Đối với số tự nhiên liên tiếp : a Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu là số chẵn kết thúc là số lẻ hoặc bắt đầu là số lẻ và kết thúc bằng số chẵn thì số lợng số chẵn bằng số lợng số lẻ.. b
Trang 1BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
I Mục tiờu: Sau bài học, giỳp học sinh nắm được:
1 Đối với số tự nhiên liên tiếp :
a) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu là số chẵn kết thúc là số lẻ hoặc bắt đầu là
số lẻ và kết thúc bằng số chẵn thì số lợng số chẵn bằng số lợng số lẻ
b) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số chẵn và kết thúc bằng số chẵn thì số lợng số chẵn nhiều hơn số lợng số lẻ là 1
c) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số lẻ và kết thúc bằng số lẻ thì số l ợng
số lẻ nhiều hơn số lợng số chẵn là 1
2 Một số quy luật của dãy số thờng gặp:
a) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trớc nó cộng hoặc trừ một số tự nhiên d
b) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trớc nó nhân hoặc chia một số tự nhiên q (q > 1)
c) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng liền trớc nó d) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng các số hạng đứng liền trớc nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy
e) Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trớc nó nhân với số thứ tự của
số hạng ấy
f) Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự của số hạng đứng liền sau nó
3 Dãy số cách đều:
a) Tính số lợng số hạng của dãy số cách đều:
- Số số hạng = (số cuối - số đầu) : khoảng cỏch + 1
(d là khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp)
- Số cuối = số đầu + khoảng cỏch x (số số hạng - 1)
- Số đầu = số cuối - khoảng cỏch x (số số hạng - 1)
Ví dụ: Tính số lợng số hạng của dãy số sau:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100
Ta thấy:
4 - 1 = 3
7 - 4 = 3
10 - 7 = 3
97 - 94 = 3
100 - 97 = 3 Vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp
là 3 đơn vị Nên số lợng số hạng của dãy số đã cho là:
(100 - 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng) b) Tính tổng của dãy số cách đều:
Trang 2VÝ dô : Tæng cña d·y sè 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 lµ:
2
34 ) 100 1
= 1717
4 Làm tốt các bài tập.
II Chuẩn bị:
III Các hoạt động:
1 Tổ chức:
2 Bài cũ:
3 Bài mới: - Giới thiệu:
- Nội dung:
Phần 1: Giúp học sinh nắm được nội
dung kiến thức về lí thuyết như phần
thuyết
Phần 2: HDHS làm một số bài tập: - Học sinh tự làm bài rồi trình bày, nhận
xét bổ sung
Bµi 1: ViÕt tiÕp 3 sè h¹ng vµo d·y sè sau:
a) 1, 3, 4, 7, 11, 18, … d) 1, 4, 7, 10, 13, 16, …
b) 0, 3, 7, 12, … e) 0, 2, 4, 6, 12, 22, …
c) 1, 2, 6, 24, … g) 1, 1, 3, 5, 17, …
Bµi 2: ViÕt tiÕp 2 sè h¹ng vµo d·y sè sau:
a) 10, 13, 18, 26, … k) 1, 3, 3, 9, 27, …
b) 0, 1, 2, 4, 7, 12, … l) 1, 2, 3, 6, 12, 24,…
c) 0, 1, 4, 9, 18, … m) 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
d) 5, 6, 8, 10, … o) 2, 12, 30, 56, 90, …
e) 1, 6, 54, 648, … p) 1, 3, 9, 27, …
g) 1, 5, 14, 33, 72, … q) 2, 6, 12, 20, 30, …
h) 2, 20, 56, 110, 182,… t) 6, 24, 60, 120, 210,
Bµi 3: T×m sè h¹ng ®Çu tiªn cña
d·y sau BiÕt mçi d·y cã 10 sè
h¹ng:
a) , 17, 19, 21,
b) ., 64, 81, 100,
a) Nhận xét: Đây là dãy số cách đều, mỗi số hạng liền nhau hơn kém nhau 2 đơn vị
Số hạng đầu tiên của dãy là:
21 - 2 x (10 - 1) = 3 b) Nhận xét: Số hạng thứ 10 là:
100 = 10 x 10
Số hạng thứ 9 là; 81 = 9 x 9
Trang 3Số hạng thứ 8 là: 64 = 8 x 8
Quy luật của dóy là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nú nhõn với chớnh số thứ tự ấy
Vậy số hạng đầu tiờn của dóy là:
1 x 1 = 1
Đỏp số: a)3; b) 1
Bài 4: Tìm 2 số hạng đầu của
các dãy số, trong mỗi dãy đó có
15 số hạng :
a) , 39, 42, 45,
b) , 4, 2, 0
c) / 23, 25, 27, 29,
a) dóy số tăng dần và cỏch đều 3 đơn vị
Số hạng đầu tiờn là: 45 - 3 x (15 - 1) = 3
Số hạng thứ hai là: 3 + 3 = 6
Dóy số đầy đủ là: 3, 6, , 39, 42, 45
b) dóy số giảm dần và cỏch đều 2 đơn vị Do đú
số hạng đầu của dóy là:
0 + 2 x (15 - 1) = 28
Số hạng thứ hai của dóy là: 28 - 2 = 26 Dóy số đầy đủ là: 28, 26, , 4, 2, 0
c) Dóy số tăng dần và cỏch đều 2 đơn vị
Số hạng đầu là: 29 - 2 x (15 - 1) = 1
Số hạng thứ hai là 1 + 2 = 3
Dóy số đầy đủ là: 1, 3, 23, 25, 27, 29
Bài 5: Cho dãy số : 1, 4, 7,
10, , 31, 34,
a) Tìm số hạng thứ 100 trong
dãy
b) Số 2002 có thuộc dãy này
không?
a) Số hạng thứ nhất : 3 x (1 - 1) + 1 = 1
Số hạng thứ hai: 3 x (2 - 1) + 1 = 4
Số hạng thứ ba: 3 x (3 - 1) + 1 = 7
Quy luật:
Số hạng thứ 100 là:
3 x (100 - 1) + 1 = 398
b) Cỏc số hạng của dóy đều là số chia 3 dư 1 Do
2002 chia 3 dư 1 nờn số 2002 thuộc dóy
Bài 6: Cho dãy số : 3, 18, 48,
93, 153,
a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy
b) Số 11703 là số hạng thứ bao
nhiêu của dãy?
- Học sinh tự làm bài rồi chữa bài,
Bài 7: Cho dãy số 10, 11, 12, 13,
, x Tìm x để tổng của dãy số
…
trên bằng 5106
Dóy đó cho cú x - 9 (số hạng)
Ta cú: (10 + x) x (x - 9): 2 = 5106 (10 + x) x (x - 9) = 5106 x 2 = 10212 (10 + x) và (x - 9) là hai số tự nhiờn hơn kộm nhau 19 đơn vị
Bài 8: Hãy cho biết :
a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy
90, 95, 100, hay không?…
a) Dóy số 90, 05, 100, là dóy số chia hết cho 5, cỏch đều nhau 5 đơn vị và cú số hạng nhỏ nhất là
90 Số 50 chia hết cho 5 nhưng nhỏ hơn 90 nờn
Trang 4b) Số 1996 thuộc dãy 2, 5, 8, 11,
hay không?
…
c) Số nào trong các số 666,
1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12,
24, ?…
Hãy giải thích tại sao?
khụng thuộc dóy Số 133 lớn hơn 90 nhưng khụng chia hết cho 5 nờn cũng khụng thuộc dóy
b) Dóy số 2, 5, 8, 11, là dóy cỏc số chia cho 3
dư 2, cỏch đều nhau 3 đơn vị Số 1996 chia 3 dư 1 nờn khụng thuộc dóy
c) Dóy số 3, 6, 9, 12, là dóy số chia hết cho 3 Trong cỏc số 666, 1000, 9999 cú số 666 và 9999 chia hết cho 3 nờn hai số này thuộc dóy, số 1000 chia 3 dư 1 nờn khụng thuộc dóy
Bài 9: Cho dãy số 1, 7, 13, 19,
25, Hãy cho biết các số: 351,…
400, 570, 686, 1975 có thuộc
dãy số đã cho hay không?
- Dóy 1, 7, 13, 19, là dóy số chia 6 dư 1, cỏch đều 6 đơn vị Cú số 1975 chia cho 6 dư 1 nờn số
1975 thuộc dóy Cỏc số 351, 400, 570, 686 khụng thuộc dóy
Bài 10: Cho dãy số tự nhiên liên
tiếp 1, 2, 3, 4, , 1999 Hỏi dãy
số đó có bao số hạng ?
- Dóy số 1, 2, 3,4, , 1999 là dóy số tự nhiờn liờn tiếp nờn cú số số hạng là :
(19991- 1) + 1 = 1999 Hoặc 1999 - (1 - 1) = 1999
Bài 11: Cho dãy số chẵn liên
tiếp 2, 4, 6, 8, 10, , 2468 Hỏi
dãy có:
a) Bao nhiêu số hạng?
b) Bao nhiêu chữ số?
a) Đõy là dóy số chẵn nờn hai số liền nhau hơn kộm nhau 2 đơn vị
Cú số sú hạng là:
(2468 - 2) : 2 + 1 = 1234 (số) b)- Từ 2 đến 8 cú 4 số mỗi số cú 1 chữ số nờn cú
số chữ số là : 4x1= 4(chữ số)
- Từ 10 đến 98 cú (98 - 10) : 2 + 1 = 45(số) Mỗi
số cú hai chữ số nờn từ 10 đến 98 cú: 45 x 2 = 90 (chữ số)
- Từ 100 đến 998 cú (998 - 100):2 + 1= 450 (số) Mỗi số cú ba chữ số nờn từ 100 đến 998 cú : 450 x
3 = 1350 (chữ số)
- Từ 1000 đến 2468 cú: (2468 - 1000):2 + 1 = 735 (số) Mỗi số cú bốn chữ số nờn từ 1000 đến 2468 cú: 735 x 4 = 2940 (chữ số)
Vậy dóy số đó cho cú số chữ số là:
4 + 90 + 1350 + 2940 = 4384 (chữ số) Đỏp số: a) 1234 số; b) 4384 chữ số
Bài 12: Cho dãy số 1, 5, 9,
13, , 2005 Hỏi:
a) Dãy số có bao nhiêu số hạng?
b) Dãy số có bao nhiêu chữ số?
a) Đõy là dóy số chia 4 dư 1 và cỏch đều 4 đơn vị
Dóy số cú số số hạng là:
(2005 - 1) : 4 + 1 = 502 (số hạng) b) Từ 1 đến 9 cú 3 số, mỗi số cú một chữ số nờn
từ 1 đến 9 cú 3 x 1 = 3 (chữ số)
Trang 5- Từ 13 đến 97 cú: (97 - 13) : 4 + 1= 25 (số) mỗi
số cú hai chữ số nờn từ 13 đến 97 cú : 25 x 2 = 50 (chữ số)
- Từ 101 đến 997 cú: (997 - 101) : 4 + 1 = 225 (số), mỗi số cú ba chữ số nờn từ 101 đến 997 cú :
225 x 3 = 675 (chữ số)
- Từ 1001 đến 2005 cú: (2005 - 1001) : 4 + 1 =
252 (số),mỗi số cú bốn chữ số nờn từ 1001 đến
2005 cú:
252 x 4 =1008 (chữ số)
Vậy dóy số trờn cú số chữ số là:
3 + 50 + 675 + 1008 = 1736 (chữ số)
Đỏp số:
Bài 13: Hãy tính tổng của các
dãy số sau:
a) 4, 9, 14, 19, 24, , 999…
b) 1, 5, 9, 13, 17, Biết dãy số…
có 80 số hạng
c) , 17, 27, 44, 71, 115 Biết
dãy số có 8 số hạng
a) Đõy là dóy số cỏch đều nhau 5 đơn vị
Dóy số đó cho cú số số hạng là:
(999 - 4) : 5 + 1 = 200 (số hạng) Tổng của dóy số là:
(4 + 999) x 200 : 2 =100300
b) Nhận xột Quy luật :
Số hạng = 4 x (Số thứ tự - 1) + 1
Số hạng thứ 80 là:
4 x (80 - 1) + 1 = 317
Tổng của dóy là:
(1 + 317) x 80 : 2 = 12720
c)
Bài 14: Tính nhanh:
a) Tính tổng các số lẻ liên tiếp từ
1 đến 1995
b) Tính tổng của 100 số tự nhiên
đầu tiên
a) Tổng cỏc số lẻ liờn tiếp từ 1 đến 1995 là:
1 + 3 + 5 + + 1993 + 1995
Số số hạng của tổng là:
(1995 - 1) : 2 + 1 = 998 (số hạng)
Tổng của dóy là:
(1 + 1995) x 998 : 2 = 996004
b) Tổng của 100 số tự nhiờn liờn tiếp đầu tiờn là:
0 + 1 + 2 + 3 + + 98 + 99
= (0 + 99) + (1 + 98) + + (49 + 50)
= 99 + 99 + + 99 (cú 100:2 = 50 thừa số 99)
= 99 x 50 = 4950 Đỏp số:
Bài 15: Tính:
a) 1- 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9
b) 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + +…
a) 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9
= (1 + 3 + 5 + 7 + 9) - (2 + 4 + 6 + 8)
= 25 - 20 = 5
Trang 691 - 93 + 95 - 97 + 99.
c) 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 +
+ 98 - 99 - 100 + 101
…
b) Làm tương tự
c) nhúm 2 số vào một nhúm: (5 - 4 + 2- 3); (9 - 8 + 6 - 7), mỗi nhúm đều cú giỏi trị là 1 - 1 = 0 (đơn vị)
Từ 2 đến 101 cú số nhúm là:
(101 - 1 + 1) : 4 = 25 (nhúm) Vậy tổng của dóy là: 1 + 0 x 25 = 1
Bài 16: Để đánh số trang sách
của một cuốn sách dày 220
trang, ngời ta phải dùng bao
nhiêu lợt chữ số?
- Từ trang 1 đến trang 9 cú 9 trang, mỗi trang cần
1 chữ số Vậy từ trang 1 đến trang 9 cần 9 chữ số
- Từ trang 10 đến trang 99 cú: 99 - 10 + 1 = 90 (trang), mỗi trang cần 2 chữ số Vậy từ trang 10 đến trang 99 cần số chữ số là:
90 x 2 = 180 (chữ số)
- Từ trang 100 đến trang 220 cú :
220 - 100 + 1 = 121 (trang) mỗi trang cần 3 chữ số Vậy từ trang 100 đến trang 220 cần cú:
121 x 3 = 363 (chữ số) Cuốn sỏch đú cần số chữ số là:
9 + 180 + 363 = 552 (chữ số) Đỏp số: 552 chữ số
Bai 17: Để đánh số thứ tự các
trang sách của sách giáo khoa
Toán 4, ngời ta phải dùng 216
l-ợt các chữ số Hỏi cuốn sách đó
dày bao nhiêu trang?
- Làm tương tự bài 16
Cần số chữ số là:
9 + 180 + 351 = 536 (chữ số)
Bài 18: Trong một kỳ thi có 327
thí sinh dự thi Hỏi ngời ta phải
dùng bao nhiêu lợt chữ số để
đánh số báo danh cho các thí
sinh dự thi?
- Làm tương tự bài 16 và 17
Bài 19: Trong một kỳ thi học
sinh giỏi lớp 4, để đánh số báo
danh cho các thí sinh dự thi ngời
ta phải dùng 516 lợt chữ số Hỏi
kỳ thi đó có bao nhiêu thí sinh
tham dự?
- Làm tương tự bài 16, 17, 18
Bài 20: Cho dãy số tự nhiên liên
tiếp từ 1 đến 1983 đợc viết theo
thứ tự liền nhau nh sau:
2345678910111213…19821983
- Làm tương tự bài 16 ,17, 18, 19
Trang 7Hãy tính tổng của tất cả các chữ
số vừa viết
Bài 21: Cho dãy số tự nhiên liên
tiếp bắt đầu từ 1 đến 1995 Hỏi
trong dãy số đó có:
a) Bao nhiêu chữ số 1?
b) Bao nhiêu chữ số 5?
b) - Cỏc số cú chữ số 5 ở hàng đơn vị là: 5, 15, 25,
35, 1995
Cú số chữ số 5 ở hàng đơn vị là:
(1995 - 5) : 10 + 1 = 200 (chữ số)
- Số chữ số 5 ở hàng chục là:
+ Nếu hàng trăm là 0 thỡ cú: 50, 51, , 59 Hay cú
59 - 50 + 1 = 10 (chữ số 5) + Nếu hàng trăm là 1 (hoặc 2, 3, 4, , 19) thỡ cũng
cú 10 chữ số 5 ở hàng chục
Vậy ở hàng chục cú:
20 x 10 = 200 (chữ số 5)
- Số cú chữ số 5 ở hàng trăm là:
+ Nếu hàng nghỡn là 0 thỡ cú: 500, 501, 599 Hay cú: 599 - 500 + 1 = 100 (chữ số 5)
+ Nếu hàng nghỡn là 1, thỡ cũng cú 100 chữ số 5 ở hàng trăm
Vậy ở hàng trăm cú:
2 x 100 = 200 (chữ số 5) Vậy từ 1 đến 1995 cần sử dụng số chữ số 5 là:
200 + 200 + 200 = 600 (chữ số 5) a) Tương tự phần b)
Bài 22: Khi viết tất cả các số tự
nhiên từ 1 đến 500 Hỏi phải sử
dụng bao nhiêu chữ số 5?
- Cỏc số cú chữ số 5 ở hàng đơn vị là: 5, 15, 25,
35, 545
Cú số chữ số 5 ở hàng đơn vị là:
(545 - 5) : 10 + 1 = 55 (chữ số)
- Số cú chữ số 5 ở hàng trăm là: 500 (1 chữ số)
- Số cú chữ số 5 ở hàng chục là:
+ Nếu hàng trăm là 0 thỡ cú 10 số: 50, 51, , 59 + Tương tự, nếu hàng trăm là 1 cú 10 chữ số 5 ở hàng chục là: 150, 151, 159); (250, 251, , 259 + Hàng trăm là 2, 3,và 4 cũng cú tương tự
Do đú nếu chữ số 5 ở hàng chục thỡ cú:
5 x 10 = 50 (chữ số 5) Vậy từ 1 đến 500 cần sử dụng số chữ số 5 là:
55 + 1 + 50 = 106 (chữ số 5) Đỏp số: 106 chữ số 5
Bài 23: Cho dãy số: 1, 2, 3, 4, 5,
, x Tìm x biết dãy có 1989
…
- Từ 1 đến 9 cú 9số, mỗi số cú 1 chữ số Do đú, từ
1 đến 9 cú 9 chữ số
Trang 8chữ số - Từ 10 đến 99 cú 90 số, mỗi số cú hai chữ số Do
đú, từ 10 đến 99 cú số chữ số là:
90 x 2 = 180 (chữ số)
- Từ 1 đến 99 cú số chữ số là:
180 + 9 = 189 (chữ số) Cũn lại số chữ số ở số cú 3 chữ số là:
1989 - 189 = 1800 (chữ số)
Cú số số cú 3 chữ số là:
1800 : 3 = 600 (số cú 3 chữ số)
Đú là cỏc số: 100, 101, 102, , 159
Vậy X = 159
Bài 24: Cho dãy số: 0, 2, 4, 6, 8,
, x Tìm x để số chữ số của
dãy số gấp 2 lần số số hạng
- Từ 0 đến 8 cú 5 số, mỗi số cú 1 chữ số, để số chữ số gấp 2 lần số số hạng thỡ mỗi số hạng phải được “bự” thờm 1 chữ số Do đú cần “bự” thờm 5 chữ số
- Từ 10 đến 98, mỗi số cú hai chữ số, số cỏc chữ
số gấp 2 lần số số hạng
- Từ 100 là cỏc số cú 3 chữ số, để số chữ số gấp 2 lần số số hạng thỡ mỗi số phải “bớt” đi 1 chữ số
Để số chữ số của dóy gấp 2 lần số số hạng thỡ số chữ số bớt đi phải bằng số chữ số “bự” thờm Do
đú cần 5 số cú 3 chữ số Đú là cỏc số : 100, 101,
102, 103 và 104
Vậy X = 104
Bài 25: Cho dãy số: 0, 1, 2, 3, 4,
, x Tìm x để số chữ số của
…
dãy gấp 3 lần số số hạng
- Từ 0 đến 9 cú 10 số, mỗi số cú 1 chữ số, để số chữ số gấp 3 lần số số hạng thỡ mỗi số hạng phải được “bự” thờm 2 chữ số Do đú cần “bự” thờm:
10 x 2 = 20 (chữ số)
- Từ 10 đến 99 cú 90 số, mỗi số cú hai chữ số, để
số cỏc chữ số gấp 3 lần số số hạng thỡ mỗi số phải được “bự” thờm 1 chữ số
Do đú, cần “bự” thờm 90 chữ số
- Từ 100 đến 999, mỗi số cú 3 chữ số Số số chữ
số đó gấp 3 lần số số hạng
- Từ 1000 là cỏc số cú 4 chữ số, để số chữ số gấp
3 lần số số hạng thỡ mỗi số phải “bớt” đi 1 chữ số
Để số chữ số của dóy gấp 3 lần số số hạng thỡ số chữ số bớt đi phải bằng số chữ số “bự” thờm Do
đú cần số cú 4 chữ số là:
20 + 90 = 110 (số cú 4 chữ số)
Trang 9Đó là các số : 1000, 1001, 1002, , 1109.
Vậy X = 1109
Bài 26: Số chữ số dùng để đánh
số trang của một quyển sách là
một số chia hết cho số trang của
cuốn sách đó Biết rằng cuốn
sách đó trên 100 trang và ít hơn
500 trang Hỏi cuốn sách đó có
bao nhiêu trang?
Bài giải :
Vì cuốn sách đó trên 100 trang và ít hơn 500 trang nên số trang của cuốn sách đó là một số có 3 chữ số
Gọi số trang của cuốn sách đó là với a, b, c là các chữ số và a khác 0
Các số trang của cuốn sách là các số tự nhiên từ
1 đến
Có 9 trang có 1 chữ số nên cần 9 chữ số để đánh
số trang cho các trang này
Có 90 trang có 2 chữ số nên cần 2 x 90 = 180 (chữ số) để đánh số trang cho các trang này Số trang có 3 chữ số là - 99 trang Số chữ số dùng
để đánh số trang có 3 chữ số là : 3 x ( - 99)
Số chữ số dùng để đánh số trang của cuốn sách
đó là : 9 + 180 + 3 x ( - 99) = 189 + 3 x -
297 = 3 x - 180
Vì số chữ số dùng để đánh số trang của cuốn sách là số chia hết cho số trang của cuốn sách đó nên chia hết cho hay 108 chia hết cho Suy ra chính bằng 108 Vậy cuốn sách đó có 108 trang
4, Củng cố dặn dò:
- Nhắc lại nội dung chính và
HDVN