M là điểm bất kì nằm giữa B và C, gọi E và F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.. N là trung điểm của AM a/ Tứ giác HENF là hình gì?. b/ Gọi I là trực tâm của tam giác ABC.. Chứn
Trang 1Phòng gd –
đt
Lập Thạch
Đề thi khảo sát học sinh giỏi lớp 8 (vòng I)
Môn: Toán Năm học 2009 – 2010 Thời gian 150 phút(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
Cho biểu thức
A
=
a/ chứng tỏ rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A ?
Câu 2:
a/ Cho a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp Chứng minh rằng: ab – a – b + 1 chia hế cho 192
b/ Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn đẳng thức y(y+1)2 + x(x+1)2 = 8xy
Câu 3:
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 +b3 + c3 – 3abc
b/ cho x,y,z là các số khác 0 thoả mãn: x y z 1 1 1 0
+ + = + + = Chứng minh rằng
6 6 6
3 3 3
xyz
+ + = + +
Câu 4:
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH M là điểm bất kì nằm giữa B và C, gọi E và F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC N là trung điểm của AM
a/ Tứ giác HENF là hình gì ? Chứng minh
b/ Gọi I là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng các đường thẳng MI,NH,EF đồng quy
Câu 5:
M là điểm ở bên trong hình bình hành ABCD Đặt SMAB =S1, SMCD = S2, SABCD = S
Chứng minh rằng: 2
1 2
1 16
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1:
Cho biểu thức
A
=
a/ chứng tỏ rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x
A
=
=
+ − + − + =
1
4
+ − + =
2
2
1
4
y y
+ +
− +
Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào x
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A ?
A =
2
2
1
4
y y
+ +
− + =
2 2
1
2
y y
+ + + Có tử số ≥0, mãu số dương A ≥0 A nhỏ nhất khi A= 0. Khi đó 1
2
y= −
Câu 2:
a/ Cho a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp Chứng minh rằng: ab – a – b + 1 chia hế cho 192
Vì a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên đặt a = m2, b = n2 (m,n lẻ), Giả sử a>b thì
m +1 = n – 1, n +1 = m + 3
192 = 26.3
Ta xét A = ab – a – b + 1 = (a - 1)(b -1) = (m - 1)(m + 1)2(m + 3)
Vì m lẻ, đặt m = 2k + 1 ta có: A = 2k.(2k+2)2(2k+4) = 24.k(k+1)2(k+2)
Vì k(k+1)(k+2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
Nếu k chẵn⇒ k + 2 chẵn ⇒ k (k+2) M4 ⇒AM192
Nếu k lẻ ⇒k + 1 chẵn ⇒ (k+1)2 M4 ⇒AM192
Vậy A = ab – a – b + 1 luôn chia hết cho 192
b/ Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn đẳng thức y(y+1)2 + x(x+1)2 = 8xy
Cách 1: (x + 1)2 ≥ 4x; (y + 1)2 ≥ 4y
Do đó y(y+1)2 + x(x+1)2 ≥4x2 + 4y2
Trang 3⇒8xy ≥4x2 + 4y2 ⇒2xy ≥x2 + y2 ⇒(x - y)2 ≤0 ⇒x = y
Thay x = y vào biểu thức y(y+1)2 + x(x+1)2 = 8xy ta có 2 x(x+1)2 = 8x2 ⇒(x+1)2 = 4x
⇒(x-1)2 = 0 ⇒x = 1
⇒ x= y = 1.
Câu 3:
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 +b3 + c3 – 3abc
a3 +b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc
= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac - bc)
b/ cho x,y,z là các số khác 0 thoả mãn: x y z 1 1 1 0
+ + = + + = Chứng minh rằng
6 6 6
3 3 3
xyz
+ + = + + Giải:
Theo câu a ta có x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + x2 – xy – yz - xz)
Vì x + y + z = 0 nên x3 + y3 + z3 = 3xyz
x+ + =y z ⇒ xy + yz + zx =0
x + y + z = 0 ⇔ (x + y + z)2 = 0 ⇔ x2 + y2 + x2 + 2(xy + yz + xz) =0
⇔ x2 + y2 + x2 = 0
⇒ x2 + y2 + x2 = 3x2y2z2
⇒ 63 63 63 3x y z2 2 2
3xyz
xyz
+ +
Câu 4:
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH M là điểm bất kì nằm giữa B và C, gọi E và F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC N là trung điểm của AM
a/ Tứ giác HENF là hình gì ? Chứng minh
b/ Gọi I là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng các đường thẳng MI,NH,EF đồng quy
Giải:
a/
+ ΔAFM là tam giác vuông tại F nên FN = ½.AM
ΔAEM là tam giác vuông tại E nên EN = ½.AM
Do đó EN = FN.(1)
Ta sẽ chứng minh ΔFNH, ΔENH đều
Thật vậy:
F
E
C B
A
N
Trang 4Tương tự ∠MNH = 2 ∠MAH Do đó ∠FNH = 2 ∠FAH = 600 suy ra ΔFNH đều suy ra
FN = FH (2)
Tương tự ΔENH đều suy ra EN = EH (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra FNEH là hình thoi
Câu 5:
M là điểm ở bên trong hình bình hành ABCD Đặt SMAB =S1, SMCD = S2, SABCD = S
Chứng minh rằng: 2
1 2
1 16
Giải:
Ta có: S1 = ½.MP.AB
S2 = ½.MQ.CD = ½.MQ.AB
S1.S2 = ¼.AB2.MP.MQ
Lại có PQ2 = (MP + MQ)2 ≥4MP.MQ
⇒MP.MQ ≤1/4 PQ2
B A
M Q P