Chuyên đề ôn thi đại học, cao đẳng hình học không gian

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Tài liệu được dùng cho học sinh ôn thi ĐH – CĐ (đặc biệt là khối lớp 12) Tài liệu được biên soạn theo cấu trúc đề thi của Bộ GDĐT năm 2015. Tài liệu được trình bày theo bố cục như sau: A. Phần 1 Lý thuyết căn bản 1.1 Phương pháp tọa đị trong không gian 1.2 Khối đa diện B. Phần 2 Các dạng bài tập và phương pháp giải C. Phần 3 Bài tập ví dụ cụ thể có lời giải chi tiết D. Phần 4 Giới thiệu một số câu hỏi trong đề thi Đại học – Cao đẳng Tuy mình đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh được những sai xót nhất định. Rất mong các bạn gửi những phần sai xót về địa chỉ email: minhvuong181293gmail.com Xin trân thành cám ơn Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh an toàn, nghiêm túc và đạt hiệu quả tốt nhất Thái Nguyên, ngày 09112014 Chủ biên: Trương Minh Vương

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

- Tài liệu được dùng cho học sinh ôn thi ĐH – CĐ (đặc biệt là khối lớp 12)

- Tài liệu được biên soạn theo cấu trúc đề thi của Bộ GD&ĐT năm 2015

- Tài liệu được trình bày theo bố cục như sau:

1.1 Phương pháp tọa độ trong không gian 1.2 Khối đa diện

Xin trân thành cám ơn!!!

Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh an toàn, nghiêm túc và đạt hiệu quả tốt nhất!

Thái Nguyên, ngày 09/11/2014

Chủ biên:

Trương Minh Vương

A LÝ THUYẾT CĂN BẢN

1.1 Phương pháp tọa độ trong không gian

I TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ

A Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn

II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT

O

z

x

y

hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Ax+By+Cz+D=0

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ n0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu giá của

vectơ n vuông góc với mặt phẳng (P)

n a b là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát có dạng Ax+By+Cz+D=0 với A2B2C2 0

- Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax+By+Cz+D=0 thì

mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là nA B C; ; 

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0x y z0; 0; 0 với vectơ pháp tuyến

 ; ; 

n A B C có phương trình là: A x x  0B y y  0C z z  00

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) thì phương trình mặt phẳng (P) là: x y z 1

a  b c với a b c0

 một số mặt phẳng thường gặp:

a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0

b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có n(ABC)  [AB AC, ]

c/ n n d/ n u và ngược lại e/ du u d f/ d

d

n u

x z

x y

2 d(I, )=R: (S)=M (M gọi là tiếp điểm)

*Điều kiện để mặt phẳng  tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng  là tiếp diện của

mặt cầu (S) tại M khi đó n =IM )

3 Nếu d(I, )<R thì  sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của  và

(S) Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau:

a Tìm r = 2 2

- ( , )

R d I 

b Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng  qua I, vuông góc với 

+H= (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình  với )

1.2 Khối đa diện

a/ Giữa hai đường thẳng:

Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc giữa

hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua O và lần lượt song song với

- Gọi  là giao tuyến của (P) và (Q) và I 

- đường thẳng a ( )P và vuông góc với  tại I

- đường thẳng b ( )Q và vuông góc với  tại I

Khi đó: (a,b) = ((P),(Q))

CÔNG THỨC TÍNH TOÁN THƯỜNG DÙNG

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

A

Q P

I

A  B  C  (R: bán kính dường trong ngoại tiếp ABC)

3) Công thức tính diện tích tam giác

c) Hình thoi: S = nửa tích hai đường chéo

d) Hình thang: S = [(Đáy lớn + Đáy nhỏ) x Chiều cao] chia 2

e) Hình bình hàng: S = Đáy x Chiều cao

g) Hình tròn: S .R2

h) Tứ giác có hai đường chéo x, y vuông góc: 2S = x.y

5) Chú ý:

Đường chéo của hình vuông cạnh a là: a 2

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là: a 3

Đường chéo của hình hộp chữ nhật cạnh a, b, c là: 2 2 2

II) CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Cách 1: Ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó

Cách 2: Sử dụng hệ quả của định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (Định lý 2.SGK.Tr57)

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng

đó

Cách 3: Sử dụng định lí 2 SGK Tr61 và hệ quả của nó

- Định lí: Cho đường thẳng a song song mp(P) mp(Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến là

b thì b song song với a

- Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó

Cách 4: Sử dụng định lí 3 SGK Tr67

Cho hai mặt phẳng song song Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau

*) Chú ý: Phương pháp chung sử dụng cách 2, 3, 4 là:

- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng

- Các định lí, hệ quả ở cách 2, 3, 4 cho ta phương của giao tuyến theo một đường thẳng Từ đó xác định được giao tuyến

Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia

Dạng toán 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy

- CM ba điểm thẳng hàng ta CM chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt

- CM ba đường thẳng đồng quy ta CM giao điểm của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt mà giao tuyến là đường thẳng thứ 3

Dạng toán 4: Tìm thiết diện của một mặt phẳng và một hình

- Xác định các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình

- Xác định giao điểm của các giao tuyến với các cạnh của hình đến khi ta thu được một đa giác khép kin, đa giác khép kín đó chính là thiết diện

Dạng toán 5: Chứng minh hai đường thẳng song song

Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (đường trung bình, định lí talét đảo,…)

Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba

Cách 3: Áp dụng các định lí về giao tuyến (Cách 2, 3, 4 – Bài toán 1)

Cách 4: CM hai đường thẳng đó cùng vuông góc với một mặt phẳng

Dạng toán 6: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Cách 1: Áp dụng định lí: Đường thẳng d không nằm trong (P) và d song song với một đường

thẳng d’ nằm trong (P) thì d song song với (P)

Cách 2: CM đường không nằm trong mặt và CM đường thẳng và mặt phẳng đó cùng song song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc một mặt phẳng

Dạng toán 7: Chứng minh hai mặt phẳng song song

Cách 1: Áp dụng định lí: Một mp(P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và hai đường thẳng này

cùng song song với mp(Q) thì (P) song song với (Q)

Cách 2: CM hai mặt phẳng này phân biệt và CM hai mặt phẳng đó cùng song song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc một mặt phẳng

Bài toán 8: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Cách 2: Áp dụng định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P),

đường thẳng b nằm trong (P), a’ là h.c.v.g của a lên (P)

Bài toán 9: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

Cách 1: Ta CM a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(P)

Cách 2: / /

( )( )

Bài toán 10: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Ta CM mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

( )( ) ( )

Bài toán 11: Xác định góc giữa đường thẳng a và mp(P)

Cách 1: Là góc giữa a và hình chiếu a’ của a lên (P)

Cách 2: Là góc giữa a và đường thẳng b, với b//(P)

Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không bao giờ tù

Bài toán 12: Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q)

Cách 1: - Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

- Xác định đường thằng a thỏa mãn: a(P), ad

- Xác định đường thẳng b thỏa mãn: b(Q), bd Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b

Cách 2: Là góc giữa hai đường thẳng a và b, với a(P) và b(Q)

Bài toán 13: Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đường thẳng

- Xác định h.c.v.g của điểm lên mp, đường thẳng

- Khoảng cách là đoạn nối điểm cho với hình chiếu của nó

Bài toán 14: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song

Cách 3: Xác định độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Cho a, b chéo nhau

Thì - d: đường vuông góc chung

- MN: đoạn vuông góc chung

Bài toán 17: Công thức tính thể tích khối đa diện

1) Thể tích khối lập phương: V a3 (a kích thước cạnh)

2) Thể tích khối hộp chữ nhật: V a b c (a, b, c kích thước ba cạnh)

3) Thể tích khối lăng trụ: V  B h (B: diện tích đáy, h: chiều cao)

4) Thể tích khối chóp: 1

3

V  B h (B: diện tích đáy, h: chiều cao)

Bài toán 18: Khối tròn xoay

1) Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay: S xq rl (r: bán kính đường trong đáy, l: đường sinh)

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0x y z0; 0; 0

- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

là nP a d

- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: A x x  0B y y  0C z z  00

b Bài tập áp dụng

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp(P) qua điểm M(2;2;-1) và

vuông góc với đường thẳng d có phương trình tham số

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;2;-1)

- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

là nP ad 2; 3;0 

- Phương trình mặt phẳng (P) : A x x  0B y y  0C z z  00

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3) Viết phương trình

mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Bài giải

- Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

- Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng ABI 2;2;2 

- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2)

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

A(0;2;-1) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình chính tắc là x 1 y 2 z



Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9)

1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với BC tại B

2 Viết phương trình mặt phẳng   đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M0x y z0; 0; 0 và

song song với mặt phẳng (Q)

a Phương pháp

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0x y z0; 0; 0

- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp

tuyến là: nP nQ

- Phương trình mặt phẳng (P): A x x  0B y y  0C z z  00

b Bài tập áp dụng

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

A(1;2;3) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là: 2x+2y+z=0

Bài giải

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3)

- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là:

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết

phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (ABC)

Bài giải

- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0)

- Tính AB  1;1;0 , AC   1;0;1 

- Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là: nABC AB,AC1;1;1 

- Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: nP AB,AC1;1;1 

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

A(1;-2;0) và song song với mp (Q) có phương trình: 2x-3y+4z-9=0

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm

B(1;2;3) và song song với mặt phẳng (Oxy)

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(-7;9;1), B(2;-3;2),

C(5;0;4), D(6;2;5) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC)

 Dạng 3

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng

a Phương pháp

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A x y z 0; 0; 0

- Do mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0)

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP  AB,AC

Cách khác: Ta có thể áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

- Do ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) nằm trên ba trục tọa độ nên mặt phẳng (P) có phương trình là:

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(2;4;5), C(4;1;2) Viết

phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có đỉnh A(1;0;-2), trung điểm

đoạn thẳng AB là I(-1;1;4) và trọng tâm là G(9;1;2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm K(1;2;3), đường thẳng d có phương trình

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;-3;4) Gọi A, B, C lần lượt là hình

chiếu vuông góc của M lên các trục tọa độ Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của

điểm M(2;3;-5) lên các mặt phẳng tọa độ Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm I, J, K

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(-7;9;1), B(2;-3;2),

C(5;0;4), D(6;2;5) Gọi G là trọng tâm tứ diện và I là điểm cách đều các đỉnh của tứ diện Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm B, G, I

 Dạng 4

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d

không đi qua A

a Phương pháp

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A

- Chọn một điểm M0x y z0; 0; 0 thuộc đường thẳng d

- Do mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d nên mặt phẳng (P)

có vectơ pháp tuyến là: nP  MA,a d

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;3;2)

- Đường thẳng d đi điểm M(1;0;2) và có vectơ chỉ phương là a d 1; 2;1

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

A(2;1;1) và chứa trục Ox

Bài giải

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm O(0;0;0)

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: nP  OA,i 

2;1;11;0;0

x  1 0 1 0 00

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A

- Do mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên

mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: nP  AB,n Q

- Phương trình mặt phẳng (P): A x x  0B y y  0C z z  00

b Bài tập áp dụng

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

A(3;-2;5), B(1;-1;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x-3y+2z+4=0

Bài giải

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(3;-2;5)

- Do mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên

mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: nP  AB,n Q

2;1; 21; 3; 2

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

A(2;-1;4), B(3;2;-1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+y+2z-3=0

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng () đi qua hai điểm M(2;1;1), N(3;2;2) và vuông góc với mặt phẳng ( ): x+2y-5z-3=0

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm

E(1;-2;2), F(-3;1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x+y-z+6=0

 Dạng 6

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc

với mặt phẳng (Q)

a Phương pháp

- Chọn một điểm M(x y z0; 0; 0) thuộc đường thẳng d

- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên

và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát 2x-y+3=0 Viết phương trình tổng quát

của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q)

Bài giải

- Chọn điểm M(1;0;2) thuộc đường thẳng d

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d 1; 2;1

- Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là: n Q 2; 1;0 

- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng

Bài giải

- Chọn điểm M(1;0;-1) thuộc đường thẳng d

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d 1; 2;1

và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát 2x+z+1=0 Viết phương trình tổng quát

của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q)

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:

2

x  y z

và mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát x-2y-z+9=0 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q)

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và

vuông góc với mặt phẳng (Q): 4x+y+3z-8=0

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Oz và

vuông góc với mặt phẳng (P): 5x-3y-2z+7=0

 Dạng 7

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song

với đường thẳng d’

a Phương pháp

- Chọn một điểm M(x y z ) thuộc đường thẳng d 0; 0; 0

- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và và song song với đường thẳng d’

nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: nP  a ,a d d'

- Chọn điểm M(3;1;2) thuộc đường thẳng d

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d 1; 1; 2 

- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là: a d'   1;3; 2

- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: nP a ,ad d'   8; 4;2 

tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình chính tắc là:

trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1),

- Chọn một điểm M(x y z ) thuộc đường thẳng d 0; 0; 0

- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P)

- Chọn điểm M(1;2;-1) thuộc đường thẳng d

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d 2;1;3

- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là: a d' 1; 2;1

- Do mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’ nên mặt phẳng

- Chọn điểm A(1;0;2) thuộc đường thẳng d

- Chọn điểm B(1;1;0) thuộc đường thẳng d’

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d 2;1;1

- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là: a d' 4; 2; 2

- Nhận thấy a d' 2a d và điểm A thuộc d nhưng không thuộc d’ nên đường thẳng d song song với đường thẳng d’

y z

quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình chính tắc là:

trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đường thẳng d’

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là:

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với

mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R)

a Phương pháp

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M

- Do mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R) nên mặt

phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: nP  n ,n Q R

- Phương trình mặt phẳng (P): A x x  0B y y  0C z z  00

b Bài tập áp dụng

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là

x+y+z+1=0, mặt phẳng (R) có phương trình tổng quát là 2x-y-3=0 và điểm M(1;2;1) Viết

phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R)

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình tổng quát là

2x+y+z+1=0, mặt phẳng (R) có phương trình tổng quát là x-2y+z+4=0 và điểm M(1;0;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (R)

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) và mặt

phẳng (Q) có phương trình tổng quát là x+2z+10=0 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-2;1;-3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) và mp(ABC)

 Dạng 10

Viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa điều kiện cho trước và tiếp xúc

với một mặt cầu cho trước

a Phương pháp

- Phương trình mp(P) có dạng Ax+By+Cz+D=0 với A2B2C2 0

- Từ điều kiện cho trước ta tìm được vectơ pháp tuyến n P A B C; ;  của mặt

phẳng (P)

- Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên khoảng cách từ tâm I của mặt

cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R Từ điều kiện này ta tính được D

b Bài tập áp dụng

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x+2y+z-1=0 và mặt cầu (S):

  x-12 y 2   2  z 32  9 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Bài giải

- Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=3

- Do mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng

- Với D=0, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+2y+z = 0

- Với D=-18, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+2y+z-18 = 0

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là

và mặt cầu (S)   x-12  y 1   2   z 12  9 Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông

góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Bài giải

- Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=3

- Phương trình mp(P) có dạng Ax+By+Cz+D=0 với A2B2C2 0

- Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có

39

- Với D=-14, phương trình mặt phẳng (P) là 2x+y+2z-14 = 0

c Bài tập luyện tập

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x+2y+z-1=0 và mặt cầu (S) có

tâm I(1;2;0) bán kính R=3 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là

16x-15y-12z-75=0 và mặt cầu (S):   x-1 2 y 2   2  z 32  4

Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là

và mặt cầu (S) x2 y2 z2 2x 4y 6z 2 0     Viết phương trình mặt phẳng (P)

vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt

Phương pháp tính khoảng cách trong không gian

Bài tập 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a,

SA=a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB)

 (SOI)  (SAB) Kẻ OH  SI  OH  (SAB)  d(O;(SAB)) = OH

Ta có: AC = BD = a 2, OI = a

2 Xét  SAO ta có: SO2 = SA2 - AO2 = a

2

2 Xét  SOI: 1

Ta có OK∥(SAB)  d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a 6

Nhận xét: Qua bài tập trên ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì đến mặt

bên của khối chóp như sau:

- Tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy đến mp đó rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra khoảng cách cần tính

Bài tập 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a;

mp(SBC) vuông góc với mp(ABC) Biết SB=2a 3, 

Nhận xét: Nếu sử dụng cách giải trên mà ta gặp bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến

mặt phẳng mà mặt phẳng đó chứa đường cao của khối chóp ta sẻ làm như thế nào?

Dạng 12

Tính thể tích khối đa diện

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

Bài 1

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh SA  (ABC) Từ

A kẻ ADSB và AESC Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE?

 Phân tích - tìm lời giải

AD,AE là các đường cao trong tam giác SAB,SAC

Tính đường cao:

ABC vuông tại B nên ABBC

Giả thiết cho :SA  (ABC)  SA BCBC  (ABC)ADBC

AD là đường cao trong tam giác SAB

DE = AE2 AD2 =

2 2

c b (a  b  c ).(a  c )

=> VSADE =

3

b.c(c a b )(a c ). VSABC

=

3

b.c(c a b )(a c ).

6 (c a b )(a c ) (đvtt)

Bài 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a.Cạnh

SA  (ABC) , góc BAC 120 0 Tìm thể tích của khối chóp S.ABC?

 Trình bày lời giải:

Xét hai tam giác vuông SAB và SAC có:

SA chung

SB = SC

=> SAB = SAC (c.c) => AB = AC => ABC là tam giác cân

Gọi D là trung điểm của BC ta có :

tanCAD = CD

AD => AD =

2 3tan CAD

Diện tích đáy:

2 ABC

 Tổng quát hóa ta có bài toán sau:

Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, góc

A

B

C D

S

Diện tích tam giác:

2 ABC

C BÀI TẬP VÍ DỤ CỤ THỂ VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P):

x–3y 2 –5 0z  Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)

 (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P)  (Q) có VTPT

Câu hỏi tương tự:

a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ĐS:

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

Gọi là VTPT của (P)   chọn

 Phương trình của (P):

Câu 3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng và có phương trình:

, Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d ) và

 Chứng tỏ (d 1 ) // (d 2 ) (P): x + y – 5z +10 = 0

Câu 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ

 (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4 VTPT của là

 VTPT của (P) là:  PT của (P) có dạng:

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên

Vậy: (P): hoặc (P):

Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng

Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt cầu (S):

Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox,

đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S)

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): và mặt

phẳng (P): Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm vuông góc với

mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Câu 8 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): Viết

phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính

 (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3 (P) chứa Ox  (P): ay + bz = 0

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I

Suy ra: –2a – b = 0 b = –2a (a 0)  (P): y – 2z = 0

Câu 9 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): và đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S)

Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ,

của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng 1 và 1

x z 2 0 :   2   6 0

Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc

với mặt phẳng (Q): và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng

 PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: (với )

đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4

 Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ( )

 đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP

Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến

Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với , ,

, Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)

Câu 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình

, Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng

 Ta có đi qua A(2;2;3) , có , đi qua và có

Do (P) cách đều nên (P) song song với 

 PT mặt phẳng (P) có dạng:

Do (P) cách đều suy ra

 Phương trình mặt phẳng (P):

Câu 20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình

, sao cho khoảng cách từ đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ đến (P)

Câu 21 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

+ Với (2)  Phương trình của (P):

Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất

 Ta có Do đó xảy ra nên mặt phẳng (P) cần tìm

là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA Ta có

Vậy phương trình mặt phẳng (P):

Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương

trình: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất

 Gọi H là hình chiếu của A trên d  d(d, (P)) = d(H, (P)) Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có  HI lớn nhất khi Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận làm VTPT  (P):

Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số

Gọi  là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d) Viết phương trình của mặt phẳng chứa  và

có khoảng cách đến (d) là lớn nhất

 Gọi (P) là mặt phẳng chứa , thì hoặc Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P) Ta luôn có và

Mặt khác

Trong (P), ; do đó Lúc này (P) ở vị trí (P 0 )  IA tại A

Vectơ pháp tuyến của (P 0 ) là , cùng phương với

Phương trình của mặt phẳng (P 0 ) là:

Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn

Dấu “=” xảy ra khi B = –C Chọn C = 1 Khi đó PT (P):

Câu 27 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng () chứa đường thẳng ():

và tạo với mặt phẳng (P) : một góc 600 Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng () với trục Oz

Câu 28 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d

Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng

Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một

Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Viết phương

trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc

Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và

Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm M trùng với gốc tọa độ

O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc

x y z 3 0 :    2 4 0

Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:

và Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và tạo với

Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là

 Gọi là VTPT của (P) Các VTCP của trục Ox, Oy là

PT mặt phẳng (P): hoặc

Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): và đường thẳng

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt

21sin( ,( ))