Chuong 3. Tinh phan boi 2.ppt

Tích phân

Chươngư3:ưTíchưphânưbộiư2 (ưtíchưphânưhàmưnhiềuưbiến)ư

3.1 Tích phân bội 2

3.1.1 Khái niệm:

a) Định nghĩa:ưf(x;y)ưxácưđịnhưtrênưD:ưđóngưvàưbịư

chặn.ư

di;ưưd=ưmax{di}

i

S (i 1 n)

  M (x ; y )i i i   S (i 1 n)i 

n

i 1

I f (x ; y ) S



n n

 

ý­nghÜa­h×nh­häc:

b) §iÒu kiÖn kh¶ tÝch:

I f (x; y)dS f (x; y) dxdy

D

V f (x; y) dxdy

D

a) f (x; y) g(x; y) dxdy f (x; y)dxdy g(x; y)dxdy

b) kf (x; y)dxdy k f (x; y)dxdy (k const)

c) D D D ;D D :

f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy

d) f (x; y) g(x; y) (x; y) D : f (x; y)dxdy g(x; y)dxdy



D

D

e)  (x ; y ) D :  f (x; y)dxdy f (x ; y ).S(D) 





§Ò­c¸c:­

3.2.1.­MiÒn­lÊy­tÝch­ph©n­D­=­[a;­b]­x­[c;­d];­

f(x;y)­liªn­tôc­trªn­D

VÝ­dô:­TÝnh­tÝch­ph©n:­

2

2 2





2

1

2

1

y (x) b

x (y) d

Víi­D­lµ­h×nh­ph¼ng­giíi­h¹n­bëi:

D

I (x  y )dx dy

2 2

a) 0 x 1;0 y 1 b) 0 x 1;0 y x c) 0 y 1;0 x y

a)

b)­­

1

0

1

2

y

3



2 2

1

0

26

x x

I dx x y dy x y dx x dx

x x

c)ưTươngưtựưnhưưcâuưb:

* Chú ý:

2

y

1

2 2

0 0

26

105

a)ưĐổiưbiếnưsốưtrongưhệưtoạưđộưĐềưcác:

D

' '

u v ' '

u v

I f (x;y)dx dy; f lt / D

x x(u; v)

y y(u; v)

(u; v) (x;y)

I f[x(u; v);y(u; v)] J dudv (3.4)





















3 3

1 3

0

1 1









dv udu

dxdy )

y x

(

I

D

Víi­D­giíi­­h¹n­bëi­c¸c­®­êng­

y­=­-x;­y­=­-x­+3;­y­=­2x­-1;­y­=2x+1.

§Æt­u­=x+­y;­v­=­-2x­+y­nªn

D’­=­[0;3]­x­[­-1;­2]­vµ­J­=­1/3.

VËy:



D

dxdy )

y x

( I

x r cos

; r 0;0 2

x r sin

I f (x;y) dxdy f (r cos ;r sin )rdrd (3.5)



   



 



)

( r

rdr d

r rdrd

y x

; y

; x

: ) y

; x ( D

; y x

dy

dx I

:

VD

/ /

D

1

2 2

1 1

1 0

0 1

1

2

0

2

0

1

2 2

2 2















































a)­TÝnh­thÓ­tÝch­vËt­thÓ:

VÝ­dô­:­ThÓ­tÝch­vËt­thÓ­giíi­h¹n­bëi­x=­0;­y­=0;­z­=0,­

x­+­y­=1­vµ­z­=­x 2 ­+­xy­+­1.

Gi¶i:­

D

V f (x;y)dxdy (3.6)

2 D

2

V (x xy 1)dx dy;D (x;y) : x 0;y 0;x y 1

dx (x xy 1)dy

x x 5

1 dx





 



Víưdụư1:ưTínhưdiệnưtíchưhìnhưphẳngưgiớiưhạnưbởiư

cácưđườngưyư=ưxưvàưyư=ư2ư–x2

Giải:

Víưdụư2:ưTínhưdiệnưtíchưhìnhưphẳngưgiớiưhạnưbởiưđư ờngưLemư–ưnixư–ưcat:ư

(x2+ưy2)2

ưư=ư2a2ư(x2ư–ưy2)ư(1)

Giải:ưchuyểnưsangưtoạưđộưcực:ưư

D

S dxdy (3.7)

2

2

2

D (x;y) : 2 x 1;x y 2 x

9

S dxdy dx dy (2 x x)dx

2



VÝ­dô:­TÝnh­diÖn­tÝch­mÆt­cña­phÇn­mÆt­Parabol«it­ trßn­xoay­z­=­x2­+­y2­®­îc­chøa­trong­h×nh­trô­

x2­+­y2­­=­1

Gi¶i:­­

2 2

a 2cos 4

2

0 0

4







    

' 2 ' 2

x y D

S  1 (f ) (f ) dxdy (3.8)

D  (x;y) : x  y 1 ; z f (x;y) x   y ;f 2x;f 2y

6



