Gọi K là trung điểm của đoạn OB.. Đ-ờng thẳng AK cắt đĐ-ờng tròn tại điểm E.. b, Đờng thẳng AB cắt OC tại điểm D.
Trang 1Đề thi vào lớp chuyên Nga - Pháp
Trờng Lam sơn - Năm học :2000-2001
Bài 1 : 2 điểm
Cho 2 số : x1=
2
1
2 , x2 =
2
1
2
a, Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là x1 và x2.
b,Tính : x3
1 +x3
2
Bài 2 : 2điểm :
Xét biểu thức : A = y2- 5xy +6x2
a, Phân tích A thành nhân tử
b, Tìm các cặp số (x;y) thoả mãn điều kiện :
x- y +1 = 0 và A = 0
Bài 3 : 2điểm :
Cho a,b c là 3 số dơng và
b c a
2 1 1
Chứng minh BĐT : 4
2
b c
b c b a
b a
Bài 4: 2.5điểm :Giải hệ phơng trình :
x3+y3 =1
x5+y5 = x2+y2
Bài 5 : 2.5điểm :
Cho góc xOy và một đờng tròn tiếp xúc với 2 cạnh của góc đó tại Avà B Qua A kẻ đờng thẳng song song với OB cắt đờng tròn tại điểm C Gọi K là trung điểm của đoạn OB Đ-ờng thẳng AK cắt đĐ-ờng tròn tại điểm E
a,Chứng minh:ba điểm O , E , C thẳng hàng
b, Đờng thẳng AB cắt OC tại điểm D Chứng minh :
DC
DE OC
OE
Hớng dẫn chấm Toán (Chuyên Nga -Pháp )
2000-2001 Bài 1: 2điểm :
Câu a: 1 điểm :
Ta có: x1x2 =
4
1
; x1+x2= 2 (0.25đ) Vậy pt bậc 2 có 2 nghiệm là 2 số đã cho là :
Trang 2x2- 2x +
4
1
=0 4x2 - 4 2x +1 = 0 (0.75đ)
Câu b :1điểm :
Ta có : x3
1 + x3
2 = (x1+x2)[(x1+x2)2- 3x1x2] (0.5đ) =
4
1 2
4
2
7 ( 0.5đ)
Bài 2: 2điểm :
Câu a : 1điểm:
Ta có : A =y2 -2xy - 3xy +6x2 = y(y -2x) - 3x(y -2x) = (y -2x)(y - 3x) (1đ)
Câu b : 1điểm :
Ta có A = 0
y-2x =0
y - 3x = 0 (0.25đ)
Do đó để thoả mãn đk bài toán ta phải có 2 hệ pt sau :
y - 2x = 0 y - 3x = 0
x-y + 1 = 0 (1) x - y + 1 = 0 (2) (0.25đ)
Hệ (1) có nghiệm x=1 ; y = 2 (0.25đ)
Hệ (2) có nghiệm x=
2
1
; y =
2
3
(0.25đ)
Bài 3: 2điểm :
Ta có :
b c
a
2 1
1
c a
ac
2
(0.5đ) Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành :
2 2
2 2
2
2
c a
ac c
c a
ac c c a
ac a
c a
ac a
2
3 2
3
2
2 2
2
c
ac c a
ac a
1+ 4
2
3
c
a a c
2
c
a a
c
Bài 4: 1.5điểm:
Hệ đã cho tơng đơng với :
x3+ y3 = 1
x5 + y5 =(x2+ y2)(x3+y3)
x3+y3 = 1 (1)
Xảy ra các trờng hợp sau :
+ Nếu x = 0 thì kết hợp với (1) ta đợc y = 1 (0.25đ)
+Nếu y = 0 thì kết hợp với (1) ta đợc x = 1 (0.25đ)
+Nếu x + y = 0 x = - y x3+y3 = 0 nên (1) không thoả mãn (0.25đ)
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là :(x= 0;y = 1) ;(x= 1;y= 0) (0.25đ)
Bài 5: 2.5điểm :
Câu a: 1.5điểm :
Ta có EBK ~KAB (vì có góc AKB chung góc EBK = góc KAB (cùng chắn cung
BE ).Suy ra:
Trang 3
OK
KA KF
OK KA
KE OK KA KE KB KB
KA
KE
KB
mà góc OKA chung EKB ~KAB góc EOK =góc OAK (1) (0.5đ)
ta lại có : góc OAK = góc ACE
(cùng chắn cung AE)(2)
Từ (1) và (2)suy ra :
Góc EOK =góc ACE (0.5đ)
Xét OEK và AEC
Ta suy ra :góc OEK = góc AEC A C
suy ra O,E,Ccũng thẳng hàng(0.5đ)
Câu b: 1điểm:
Qua E kẻ đờng thẳng // với OB I E H
cắt AO tại I,cắtAB tại H O B
Ta có : EI =EH (1) (0.25đ)
AC
EH DC
DE AC
IE OC
OE
Từ (1) ,(2)và (3)ta có :
DC
DE OC
OE