Chứng minh tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp đờng tròn h.. Năm học 1999-2000 Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy điểm D sao cho hai đờng tròn nội tiếp các tam giác ACD và BCD bàng nhau.
Trang 1A- kiến thức cơ bản
Chơng I. Hệ thức lợng trong tam giác vuông
Bài 1 Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
1 Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
2 Một số hệ thức lliên quan tới đờng cao
Bài 2 Tỉ số lợng giác của góc nhọn
1 Khái niệm tỉ số lợng giác của góc nhọn
2 Tỉ số lựơng giác của hai góc phụ nhau
Bài 3 Bảng lợng giác
1 Cấu tạo bảng lợng giác
2 Cách dùng bảng
Bài 4 Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
1 Các hệ thức
2 áp dụng giải tam giác vuông
Bài 5 ứng dụng thực tế các tỉ số lợng giác của góc nhọn
1 Xác đinh chiều cao
2 Xác đinh khoảng cách
Chơng II đờng tròn
Bài 1 Sự xác định đờng tròn Tính chất đối xứng của đờng tròn
1 Nhắc lại về đờng tròn
2 Cách xác đình đờng tròn
3 Tâm đối xứng
4 Trục đối xứng
Bài 2 Đờng kính và dây của đờng tròn
1 So sánh độ dàu của đờng kính và dây
2 Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây
Bài 3 Liên hệ giữa dâu và khoảng cách từ tâm đến dây
1 Bài toán mở đầu
2 Liên hệ giữa dâu và khoảng cách từ tâm đến dây
Bài 4 Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn
1 Ba vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn
2 Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng và bán kính của đờng tròn Bài 5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn
1 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn
2 áp dụng
Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
1 định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau
2 đờng tròn nội tiếp tam giác
3 đờng tròn bàng tiếp tam giác
Bài 7 Vị trí tơng đối của hai đờng tròn
1 Ba vị trí tơng đối của hai đờng tròn
2 Tính chất của đờng nối tâm
Bài 8 Vị trí tơng đối của hai đờng tròn (tiếp)
1 Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính
2 Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn
Chơng III Góc với đờng tròn
Bài 1 Góc ở tâm Số đo cung
1 Góc ở tâm
2 Số đo cung
3 Khi nào thì sd AB sd AC sd BC
Bài 2 Liên hệ giữa cung và dây
1 định lí 1
2 Định lí 2
Bài 3 Góc nội tiếp
1 Đinh nghĩa
2 Định lí
3 Hệ quả
Bài 4 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
1 Khái niệm góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
2 Định lí
3 Hệ quả
Bài 5 Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn
1 Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn
2 Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn
Bài 6 Cung chứa góc
1 Bài toán quỹ tích “Cung chứa góc”
2 Cách giải bài toán quỹ tích
1
Trang 2Bài 7 Tứ giác nội tiếp
1 Khái niệm tứ giác nội tiếp
2 Định lí
3 Định lí đảo
Bài 8 Đờng tròn ngoại tiếp Đờng tròn nội tiếp
1 Định nghĩa
2 Định lí
Bài 9 Độ dài đờng tròn, cung tròn
1 Công thức tính độ dài đờng tròn
2 Công thức tính độ dài cung tròn
Bài 10 Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
1 Công thức tính diện tích hình tròn
2 Công thức đính diện tích hình quạt tròn
B- Các dạng toán
1 Các bài toán chứng minh
a Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
b Chứng minh hai góc bằng nhau
c Chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau
d Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với nhau
e Chứng minh ba điểm thẳng hàng
f Chứng minh các đờng thẳng đồng quy các đờng tròn đồng quy
g Chứng minh tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp đờng tròn
h Chứng minh các hệ thức trong hình học
2 Bài toán dựng hình
3 Bài toán quỹ tích
B- Các bài tập chọn lọc
1 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
(Sở giáo dục và đào tạo ninh bình) Năm học: 1996- 1997
Cho tam giác đều ABC Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM = AN
1 Chứng minh BN = CM
2 BN cắt CM tại I Chứng minh AMIN là tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn
3 Khi M và N thay đổi trên cạnh AB và AC (nhng ta luôn có BM = AN) thì I thay đổi trên đờng nào?
4 Giả sử AM CN AB
3
2
Năm học: 1997- 1998
Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC trong đoạn AC lấy điểm B và vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BC Gọi M là trung điểm của AB, từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AC Nối D với C, DC cắt đờng tròn tâm I tại F (F C)
1 Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi
2 Chứng minh ba điểm E, B, F thẳng hàng
3 So sánh hai góc EMF và DAE
4 Xác định và giải thích vị trí tơng đối giữa đờng thẳng MF với đờng tròn tâm I
Năm học: 1998- 1999
Cho đờng tròn tâm O, đờng kính EF, BC là một dây cung cố định vuông góc với EF, A là một điểm bất kì trên cung BFC ( A B, A C)
1 Chứng minh AE là phân giác góc BAC
2 Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB Chứng minh BD song song với AE
3 Gọi I là trung điểm BD Chứng minh I, A, F thẳng hàng
4 M là một điểm trên cung AB sao cho k
MB
MA
( k không đổi), qua M vẽ đờng thẳng (d) vuông góc với
AC Chứng minh khi A thay đổi trên cung BFC thì đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Năm học 1999-2000
Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy điểm D sao cho hai đờng tròn nội tiếp các tam giác ACD và BCD bàng nhau Gọi O, O1, O2 theo thứ tự là tâm các đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC, ACD và BCD
a Chứng minh ba điểm A, O1, O thẳng hàng và 3 điểm B, O2, O thẳng hàng
b Chứng minh OO1.OB = OO2.OA
c Đặt AB= c, AC= b, BC= a Tính độ dài CD theo a, b, c
Năm học: 2000- 2001
Cho tam giác đều ABC, Gọi O là trung điểm cạnh BC, vẽ góc xOy bằng 600 sao cho Ox cắt cạnh AB tại M, Oy cắt cạnh AC tại N Chứng minh rằng
a Tam giác OBM đồng dạng với tam giác NCO, suy ra BC2 = 4.BM.CN
b MO là tia phân giác của góc BMN
c Đờng thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định khi góc xOy bàng 600, quay quanh O sao cho tia Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB, AC của tam giác ABC theo thứ tự tại M và N
2
Trang 3Năm học: 2001- 2002
Cho đờng tròn đờng kính AB, trên tia AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa AC, từ C kẻ đờng thẳng x vuông góc với AB, trên x lấy điểm D( DC) Nối DA cắt đờng tròn tại M, nối BD cắt đờng tròn tại N, nối CN cắt đờng tròn tại K
1) Chứng minh ADCN là tứ giác nội tiếp đờng tròn
2) Chứng minh AC là phân giác của góc KAD
3) Kéo dài MB cắt đờng thẳng x tại S Chứng minh ba điểm S, A, N thẳng hàng
Năm học: 2002- 2003
Cho đờng tròn tâm O, bán kính R Gọi d là đờng thẳng cắt đờng tròn tại 2 điểm phân biệt (d không qua O); M là
điểm nằm trên d và nằm ngoài đờng tròn Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đờng tròn; BC là đờng kính của
đờng tròn
1) Chứng minh AC // M0
2) Từ O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC, đờng thẳng này cắt đờng
thẳng AC tại D Chứng minh 5 điểm M, B, O, A, D nằm trên một đờng tròn
3) Tìm M trên đờng thẳng d để tam giác AOC đều Hãy chỉ ra cách xác định M
Năm học: 2003- 2004
Cho đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ B kẻ tiếp tuyến (d) với đờng tròn Gọi C là điểm trên cung AB, nối AC kéo dài cắt (d) tại E
1) Giả sử C là điểm chính giữa cung AB, chứng minh tam giác ABE là tam giác vuông, cân
2) Giả sử C là điểm bất kỳ trên cung AB ( CA;C B); gọi D là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC (
B D C
D ; ), nối AD kéo dài cắt (d) tại F.
a Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đợc đờng tròn
b Chứng minh AC.AE = AD.AF và bằng một đại lợng không đổi
Năm học: 2004- 2005
Cho tam giác ABC vuông tại A; trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm A và C) Đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại điểm thứ hai là E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC tại F ( F không trùng với D ) Chứng minh :
1) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC
2) Tứ giác ABCF nội tiếp đợc một đờng tròn
3) AC là tia phân giác của góc EAF
Năm học: 2005- 2006
Cho đờng tròn tâm O, bán kính R Từ một điểm P ở ngoài đờng tròn hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C là các tiếp điểm; PA>R) với đờng tròn (O)
a Chứng minh tứ giác PAOC nội tiếp đợc một đờng tròn
b Tia AO cắt đờng tròn (O) tại B; đờng thẳng qua P và song song với AB cắt BC tại D Tứ giác AODP là hình gì? chứng minh
c Gọi I là giao điểm của OC và PD; J là giao điểm của PC và DO; K là trung điểm của AD Chứng minh các điểm I, J, K thẳng hàng
Năm học: 2006- 2007
Cho đờng tròn (O; R), điểm M nằm ngoài đờng tròn Vẽ các tiếp tuyến MC, MD (C, D là các tiếp điểm) và cát tuyến MAB đi qua tâm O của đờng tròn (A ở giữa M và B)
a Chứng minh: MC2 = MA.MB
b Gọi K là giao điểm của BD và tia CA Chứng minh bốn điểm B, C, M, K nằm trên một đờng tròn
c Tính độ dài BK khi CMD 60 0
Năm học: 2007- 2008
Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Trên nửa đờng tròn lấy hai điểm C, D (C thuộc cung AD) sao cho CD =
R Qua C kẻ đờng thẳng vuông góc với CD cắt AB ở M Tiếp tuyến của (O; R) tại A và B cắt CD lần lợt tại E và
F, AC cắt BD ở K
a Chứng minh rằng tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF vuông
b Xác định tâm và tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác KCD
c Tìm vị trí của dây CD sao cho diện tích tam giác KAB lớn nhất
Một số bài tập bổ xung
Bài 1 Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB Gọi d là tiếp tuyến của đờng tròn, C là tiếp điểm Gọi D, E theo thứ tự
là hình chiếu của A, B trên đờng thẳng d
a Chứng minh rằng CD = CE
b Chứng minh rằng AD + BE = AB
c Vẽ đờng cao CH của tam giác ACB Chứng minh rằng AH = AD, BH = BE
d Chứng minh rằng AD BE = CH2
e Chứng minh rằng DH // CB
Bài 2 Cho các đờng tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau ở A và B Qua B, vẽ cát tuyến chung CBD vuông góc với
AB, vẽ cát tuyến chung EBF bất kì (C, E (O), E BC ; D, F (O’)).
a Chứng minh rằng ba điểm A, O, C thẳng hàng; ba điểm A, O’, D thẳng hàng
b Gọi K là giao điểm của các đờng thẳng CE và FD Chứng minh rằng AEKF là tứ giác nội tiếp
c Chứng minh rằng điểm K thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
d Khi điểm E di chuyển trên cung BC thì điểm K di chuyển trên đờng nào?
3
Trang 4e Giả sử R = R’ Tìm quỹ tích các trung điểm M của EF khi E di chuyển trên cung BC.
Bài 3 Cho đờng tròn (O) bán kính OA = R Vẽ dây BC vuông góc với OA tại trung điểm H của OA
a Tứ giác ABOC là hình gì?
b Gọi K là điểm đối xứng với O qua A Chứng minh rằng KBOC là tứ giác nội tiếp KB và KC là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
c Tam giác KBC là tam giác gì?
d Trực tâm của tam giác ABC là điểm nào trên hình vẽ?
e Tính độ dài BC
f Tính diện tích phần chung của hình tròn (O; R) và hình tròn ngoại tiếp tứ giác KBOC
Bài 4 Cho nửa đờng tròn (O) có đờng kính AB = 2R, điểm C thuộc nửa đờng tròn Gọi I là điểm chính giữa cung
AC, E là giao điểm của AI và BC
a Tam giác ABE là tam giác gì?
b Gọi K là giao điểm của AC và BI Chứng minh rằng EK vuông góc với AB
c Gọi F là điểm đối xứng với K qua I Chứng minh rằng AF là tiếp tuyến của đờng tròn (O)
d Khi điểm C di chuyển trên nửa đờng tròn thì điểm E di chuyển trên đờng nào?
e Dựng điểm C thuộc nửa đờng tròn để tam giác ABE là tam giác đều
f Trong trờng hợp tam giác ABE là tam giác đều, hãy tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung bị trơng
Bài 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) D và E theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung AB và AC Gọi giao điểm của DE với AB, AC theo thứ tự là H, K
a Chứng minh rằng tam giác AHK là tam giác cân
b Gọi I là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng AI vuông góc với DE
c Chứng minh rằng IK // AB
d Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì AI // EC?
Bài 6 Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB,
dựng các hình vuông AMCD và MBEF Hai đờng thẳng AF và BC cắt nhau ở N
a Chứng minh AF vuông góc với BC, suy ra điểm N nằm trên hai đờng tròn ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF
b Chứng minh ba điểm D, N, E thẳng hàng và MN vuông góc với DE tại N
c Cho A, B cố định còn M di động trên đoạn thẳng AB, chứng minh đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm
cố định
Bài 7 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O bán kính R Các tiếp tuyến với đờng tròn ở B và C cắt
nhau ở N
a Chứng minh trung điểm của cung BC là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NBC
b Gọi H là trực tâm của tam giác NBC Chứng minh BO = BH
c Qua A dựng đờng thẳng song song với BC cắt đờng tròn ở M, MN cắt cung BC ở K Chứng minh A, K và trung điểm D của BC nằm trên một đờng thẳng
Bài 8 Bán kính đờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC là r, R H, O, I là trực tâm, tâm đờng tròn ngoại
tiếp và nội tiếp của tam giác ABC Biết đờng tròn ngoại tiếp tam giác HOI đi qua đỉnh A của tam giác ABC
a Chứng minh AI là tia phân giác của góc HAO
b Chứng minh tam giác OAI bằng tam giác HAI
c Chứng minh góc B = 600
d Tính diện tích tam giác ABC theo R, r
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại C, có BC = 1/2AB Trên cạnh BC lấy điểm E (E ≠ B, C), từ B kẻ đờng thẳng
d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lợt là I, K
1 Tính độ lớn góc CIK
2 Chứng minh KA.KC = KB.KI
3 Gọi H là giao điểm của đờng tròn đờng kính AK với cạnh AB, chứng minh rằng H, E, K thẳng hàng
4 Tìm quỹ tích điểm I khi E chạy trên BC
Bài 10 Cho đờng tròn (O, R) Hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau, E là điểm chính giữa của cung nhỏ
BC và AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M
1 CEF và EMB là các tam giác gì?
2 Chứng minh rằng tứ giác FCBM nội tiếp trong một đờng tròn Tìm tâm đờng tròn đó
3 Chứng minh rằng các đờng thẳng OE, BF, CM đồng quy
Bài 11: Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn tâm (O) bán kính R vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm) và một đờng thẳng qua M cắt đờng tròn tại C và D Gọi I là trung điểm của CD Gọi E, F, K lần lợt là các giao điểm của đờng thẳng AB với các đờng thẳng MO, MD, OI
1 Chứng minh rằng R2 = OE OM = OI OK
2 Chứng minh rằng 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đờng tròn
3 Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD, chứng minh rằng DEC 2 DBC
4