De thi va DA HSG Bac Ninh 2009

Chứng minh rằng: Bài 3 4 điểm Hình chóp S.ABC có tổng các mặt góc ở đỉnh của tam diện đỉnh S bằng và các cạnh bên SA=SB=SC=1.. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này kh

UBND tỉnh Bắc Ninh

Sở giáo dục và đào tạo

==========

đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh

Năm học 2008 – 2009 Môn thi: Toán THPT

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể giao đề)

Ngày thi: 7 tháng 4 năm 2009

==============

Bài 1 (6 điểm)

1/ So sánh hai số: 20092010 và 20102009

2/Tính giới hạn sau:

Bài 2 (4 điểm)

1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn: x2009 + y2009 +

z2009 = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F=

2/ Cho số nguyên dơng n Chứng minh rằng:

Bài 3 (4 điểm)

Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở đỉnh) của tam diện đỉnh S bằng và các cạnh bên SA=SB=SC=1 Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn

Bài 4 (4 điểm)

1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phơng trình:

Chứng minh rằng:

Dấu xảy ra khi

nào?

2/ Giải hệ phơng trình:

Bài 5(2 điểm)

1/ Chứng minh rằng bốn hình tròn có các đờng kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ giác đó

với Tìm các hệ số:

Đề chính thức

Họ và tên thí

sinh -SBD -Hớng dẫn chấm toán thpt

Bà

1

(6

đ)

1(3điểm)

Xét hàm số , Tập xác định:

-f(x)

0

Do đó hàm số nghịch biến trên

thỏa mãn:

Từ

đó đợc:

2 (3điểm)

Viết lại giới hạn về dạng:

0,5 0,5

0,5

1,0 0,5

1,0

1,0

Với

Do đó

0,5

0,5

2

(4

đ)

1 (2 điểm)

áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2009 số gồm 2007

số 1 và 2 số ta đợc:

Tơng tự :

Cộng vế vế các bất đẳng thức trên ta đợc:

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 Do đó giá trị lớn

nhất của F là 3

2 (2 điểm)

Ta có:

Lấy tổng:

0,5

0,5

0,5 0,5

1,0 1,0

3

(4

đ)

Ký hiệu độ lớn các mặt của góc tam diện đỉnh S nh

sau:

là 3 góc một tam giác nào đó Tổng diện tích 3

Chứng minh: Dấu bằng xảy ra khi

Do đó

Gọi BC=a, CA=b, AB=c áp dụng định lý Cosin trong

tam giác BSC ta đợc:

Hay

Diện tích toàn phần của hình chóp không lớn hơn:

Dấu bằng xảy ra khi: tức là tứ diện đều

0,5

0,25

0,5 0,25

0,5

0,25 0,5 0,25 0,25 4

(4

đ)

1 (2 điểm)

Theo Vi-et ta có: mnp=1

Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:

Dấu bằng xảy ra khi:

0,5 0,25 0,25 0,25

0,25

n= , m= , p=

2 (2 điểm)

Chứng minh:

(1)

Cộng từng vế của 3 phơng trình và sử dụng (1) ta

đợc:

TH1: x+y+z=0 hệ trở thành

Do z=-x-y nên từ (2) và (4) ta đợc:

Từ đó ta đợc: y=2x và z=-3x Thay vào (2) ta đợc:

Hệ có nghiệm: (1;2;-3)

TH2:

Ta đợc x=y=z=0 không thỏa mãn hệ đã cho

Tóm lại hệ có nghiệm duy nhất: (1;2;-3)

0,25

0,25 0,5 0,25

0,5

0,5 0,25 5

(2

đ)

1 (1 điểm)

Gọi M là một điểm bất kỳ trong tứ giác Ta có:

Do đó tồn tại ít nhất một góc có số đo lớn hơn hoặc

bằng

.Giả sử khi đó M thuộc vào hình tròn đờng

kính AB Từ đó ta đợc điều phải chứng minh

2 (1 điểm)

Ta có:

Do đó ta đợc:

0,25 0,25 0,5

0,5

Chú ý: Thí sinh làm theo cách giải khác nếu đúng cho điểm tơng ứng