SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi: TOÁN - Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang I.. 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Môn thi: TOÁN - Giáo dục trung học phổ thông
Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm) Cho hàm số y=2x3−3x2+1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên
2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x3−3x2+ =1 log2m
Câu 2 (3,0 điểm)
1) Giải phương trình 2 1
2 log x− −3 log 3x− =7 2
2) Tính I =
1
1 ( ) ln
e
x
+
∫
3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 4sin3
3
Câu 3 (1,0 điểm)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có mặt A’BC là tam giác đều cạnh a Biết góc BAC = 1200, tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
II PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được chọn phần A (câu 4a & 5a) hoặc phần B (câu 4b & 5b)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 4a (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và đường thẳng d có phương trình:
(S):x2 + y2 +z2 −2x−4y−6z−11=0 d :
2 1
1 2
z y
x = − = 1) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng d 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với d
Câu 5a (1,0 điểm) Giải phương trình 2
(z+1) +2(z+ + =1) 5 0 trên tập số phức
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 4b (2,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình x 1 y 2 z 3
+ = − = +
− 1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và chứa đường thẳng d Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) (có tâm A và đi qua gốc tọa độ O) và vuông góc với d
Câu 5b (1,0 điểm) Giải phương trình z
z
z
−
−
− 2
9 ) 1 (
2
trên tập số phức
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Môn thi: TOÁN - Giáo dục trung học phổ thông
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang
I Hướng dẫn chung
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng
phần như hướng dẫn quy định
2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai
lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm
tròn thành 1,0 điểm)
II Đáp án và thang điểm
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
C©u 1
(3,0 điểm) 1) (2,0 điểm) Tập xác định D R=
chiều biến thiên: y' 6= x2−6x∀∈D ' 0y = ⇔ =x 0;x=1 0,5 hàm số đồng biến trên:(−∞;0 ; 1;) ( +∞) ;hàm số nghịch biến trên :( )0;1
Hàm số có: cực đại tại x CD =0;y CD =1;cực tiểu tại x CT =1;y CT =0 0,5 giới hạn: limx→−∞y= −∞; limx→+∞y= +∞
Đồ thị hàm số không có tiệm cận bảng biến thiên:
0,5
Đồ thị : đi qua ( 1;0); 3;1
÷
" 12 6, " 1
2
y = x− y = ⇔ =o x và đổi dấu khi x qua giá trị 1
2
x= ,đồ thị có điểm uốn ( ; )1 1
2 2
0,5
2 (1,0 điểm)
Điều kiện: m > 0
Vẽ được đồ thị hàm số f x( )= 2x3−3x2+1
Đồ thị hàm số g x( ) log= 2mlà đường thẳng song song với trục hoành Ox
0,25
Số nghiệm số của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị y=f(x) và y=g(x) 0,25
Từ đồ thị ta có:
m < 1: phương trình vô nghiệm
m∈(2;+∞) { }U 1 : phương trình có 2 nghiệm 1<m<2: phương trình có 4 nghiệm
m=2: phương trình có 3 nghiệm
0,50
4
2
-2
-4
y
x o
h x ( ) = l n m( )
l n 2 ( )
f x ( ) = 2 ( ⋅ x 3 -3 ⋅ x 2 ) +1
1
0
+∞
- ∞
1
- ∞ y' y
x
5 4 3 2 1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
U 0
y
x
Trang 3C©u 2
(3,0 điểm) 1) (1,0 điểm)
Điều kiện: x > 3
Khi đó pt tương đương với: log2 (x−3 3) ( x−7) =2 0,25 ⇔ (x−3 3) ( x−7) =4 0,25 2
3x 16x 5 0
⇔ − + = ⇔ x=5 hoặc 1
3
Đối chiếu với điều kiện, nghiệm của pt là: x=5 0,25
2 (1,0 điểm)
+) Tính được
2
ln xdx
e
+) Tính được
1
e
Suy ra:
2 3 4
e
3) (1,0 điểm)
Đặt t=sinx t∈ −[ 1;1] Ta có 4 3 [ ]
3
'( ) 1 4 ,
f t = − t '( ) 0 1; 1
Tính giá trị của hàm số f(t) tại các điểm 1, 1
2
t= ± t= ± ( )1 1 1, ( )1 1 1
f = f − = − f − = f =
0,25
Suy ra: max 1
3
x R y
3
x R y
Chú ý:
3 3s 4sin sin 3
Suy ra: max 1
3
x R y
3
x R y
C©u 3
(1,0 điểm) + Vẽ hình đúng và lập luận chứng minh được
tam giác BAC cân tại A
+ Tính được cạnh AB = 3
3
a
và diện tích tam giác ABC :S=
2 3 12
a
0,50
Tính được chiều cao của lăng trụ h =AA’= 6
3
a
Tính được thể tích của lăng trụ V= S.h =
3 2 ( ) 12
a
dvtt
0,50
α
a
a
a
120 0
I
C'
B' A'
A
B
C
Trang 4II PHẦN TỰ CHỌN ( 3,0 điểm)
A Theo chương trình Chuẩn
C©u 4a
(2,0 điểm)
1) (1,0 điểm)
Toạ độ tâm I(1; 2;3), bán kính R=5 0,25 Viết được phương trình mp(P) đi qua I và vuông góc với d: 2x y+ +2z− =10 0 0,25 Tìm được giao điểm H của d và (P): H(2; 2; 2) 0,25 Khoảng cách từ I đến d là h IH= = 2 0,25
2) (1,0 điểm)
Mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với d có phương trình dạng
2x y+ +2z m+ =0 m R∈ Sử dụng điều kiện tiếp xúc ta có: ( ,( )) 5d I α = 0,50 <=> 2.1 2 2.32 2 2 5
2 1 2
m
+ + +
= + + <=>m=5;m= −25. Phương trình các mặt phẳng cần tìm là:
2x y+ +2z+ =5 0; 2x y+ +2z−25 0.=
0,50
C©u 5a
(1,0 điểm) Phương trình tương đương với
nghiệm của phương trình là: z= − −2 2i và z= − +2 2i 0,25
B Theo chương trình Nâng cao
C©u 4b
(2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Đường thẳng d đi qua M (-1; 2;-3) có VTCP ur=(2;1; 1− ), có MAuuur=(2; 4;6− ) 0,25 Mặt phẳng ( )α đi qua điểm A(1;-2; 3) và chứa đường thẳng d nên có véctơ pháp
tuyến nr=MA uuuur r, = −( 2;14;10) 0,25 Phương trình của ( )α là x−7y−5z=0 0,25
Tính được: d A d( , ) MA u, 5 2
u
uuur r
2 (1,0 điểm)
Mặt cầu (S) (có tâm A và đi qua gốc tọa độ có bán kính R= 14 0,50 mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với d có phương trình dạng
2x + y – z + m = 0 Sử dụng điều kiện tiếp xúc ta được:
d A( ,( )α =) 14 <=> 3 14 3 2 21; 3 2 21
6
m
−
= <=> = + = − Phương trình mặt phẳng ( )α là:
2x y – z 3 2 21 0 ; 2x y – z 3 2 21 0+ + + = + + − =
0,50
C©u 5b
(1,0 điểm) + Điều kiện z≠2.Khi đó PT tương đương với 2
2(1 ) 9 2 0
z − +i z+ + =i 0,25 + ( )2
' 1 i (9 2 )i 9
+ Tìm được nghiệm của phương trình: z = 1- 2i ; z =1+4i ( thoả mãn z ≠2) 0,25
