 , 1 2 ,
2
1
,
6
z y
x
z y
x
z y
x
(*)
(*)
2 , 7
8 , 16 0 2 , 7
5 , 1 2 , 7
2 ,
55 , 10 5 , 5
5 , 1 0 5 , 5
2 ,
55 , 16 1 , 6
2 , 1 1 , 6
2 , 2 0
z y x
z
z y
x y
z y
x x
Gọi α=
0 2
, 7
5 , 1 2
,
7
2 ,
5 , 1 0
5
,
5
2 ,
2 , 1 1
, 6
2 , 2 0
và β =
2 , 7
8 ,
165,5
55 ,
106,1
55 , 16
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là <1
Vì = max ( 0,557377; 0,672727; 0,375) = 0,672727 < 1 Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X = X + β
Chọn X 0= β=
2 , 7
8 ,
165,5
55 ,
106,1
55 , 16
1
X = X0+ β =
280769 ,
2
469299 ,
1
562295 ,
1
tương tự ta có X2 =
379055 ,
2
915292 ,
1
734528 ,
1
3
X =
443264
,
2
873204
,
1
554343
,
1
, X4=
464527 ,
2
962789 ,
1
556891 ,
1
Trang 7
499988
,
2
999982
,
1
500016
,
1
, X18=
499993 ,
2
999990 ,
1
500009 ,
1
Khi đó X 18 X17 =
6 6
10 5
10 8
10 7
vì
17
18 X
X = 8.10 6 < 10 5
Nên nghiệm gần đúng của hệ phương trình là
x= 1,500009 ;y= 1,999990; z= 2,499993
(*) Đánh giá sai số :
*
18 X
1 X18 X17 = 1,644442.10 5
3/
78 , 2 21 , 1 14 , 0 25
,
0
555 , 1 15 , 0 13 , 1 41
,
0
515 , 0 3 , 0 25 , 0 02
,
1
z y
x
z y
x
z y
x
(*)
(*)
21 , 1
78 , 2 0 21 , 1
14 , 0 21 , 1
25 ,
555 , 1 13 , 1
15 , 0 0 13 , 1
41 ,
515 , 0 02 , 1
3 , 0 02 , 1
25 , 0 0
z y x
z
z y
x y
z y
x x
Gọi α=
0 21 , 1
14 , 0 21
,
1
25
,
15 , 0 0 13
,
1
41
,
3 , 0 02 , 1
25 , 0 0
và β =
21 , 1
78 ,
21,13
555 ,
11,02
515 , 0
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là <1
Vì = max (0,539215; 0,495575; 0,322314) = 0,539215 < 1
Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X = X + β
Chọn X 0= β=
21 , 1
78 ,
2,13 1
555 ,
11,02
515 , 0
khi đó X1= X0+ β =
561058 ,
2
864281 ,
1
517924 ,
1
tương tự ta có X2 =
826843 ,
2
266821 ,
2
715086 ,
1
Trang 8X =
914154
,
2
373639
,
2
891920
,
1
, X4=
963049 ,
2
449389 ,
2
943780 ,
1
15
999993
,
2
499991
,
2
999991
,
1
, X16=
999997 ,
2
499996 ,
2
999996 ,
1
Ta có : X 16 X15=
6 6 6
10 4
10 5
10 5
vì X16 X15 = 5.10 6 < 10 5
Nên nghiệm gần đúng của hpt là :
999997 ,
2
499996 ,
2
999996 ,
1
z y x
(*) Đánh giá sai số :
*
16 X
1 X16 X15 = 5,851048.10 6
4/
11 4 2
3 2 5
2
8 4
z y
x
z y
x
z y
x
(*)
(*)
75 , 2 0 5 , 0 25 , 0
6 , 0 4 , 0 0 4 , 0
2 25 , 0 25 , 0 0
z y x
z
z y
x y
z y
x x
Gọi
0 5 , 0 25 , 0
4 , 0 0
4 , 0
25 , 0 25 , 0 0
75 , 2
6 , 0
2
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là <1
Vì = max( 0,5 ;0,8 ;0,75) = 0,8 < 1 nên thỏa điều kiện hội tụ Vậy (*) có thể viết là X = X + β
Chọn X 0=
75 , 2
6 , 0
2
khi đó X1= X0+ β =
95 , 1
3 , 1
4625 , 1
tương tự ta có X2 =
034375 ,
3
765 , 0
1875 , 1
3
X =
835625
,
2
08875
,
1
050156
,
1
, X4=
031836 ,
3
954313 ,
0
018906 ,
1
Trang 9
000005
,
3
999995
,
0
0000002
,
1
, X17=
999998 ,
2
000002 ,
1
999999 ,
0
Ta có : X 17 X16=
6 6 6
10 7
10 7
10 3
vì X17 X16 = 7.10 6 < 10 5
Nên nghiệm gần đúng của hpt là :
999998 ,
2
000002 ,
1
999999 ,
0
z y x
(*) Đánh giá sai số :
*
17 X
1 X17 X16 = 0,81.7.010,8 6
= 2,8 10 5
5/
9 3
5 4
2
9 2 4
z y
x
z y
x
z y
x
(*)
(*)
3 0 3
1 3 1
25 , 1 25 , 0 0 5 , 0
25 , 2 5 , 0 25 , 0 0
z y x z
z y
x y
z y
x x
Gọi
0 3
1 3
1,5 0 0,25
0
5 , 0 25 , 0 0
3
25 , 1
25 , 2
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là <1
Vì = max( 0,75 ;0,75 ;32) = 0,75 < 1 nên thỏa điều kiện hội tụ Vậy (*) có thể viết là X = X + β
Chọn X0=
3
25 , 1
25 , 2
khi đó X1= X0+ β =
3
10,625 1
0625 , 1
tương tự ta có X2 =
8125 , 2
947917 ,
0
989583 ,
0
13
999999
,
2
000010
,
1
000004
,
1
, X14=
999998 ,
2
000002 ,
1
000003 ,
1
Trang 10Ta có : X 14 X13=
6 6
10
10 8
10
vì X14 X13 = 8.10 6 < 10 5
Nên nghiệm gần đúng của hpt là :
999998 ,
2
000002 ,
1
000003 ,
1
z y x
(*) Đánh giá sai số :
*
14 X
1 X14 X13 = 0,175.80,.1075 6
= 2,4 10 5
Vậy X14 X* =2,4 10 5
6/
4 7 3
3
0 2 6
3
1 3
z y
x
z y
x
z y
x
(*)
(*)
7
4 0 7
3 7
3
0 3
1 0 5 , 0
3
1 3
1 3
1 0
z y x z
z y x y
z y x x
Gọi
0 7
3 7
1 0 5 , 0
3
1 3
1 0
7 4 0 3
1
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là <1
Vì = max( 32 ;65 ; 76 ) = 76 < 1 nên thỏa điều kiện hội tụ Vậy (*) có thể viết là X = X + β
Chọn X0=
7 4 0 3
1
khi đó X1= X0+ β =
7
314
5 7 1
Trang 11tương tự ta có X2 =
98
6514
3 14 1
, X3=
632653 ,
0
256803 ,
0
040816 ,
0
13
657892
,
0
236845
,
0
035087
,
0
, X14=
657896 ,
0
236841 ,
0
053088 ,
0
Ta có : X 14 X13=
6 6 6
10 4
10 4
10
vì X14 X13 = 4.10 6 < 10 5
Nên nghiệm gần đúng của hpt là :
657896 ,
0
236841 ,
0
035088 ,
0
z y x
(*) Đánh giá sai số :
*
14 X
1 X14 X13 =
7
6 1
10 4 7
= 2,4 10 5
Vậy X14 X* =2,4 10 5
7/
6 10 3
7 2 10
9 10
z y
z y x
y x
(*)
(*)
6 , 0 0 2 , 0 0
7 , 0 2 , 0 0 1 , 0
9 , 0 0 1 , 0 0
z y x
z
z y
x y
z y x
x
Gọi
0 2 , 0 0
2 , 0 0 1
,
0
0 1 , 0 0
6 , 0
7 , 0
9 , 0
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là <1
Vì = max(0,1;0,3 ;0,2) = 0,3 < 1 nên thỏa điều kiện hội tụ Vậy (*) có thể viết là X = X + β
Chọn X0=
6 , 0
7 , 0
9 , 0
khi đó X1= X0+ β =
74 , 0
91 , 0
97 , 0
Trang 12tương tự ta có X2 =
782 , 0
945 , 0
991 , 0
7
X =
791573
,
0
957889
,
0
995786
,
0
, X8=
791578 ,
0
957893 ,
0
995789 ,
0
Ta có : X 8 X7=
6 6 6
10 5
10 4
10 3
vì X8 X7 = 5.10 6 < 10 5
Nên nghiệm gần đúng của hpt là :
791578 ,
0
957893 ,
0
995789 ,
0
z y x
(*) Đánh giá sai số :
*
8 X
1 X8 X7 = 0,13.5.010,3 6
= 2,142857 10 6
Vậy X8 X* = 2,142857 10 6
8/
24 4
30 4
3
24 0
3
4
z y
z y
x
z y
x
(*)
(*)
6 0 25 , 0 0
5 , 7 25 , 0 0 75 , 0
6 0 75 , 0 0
z y x
z
z y
x y
z y x
x
Gọi
0 25 , 0 0
25 , 0 0 75 , 0
0 75 , 0 0
6
5 , 7
6
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là <1
Vì = max(0,75;1 ;0,25) = 1 nên không thỏa điều kiện hội tụ Vậy (*) không hội tụ theo phương pháp này
9/
395 , 1 09 , 2 12 , 0 11
,
0
743 , 0 05 , 0 02 , 1 5
,
12
215 , 0 11 , 0 05 , 5 42
,
0
z y
x
z y
x
z y
x
(*)
Trang 13(*)
09 , 2
395 , 1 0 09 , 2
12 , 0 09 , 2
11 ,
215 , 0 05 , 5
11 , 0 0 05 , 5
42 ,
743 , 0 5 , 12
05 , 0 5 , 12
02 , 1 0
z y x
z
z y
x y
z y
x x
Gọi
0 09
, 2
12 , 0 09
,
2
11
,
11 , 0 0
05
,
5
42
,
05 , 0 5 , 12
02 , 1 0
09 , 2
395 ,
15,05
215 ,
0 ,5 12
743 , 0
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là <1
Vì = max(0,0856;0,10495 ;0,110047) = 0,110047 < 1 nên thỏa điều kiện hội
tụ
Vậy (*) có thể viết là X = X + β
Chọn X0=
09 , 2
395 ,
15,05
215 ,
0 ,5 12
743 , 0
khi đó X1= X0+ β =
667921 ,
0
052169 ,
0
065584 ,
0
tương tự ta có X2 =
667921 ,
0
051603 ,
0
066328 ,
0
, X3=
667990 ,
0
051603 ,
0
066328 ,
0
, X4=
667992 ,
0
051608 ,
0
066323 ,
0
Ta có : X 4 X3=
6 6 6
10 2
10 5
10 5
vì X4 X3 = 5.10 6 < 10 5
Nên nghiệm gần đúng của hpt là :
667992 ,
0
051608 ,
0
066323 ,
0
z y x
(*) Đánh giá sai số :
*
4 X
1 X4 X3 = 0,11100470,110047.5.10 6
= 6,18 10 7
Vậy X4 X* =6,18 10 7