ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH XẠ TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

Chúng tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy, tuy không giảng dạy trực tiếp nhưng đã chia sẻ những bài toán tổ hợp hay với cách giải bằng phương pháp ánh xạ rất độc đáo để chúng t

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THỒNG CHUYÊN

NGUYỄN DU

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ÁNH

XẠ TRONG GIẢI

TOÁN TỔ HỢP

NGƯỜI THỰC HIỆN : LÊ NGỌC ĐỨC

LỚP : 10CT NIÊN KHÓA : 2017-2020

MỤC LỤC

Mục lục ……… 1

Lời cảm ơn ……….2

Giới thiệu và tổng quan về vấn đề nghiên cứu ……… 4

Một số chữ viết tắt và các kí hiệu toán học trong tài liệu ……… ……….5

Cơ sở lí thuyết ………

Ánh xạ ……… ………6

Ứng dụng của ánh xạ trong các bài toán tổ hợp ………7

Lời kết ……… ……28

Tài liệu tham khảo ……… ….29

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện dự án, chúng tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ Giờ đây khi nội dung dự án đã được hoàn thành, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến:

Quý Thầy, Cô của trường THPT chuyên Nguyễn Du tỉnh Đắk Lắk đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, giúp đỡ chúng tôi học tập và hỗ trợ chúng tôi trong việc thực hiện đề tài nghiên cứu

Đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Quang, giáo viên hướng dẫn khoa học, đã tận tình hướng dẫn chúng tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành dự án

Chúng tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy, tuy không giảng dạy trực tiếp nhưng đã chia sẻ những bài toán tổ hợp hay với cách giải bằng phương pháp ánh xạ rất độc đáo để chúng tôi tham khảo

Xin gửi tặng các bạn cùng lớp, những người đã dành cho chúng tôi những tình cảm, lời động viên, sự giúp đỡ trong cuộc sống và trong quá trình học tập vừa qua

Lần đầu tiên chúng tôi tập làm nghiên cứu, nội dung có lẽ chưa được đầy đủ

và còn nhiều thiếu sót, mong nhận được những góp ý bổ ích từ quý Thầy, Cô cùng các độc giả

Xin trân trọng cảm ơn!

Buôn Ma Thuột, ngày 16 tháng 10 năm 2017 Tác giả

A LỜI GIỚI THIỆU VÀ TỔNG QUAN

Cùng với chương trình phát triển trọng điểm toán học giai đoạn 2010 – 2020 , toán học Việt Nam đã có nhiều phát triển và tiến bộ.Đi cùng với đó,phong trào chuyên toán phổ thông những năm gần đây đã có nhiều dấu hiệu khởi sắc với kết quả các kì thi HSG toán quốc gia và quốc tế của chúng ta ngày càng được nâng cao Hằng năm các trường hè,trường đông được Viện toán học tổ chức ngày càng phát triển về quy mô và chất lượng Cùng với những sự phát triển đó thì nhu cầu tài liệu càng được nhiều học sinh quan tâm Đặc biệt là những tài liệu mang tính thời

sự và chuyên môn sâu về các phân môn Lịch sử và quá trình giảng dạy cho ta thấy điểm yếu của học sinh Việt Nam đó chính là toán tổ hợp và rời rạc Trong các kìthi HSG toán phổ thông, số học sinh giải quyết trọn vẹn bài toán tổ hợp là rất ít, thậm chí không có học sinh nào Trên thực tế như vậy, việc biên soạn một cuốn sách chuyên khảo sâu về tổ hợp và rời rạc là việc rất cần thiết.Và đó cũng là lý do chúng tôi biên soạn tài liệu này.Tài liệu này cung cấp những khái niệm về ánh xạ và ứng dụng của nó trong toán học

Trong toán học, tổ hợp là một dạng toán rất khó nhưng lại rất thu hút vì những lài giải hay, độc đáo và có ý nghĩa quan trọng trong các nghành học công nghệ thông tin Trong các kì thi học sinh giỏi, tổ hợp luôn là bài toán khó nhất nên hầu hết học sinh đều ngại học chủ đề này, vì mỗi kì chỉ có vài ba bạn giải được Do

đó có rất nhiều nghiên cứu về chủ đề này, từ đó có rất nhiều phương pháp để tiếp cận Ánh xạ là một trong các công cụ đầu tiên, đơn giản nhưng hiệu quả trong bài toán đếm Thông qua ánh xạ ta đưa một bài toán đếm phức tạp về một bài toán đếm đơn giản hơn ; tuy nhiên việc xây dựng ánh xạ phù hợp mới là việc khó khăn đòi hỏi phải và chạm nhiều và phải có kinh nghiệm Bài nghiên cứu này nhằm mục đích ban đầu là tự học, tổng hợp các bài toán để có thêm nhiều kinh nghiệm; sau đó

là một tài liệu tham khảo cho các bạn bước đầu học tổ hợp

Tuy nhiên, dù đã cố gắng nhiều nhưng chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót Mong các bạn đọc góp ý để bài nghiên cứu hoàn thiện tốt hơn

MỘT SỐ CHỮ VIẾT TẮT VÀ CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC TRONG TÀI LIỆU I/Một số chữ viết tắt:

IMO International Mathematical Olympiad Olympic Toán học Quốc tế

VMO Vietnam Mathematical Olympiad Olympic Toán học Việt Nam APMO Asian Pacific Math Olympiad Olympic toán Châu Á – Thái Bình Dương

Phần tử này được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và được kí hiệu là f(x)

(i) Tập X được gọi là tập xác định của f Tập hợp Y được gọi là tập giá trị của f (ii) Ánh xạ f đi từ X đến Y được kí kiệu là f: X → Y

x ↦y=f(x)

(iii) Khi X và Y là các tập số thực , ánh xạ f được gọi là một hàm số xác định

trên X (iv) Cho a thuộc X, b thuộc Y Nếu f(a)=y thì ta nói y là ảnh của a và a là nghịch

ảnh của y qua ánh xạ f (v) Tập hợp Y = {y=Y : mọi x thuộc X, y=f(x)} gọi là tập ảnh của f

2/Đơn ánh, toàn ánh, song ánh

3 Ánh xạ ngược của một song ánh

3.1.Định nghĩa

Ánh xạ ngược của f, được kí hiệu bởi ,là ánh xạ từ Y đến X gán cho mỗi phần tử y Y phần tử duy nhất x X sao cho y = f(x) Như vậy

3.2 Chú ý Nếu f không phải là song ánh thì ta không thể định nghĩa được ánh

xạ ngược của f Do đó chỉ nói đến ánh xạ ngược khi f là song ánh

4 Ánh xạ hợp

4.1 Định nghĩa Nếu g : A↦ B và f : B ↦ C và g(A)  B thì ánh xạ hợp

Kí hiệu

Nguyên lý ánh xạ Cho A và B là các tập hữu hạn khác rỗng và f : A B là một ánh xạ Khi đó:

a) Nếu f là đơn ánh thì | A| |B |

b) Nếu f là toàn ánh thì |A | |B |

c) Nếu f là song ánh thì |A | |B |

Phương pháp ánh xạ dựa vào ý tưởng rất đơn giản:

- Nếu tồn tại một song ánh từ tập hữu hạn A vào tập hữu hạn B thì |A| = |B| Do đó, muốn chứng minh hai tập hợp có cùng số phần tử, chỉ cần xây dựng một song ánh giữa chúng Hơn nữa, ta có thể đếm được số phần tử của một tập hợp A bằng cách xây dựng song ánh từ A vào một tập hợp B mà ta đã biết cách đếm hoặc dễ đếm hơn

- Nếu tồn tại một đơn ánh (tương ứng toàn ánh) từ A vào B thì |A| |B| (tương ứng

|A| |B |) Do đó, đơn ánh và toàn ánh chủ yếu được sử dụng để chứng minh các bài toán liên quan đến bất đẳng thức tổ hợp Chuyển bài toán cần chứng minh về việc so sánh số phần tử của hai tập hợp, trong đó có một tập hợp đã biết cách đếm hoặc dễ đếm Tương tự nguyên lý Dirichle, về mặt ý tưởng thì hết sức đơn giản tuy nhiên thực thế thì không phải đơn giản như thế Để sử dụng phương pháp này ta cần xác định được một song ánh giữa tập cần đếm vào một tập đã biết cách đếm việc làm này không phải lúc nào cũng thực hiện dễ dàng Sau đây là một số bài tập

áp dụng phương pháp trên

II/ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ TRONG TỔ HỢP

Để khởi đầu cho phần này tôi xin gửi đến các bạn một định lí đơn giản nhưng có ứng dụng rất lớn trong giải toán tổ hợp đó là “Bài toán chia kẹo của Euler”

Định lí: Cho k,n là các số tự nhiên ; số nghiệm tự nhiên của phương trình + + … + = n là

Chứng minh

Ta cho tương ứng mỗi nghiệm nguyên không âm của phương trình + + … + = n (1) với một xâu nhị phân độ dài n+k-1 trong đó có n bit 1 và k-1 bit 0, cụ thể xâu gồm bit 1, sau đó là 1 bit 0,tiếp theo là bit 1, sau đó là 1 bit 0, cứ như thế, cuối cùng là bit 1 Dễ dàng chứng minh được đây là một song ánh từ tập A các nghiệm nguyên không âm của (1) vào tập hợp B các xâu nhị phân độ dài n+k-1 với n bit 1 và k-1 bit 0 Từ đó, theo nguyên lý song ánh ta có

(đpcm)

Ví dụ 1:

Có n người xếp thành hàng dọc.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra k người sao cho không có hai người liên tiếp được chọn ?

Lời giải

Ta lần lượt đánh số thứ tự của hàng người bằng các số nguyên dương là 1,2,3, ,n Vậy ta sẽ đưa đề về dạng : Cho n số nguyên dương 1,2,…,n.Hỏi có bao nhiêu cách chọn k số phân biệt trong n số đã cho sao cho không có 2 số nguyên liên tiếp nào? Một cách chọn thích hợp chính là bộ số 1 ≤ …< ≤ n thỏa mãn

chúng ta một đơn ánh từ B vào A.Vậy

Rõ ràng dãy (2) gồm các số khác nhau khi cà chỉ khi dãy (1) không chứa 2 số

nguyên liên tiếp.Rõ ràng ta có các số trong dãy (2) được sắp xếp từ bé đến lớn

Như vậy dãy 6 số trong đó không chứa 2 số nguyên liên tiếp được đặt tương ứng với dãy 6 số khác nhau được chọn từ các số 1 đến 44

Từ đây ta hoàn toàn có thể tính được kết quả cần tính

Nhận xét: Bài toán đang xét với 1 tập 49 số và bạn đọc hoàn toàn có thể mở rộng

ra với n số Điểm nhấn đặc biệt đó là việc đặt tương ứng dãy (1) với dãy (2), điều này khá tự nhiên Nhưng nó đã gắn kết bài toán và khiến mọi thứ trở nên tường

minh hơn

Bài tập ứng dụng : Cho 2018 số tự nhiên liên tiếp 1,2,…,2018 Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bộ 6 số khác nhau từ 2018 số đó trong đó có ít nhất 2 số nguyên liên tiếp

Các bạn đã bao giờ nghĩ rằng nếu kết hợp cả hai ví dụ trên thì bài toán sẽ như thế nào không? Vâng tôi xin được gửi đến bạn sự kết hợp vi diệu ấy ở Ví dụ 3

2 số nguyên liên tiếp nào

Gọi C là tập hợp các cách chọn m số phân biệt trong n số đã cho sao cho có ít nhất

2 số nguyên liên tiếp

Áp dụng Ví dụ 1 , ta có :

Kết quả :

Nhận xét :

Giả thiết n ≥ 2m-1 là cần thiết bởi vì khi đó n+1-m ≥ m

Vì nếu ngược lại thì theo nguyên lí Dirichlet trong mọi cách chọn đều có 2 số

nguyên liên tiếp được chọn (Bạn đọc hãy tự lí giải điều này) Một câu hỏi các bạn cần trả lời được đó là : Nếu bỏ đi điều kiện n ≥ 2m-1 thì cần phải có thêm quy ước gì?

Ví dụ 4:

Cho tập hợp E ={1;2;…;n}.Gọi g(n,k) là số các tập con gồm k phần tử của E mà không chứa 2 số nguyên liên tiếp nào Còn là số tất cả các tập con của E mà không chứa 2 số nguyên liên tiếp nào Chứng mình rằng:

a) g(n,k) =

b)

Lời giải

Ở câu a) , ta có thể dễ dàng chứng minh như ở ví dụ trước

Giờ ta chỉ việc xét câu b)

Kí hiệu P là tập hợp tất cả các tập hợp con của E thỏa mãn điều kiện mà tập hợp con đó đều không chứa 2 số nguyên liên tiếp nào của E

Như vậy ta có

Theo định nghĩa thì ta có

Nếu A thì n A Vì a nên a cũng thuộc P mà theo định nghĩa của P thì

n nên n-a không thuộc A Vậy A\{n} ’, ở đây P’ là tập hợp tất cả các tập hợp con của A\{n,n-1} thỏa mãn điều kiện là mỗi tập hợp con đó đều không chứa 2

số nguyên liên tiếp nào của {1,2,3,…,n-2} Như vậy với mỗi A tương ứng đúng với một tập con của P’ Vậy ta có :

Nhưng theo định nghĩa thì ta lại có Lập luận tương tự

ta có được : Như vậy ta có điều phải chứng minh

Bước 2 : Ta chọn ra k cặp rồi từ mỗi cặp chọn ra một số

Bước 3 : Chọn [ cặp trong n-k cặp còn lại

Ngoài ra số x sẽ được chọn nếu n-k lẻ và sẽ không được chọn nếu n-k chẵn.Rõ ràng ở bước 2 có cách chọn và bước 3 có cách chọn Lúc này, ta chọn được tổng cộng n số, trong đó k chạy từ 0 đến n

Ví dụ 7:

Cho n là một số nguyên dương Xét bảng ô vuông n ×

n Hỏi trong bảng đã cho có bao nhiêu hình vuông

Lời giải

Xét hình vuông như trên ( chỉ mang tính minh họa)

Ta chiếu các điểm lên một đường thẳng song song với một trong các cạnh của hình vuông đã cho, giả sử là cạnh AB

Đếm các hình vuông có hai cạnh song song với 2 cạnh còn lại của hình vuông ban đầu, giả sử là BC,CD,DA bằng cách chọn ra bốn điểm theo thứ tự trên đường

Gọi M là tập các số N thỏa mãn điều kiện đề bài

Ta xây dựng ánh xạ f:M→M như sau:

1 2

1 2 ( , , , )

Ta cho các phần tử đăng kí có mặt trong tập bằng cách với mỗi

bộ đăng kí là hợp lệ nếu có ít nhất 1 số 1 (nếu không thì phần tử tương ứng không

có mặt trong tập A1  A2 A n Với i phiếu đăng kí (ta gọi là nhóm phiếu đăng kí), ta sẽ lập được bộ Ngược lại, với 2 nhóm phiếu đăng kí khác nhau ta sẽ có 2 bộ tập hợp ( khác nhau, do đó

số bộ thỏa mãn (*) bằng số nhóm phiếu đăng kí hợp lệ Vì

phiếu đăng kí của gồm n chữ số 0 hoặc 1 và phải có ít nhất 1 số

1 nên có cách ghi phiếu cho , suy ra có nhóm phiếu đăng kí hợp lệ khác nhau Có cách chọn i phần tử nên suy ra

1 2

1 2 ( , , , )

Bài toán này không dùng phương pháp song ánh theo nghĩa thường, ở đây sẽ

không có ánh xạ nào cả Nguyên lý ánh xạ ở đây được dùng bằng cách, thay vì tính tổng này ta tìm cách tính một tổng khác dễ hơn và có giá trị bằng tổng đã cho Với mỗi {1,2, ,2012} ta gọi i S là số các bộ trong F mà i thuộc hợp các phần tử của

họ Rõ ràng trong S thì i được đếm lần, do đó S=S i Dễ thấy các bằng nhau và bằng 2011

(2n 1)2 n và tổng cần tính bằng 2011

2012(2n 1)2 n

Ví dụ 10:(Ucraina 1996)

Gọi M là số các số nguyên dương viết trong hệ thập phân có n chữ số, trong đó chỉ

có n chữ số 1 và n chữ số 2 , Gọi n là số tất cả các số viết trong hệ thập phân có n chữ số, trong đó chỉ có các chữ số 1,2,3,4 và số chữ số 1 bằng số chữ số 2 Chứng minh rằng : M=N=

Lời giải

Kết luận của bài toán rõ ràng giúp ta nghĩ ngay đến việc xây dựng một song ánh từ

2 tập với nhau

Số có n chữ số chỉ chứa các chữ số 1,2,3,4 và có số các số 1 bằng 2 như thế nào

Ta cần tìm ra một cách để làm điều này Đầu tiên gấp đôi số có n chữ số đó lên, nghĩa là nhân bản số đó 2 lần và viết cạnh nhau Sau đó các chữ số 3 ở n số đầu được đổi thành số 1, chữ số 3 của n số sau được đổi thành chữ số 2, còn chữ số 4 ở

n số đầu được đổi thành chữ số 2 và chữ số 3 ở n chữ số sau được đổi thành chữ số

1

Ví dụ với A =123442 Ta thực hiện như sau:

123442→123442123442→12121221221112

Như thế ta thu được một số có đúng n số 1 và n số 2 Rõ ràng đây là một đơn ánh

Để chứng minh đây là song ánh, ta xây dựng một ánh xạ ngược như sau: Với một

số có n chữ số

1 và n chữ số 2 Ta cắt n số đầu và n số cuối rồi thực hiện phép cộng 2 số lại theo quy tắc sau: 1+1=1,2+2=2,1+2=3,2+1=4 Ta thu được một số có n chữ số được tạo thành từ 1,2,3,4 và thỏa mãn đề bài Như vậy rõ ràng là ta chỉ ra được M=N

Tiếp theo, ta xét bài toán sau: Tìm số các số có n chữ số chỉ chứa các số 1,2,3,4 trong biểu diễn thập phân và có số 1 bằng số 2

Bài toán này không hề đơn giản, cách giải quyết truyền thống vẫn là đếm bình thường như sau: Giả sử i là số các chữ số 1 và chữ số 2 Vậy có cách chọn

vị trí cho i số 1 và i số 2 này Ở đây rõ ràng ta cần có điều kiện của I, ta có i ≤ Vậy còn lại n-2i vị trí trống để đặt các số 3 và 4 Vậy có cách xác định cho n-2i vị trí còn lại

Cho n 1 là một số nguyên dương và là số các tập con khác rỗng của tập

{1,2, ,n} sao cho trung bình cộng tất cả các phần tử của nó là một số nguyên Chứng minh rằng - n là một số chẵn

Hướng dẫn

Có n tập con 1 phần tử và các tập này đều thoả mãn điều kiện trong đầu bài Vậy ta chỉ cần chứng minh số các tập con nhiều hơn một phần tử có tính chất đó là một số chẵn là xong Ta hãy ghép các tập con này thành từng cặp như sau: Các tập có trung bình thuộc nó đi với một tập có trung bình không thuộc nó

Ví dụ 12:

Có 20 người xếp thành một vòng tròn Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho không có hai người kề nhau được chọn

Lời giải

Ta giải các bài toán tổng quát sau

Ví dụ 12.1 Có n người xếp thành một hàng dọc Có bao nhiêu cách chọn ra k

người, sao cho không có hai người kề nhau được chọn?

Cách 1 (Phương pháp song ánh) Ta giải như ở ví dụ 1

Lời giải

Ta lần lượt đánh số thứ tự của hàng người bằng các số nguyên dương là 1,2,3, ,n Vậy ta sẽ đưa đề về dạng : Cho n số nguyên dương 1,2,…,n.Hỏi có bao nhiêu cách chọn k số phân biệt trong n số đã cho sao cho không có 2 số nguyên liên tiếp nào? Một cách chọn thích hợp chính là bộ số 1 ≤ …< ≤ n thỏa mãn

Ngoài ra ánh xạ g = với cho chúng ta một đơn ánh từ B vào A.Vậy

Cách 2 : (Sử dụng bài toán chia kẹo của Euler) Giả sử ta chọn được k người Gọi

là số người tính từng người đầu tiên đến trước người thứ nhất được chọn, là

số người nằm giữa người thứ nhất và người thứ hai, …, là số người nằm giữa người thứ k-1 và người thứ k và +1 là số người nằm sau người thứ k đến cuối Khi đó ta có + + … + +1 = n – k (1) và , +1 là các số nguyên không

âm, còn , …, là các số nguyên  1 Ngược lại, nếu ( , …, +1) là một

nghiệm của (1) với , +1  0, , …,  1 thì ta cho tương ứng với cách chọn người thứ 1+ , 2+ + , …, k+ +…+ thì rõ ràng do (i + + …+ ) – (i-1 + + …+ -1) = 1 +  2 nên không có 2 người liên tiếp được chọn Để hoàn tất lời giải bài toán, ta đặt = , +1 = +1 và = – 1 với i=2, …, k thì được + + … + +1 = n – 2k + 1 (2) với là các số nguyên không âm Theo kết quả của định lý chia kẹo của Euler, ta có số nghiệm của (2) bằng Đó cũng chính là kết quả của bài toán ban đầu của chúng ta

Ví dụ 12.2 Có n người xếp thành một vòng tròn Có bao nhiêu cách chọn ra k

người, sao cho không có hai người kề nhau được chọn?

Bài toán này có thể giải bằng kết quả của bài toán trên và phương pháp « cắt đường tròn » Giả sử n người đó được đánh số 1, 2, …, n Ta xét các trường hợp sau : 1) Người số 1 được chọn Khi đó người số 2 và số n không được chọn Như vậy ta phải chọn thêm k-1 người từ 3 đến n-1 sao cho không có hai người kề nhau được chọn Vì n-1 không kề 3 nên có thể coi đây là n-3 người xếp theo một hàng dọc Theo kết quả của bài toán trên, số cách chọn bằng =

2) Người số 1 không được chọn Khi đó ta cần chọn k người từ số 2 đến n sao cho không có 2 người kề nhau được chọn Vì 2 và n không kề nhau nên có thể coi đây

là n-1 người xếp theo một hàng dọc Theo kết quả của bài toán trên, số cách chọn bằng Vậy đáp số của bài toán là:

=

Ví dụ 13:(Vô địch Trung Quốc - 1997)

Trong các xâu nhị phân có độ dài n, gọi a n là số các xâu không chứa 3 số liên tiếp

0, 1, 0 và b n là số các xâu không chứa 4 số liên tiếp 0,0,1,1 hoặc 1,1,0,0 Chứng minh rằng b n+1 = 2a n

Lời giải

Ta gọi một xâu thuộc loại A nếu nó không chứa 3 số liên tiếp 0, 1, 0 và gọi một xâu thuộc loại B nếu nó không chứa 4 số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1 hoặc 1, 1, 0,0 Với mỗi xâu X = (x1, x2, ., xn), ta xây dựng f(X) = (y1, y2, ., yn+1) như sau: