CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG MP

tính tích vô hớng của hai véc tơ Phơng pháp 1 Sử dụng định nghĩa : đa hai véc tơ ar vàbrvề cùng gốc để xác định góc ar,br rồi tínhar.. br=ar .br cosar,br Phơng pháp 2 Sử dụng các tính ch

tính tích vô hớng của hai véc tơ

Phơng pháp 1

Sử dụng định nghĩa : đa hai véc tơ ar vàbrvề cùng gốc để xác định góc (ar,br) rồi tínhar

br=ar br cos(ar,br)

Phơng pháp 2

Sử dụng các tính chất của tích vô hớng, các hằng đẳng thức véc tơ và thờng phối hợp với phơng pháp 1

Phơng pháp 3

Sử dụng định lý hình chiếu : cho hai véc tơ ABuuur vàCDuuur, ta có : ABuuur.CDuuur=ABuuur.C Duuuuur' '=AB CD. Trong đó C’,D’ là hình chiếu của C và D trên đờng thẳng chứa véc tơABuuur

Phơng pháp 4

Sử dụng biểu thức tọa độ.

Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC tại A,Â= 120 , AB=AC=a, I là tâm đờng tròn nội tiếp a) tính ABuuur.CAuur; ABuuur.IHuur; b)tính ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur+CAuur.ABuuur

a) ABuuur.CAuur=a2cos(ABuuur,CAuur)=a2cos60=1

2a2 BC=2BH=2ABsin60= 3a I

B H C

áp dụng công thức: IH=

2 sin120

ABC

r

+

o V

=

2 3

4 (2 3)

a

a + VậyABuuur.IHuur=a 3

4(2 3)

a

+ cos60 o

2 3 8(2 3)

a

= + b) ABuuur+BCuuur+CAuur=0r(ABuuur+BCuuur+CAuur)2=0

AB2+BC2+CA2+2(ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur+CAuur ABuuur)=0 ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur+CAuur.ABuuur=

2 5 2

a

-Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c, CA=b

tính ABuuur.ACuuur theo a, b, c

suy ra ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur+CAuur.ABuuur

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính độ dài AG và cos(AGuuur,BCuuur)

Giải:

BCuuur =( ACuuur- ABuuur)2=AC2+AB2-2 ACuuur ABuuur

Do đó ACuuur ABuuur=1 2 2 2

2AC +AB - BC =1

2 (b2+c2-a2) (1) Ghi nhớ công thức (1)

b) Từ (1) : CAuur.ABuuur=1

2 (a2-b2-c2) Tơng tự: ABuuur.BCuuur=1

2 (b2-c2-a2) Và BCuuur.CAuur=1

2 (c2-a2-b2)

ABuuur.BCuuur+ABuuur.BCuuur+BCuuur.CAuur=1

2 (a2-b2-c2)+ 1

2 (b2-c2-a2)+ 1

2 (c2-a2-b2)=- 1

2 (a2+b2+c2)

A D

I

B C

Chú ý : có thể làm theo cách nh ví dụ 1 (Câu b)

c) AGuuur=1

3(ABuuur+ACuuur) ; AG2=AGuuur2=1

9(ABuuur+ACuuur)2=1

9(AB2+AC2+2ABuuur.ACuuur)=1

9(c2+b2+

b2+c2-a2)

= 1

9(2b2+2c2-a2) AG=1

3

2b + 2c - a

Cos(AGuuur,BCuuur)= .

.

AG BC

AG BC

uuur uuur uuur uuur (1) AGuuur.BCuuur=1

3(ABuuur+ACuuur).(ACuuur-ABuuur)=1

3(b2-c2) (2) Thay (2) vào (1) : Cos(AGuuur ,BCuuur)=

2 2

b c

a b c a

-Ví dụ 3 : Cho hình thang vuôngABCD, đờng cao AB=2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD= a.

Tính các tích vô hớng ABuuur.CDuuur, BDuuur.BCuuur và ACuuur.BDuuur

Gọi I là trung điểm của CD, tính AIuur.BDuuur Suy ra góc của AI và BD

Giải :

a) BAuuur là hình chiếu của CDuuur lên đờng

thẳng chứa BAuuur

Ta có ABuuur.CDuuur=ABuuur.BAuuur=-ABuuur2=-4a2

BDuuur.BCuuur=BHuuur.BCuuur=a.3a=3a2

ACuuur.BDuuur=(ABuuur+BCuuur).BDuuur=ABuuur.BAuuur+BCuuur.BDuuur =-4a2+3a2=-a2

b) AIuur.BDuuur=1

2(ADuuur+ACuuur).(ADuuur-ABuuur) =1

2(ADuuur2-ADuuur.ABuuur+ACuuur.ADuuur-ACuuur ABuuur) Mà

2

2

2

2

AD a AD AB

AC AD AK AD a

AC AB AB AB a

ùù

ớù

ùù

ùợ

uuur uuuruuur

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur Vậy AIuur.BDuuur=1

2(a2+3a2-4a2)=0  AI  BD

Bài tập :

1.Cho tam giác vuông cân ABC, AB=AC=a Tính ABuuur.ACuuur; ACuuur.CBuuur

2.Cho tam giác ABC có AB=4, BC=7, ca=9.

a) Tính BCuuur2 rồi suy ra ABuuur.ACuuur và tính cosÂ; b) Tính CAuur.CBuuur

c) Gọi I là trung điểm của AC Tính CIuur.CBuuur

3.Cho tam giác ABC có BC=4 , CA=3, AB=2.

a) Tính ABuuur.ACuuur suy ra cosÂ; b) G là trọng tâm tam giác ABC Tính AGuuur.BCuuur c) Tính GAGA GB GCuuuruuur. +uuur uuur. +GC GAuuur uuur. ;

d) AD là phân giác trong của góc BAC (DBC).Tính ADuuur theo ABuuur vàACuuur suy ra : AD

4 cho tam giác ABC có AB=2, AC=3, Â=2

3

p

a) Tính BC, AM (M là trung điểm của BC) b) Tính IJ trong đó I, J xác định bởi :

5 Cho hình thang vuông ABCD có đờng cao AB, cạnh đáy AD=a, BC=2a

Hãy tính AB trong các trờng hợp sau :

a) ACuuur.ABuuur=a2 b) ACuuur.BDuuur=-a; c) IC IDuur uur. =a2 (I là trung điểm của AB)

A D

C’

A’

B C

A D

C’

A’

B C

6 Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và B

với AD=2a , AB=BC =a

a) Tính ACuuur.BDuuur

b) Suy ra hình chiếu A Cuuuuur' ' của ACuuur lên BDuuur

7 Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ; Mlà trung điểm của BC Biêt rằng :

AMuuuur.BCuuur= 2

2

a Tính AB, AC

8 Cho các véc tơ a br,r biết rằng 2a br- r = 3 Tính a br.r ?

9.Cho tam giác ABC với BN vàCP là các trung tuyến

Biết BNuuur.CPuuur=x ; BNuuur.CAuur=y ; CPuuur.ABuuur=z (x, y, z R) Hãy tính 3 cạnh AB, BC, CA theo x,

y, z

10 Cho tam giác đều ABC, độ dài cạnh là 3a

Lấy M, N, P lần lợt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM=a, CN=2a, AP=x (0<x<3a)

a) Tính AMuuuur theo ABuuur và ACuuur b) Tính x để AM  PN

Đáp số và giải :

1 đs: ABuuur.ACuuur=0; ACuuur.CBuuur=-a2

2 đs: a) 49; 24; cosÂ=2

3 b) 57 c) 57

2 ; 2IAuur+IBuur= 0;J Buur= 2J Cuuur

3 đs : a) 3

2

4

- b) AGuuur.BCuuur=5

4 đs : a) BC= 19 ; AM= 7

2 b) IJ=2 133

3 d) Hình chiếu A Cuuuuur' ' củaACuuur lên BDuuurngợc hớng với BDuuur và có ' '

2

a

A C =uuuuur

5 đs :

a) AB=a; b) AB=a 3; c) AB=2a

d) Đặt AB=x>0 Ta có BD= x2 +a2 ; ACuuur.BDuuur=(ABuuur+BCuuur)(BAuuur+ADuuur)=-ABuuur2+BCuuur.ADuuur

=-x2+2a2

Mặt khác theo định lý hình chiếu : ACuuur.BDuuur=A Cuuuuur' '.BDuuur=A Cuuuuur' ' BDuuur

cos180=-2

a 2 2

x +a

Dẫn đến phơng trình : 2a2-x2

=-2

a 2 2

x +a Giải phơng trình ta đợc x=a 3 Vậy AB= 3

a

7 đs: AB=a, AC=a 2

8.đs : abr.r=12

9 Hớng dẫn giải :

phân tích BNuuur=BAuuur+ANuuur= -ABuuur+1

2AC

uuur

(1) ; CPuuur=CAuur+APuuur=CAuur+1

2AB

uuur

(2)

Thay (1),(2) vào BNuuur.CPuuur=x(-ABuuur+1

2AC

uuur

).(CAuur+1

2AB

uuur

)=x5ABuuur.ACuuur-2ABuuur2-2ACuuur2=4x

Đặt ABuuur.ACuuur=t; AB=c; AC=b Ta đợc : 5t-2c2-2b2=4x

Tơng tự : BNuuur.CAuur=y -b2+2t=2y ; CPuuur.ABuuur=z-c2+2t=2z

Giải hệ

2

2

t c b x

b t y

c t z

ùù

ùù - + =

ớù

ùù - + =

ùùợ

2

(4 4 4 ) / 3 (8 8 2 ) / 3 (2 8 8 ) / 3

t y x z

c y x z

b y x z

ỡù = - -ùù

-ớù

-ùùợ



(8 8 2 ) / 3 (2 8 8 ) / 3 (2 8 2 ) / 3

AB y x z

AC y x z

BC y x z

-ùù

-ớù

-ùùợ

10.Giải : a) BM=a; BC=3a Suy ra :

MBuuur+MCuuuur= Ûr ABuuur- AMuuuur + ACuuur- AMuuuur = Ûr ABuuur+ACuuur= AMuuuurÛ AMuuuur= ABuuur+ ACuuur

b) AM  PN  AMuuuur.PNuuur=0 (2

3AB

uuur

+1

3AC

uuur

).(ANuuur- APuuur)=0

(2

3AB

uuur

+1

3AC

uuur

).(1

3AC

uuur

-3

x

a AB

uuur

)=0 (2-x

a) 1

2+9a2-18ax=0x=4

5

a

chứng minh một đẳng thức về tích vô hớng

Chứng minh hai véc tơ vuông góc Thiết lập điều kiện vuông góc

Phơng pháp :

sử dụng 3 quy tắc nh ở vấn đề 1

Về độ dài , chú ý rằng : AB2=ABuuur2=((OA OBuuur uuur- ) 2 với O là một điểm tùy ý

Để chứng minh hai véc tơ aur và brvuông góc ta chứng minh aur.br=0

Để thiết lập điều kiện vuông góc giữa chúng ta sử dụng mệnh đề : aur  br  aur.br=0

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC , G là trọng tâm , Chứng minh rằng :

a) MAuuur.BCuuur +MBuuur.CAuur +MCuuuur.ABuuur=0

b) MA 2 +MB 2 +MC 2 =3MG 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 , với M là một điểm tùy ý.

Suy ra vị trí của M để MA 2 +MB 2 +MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải : a) MAuuur.BCuuur=MAuuur.(MCuuuur-MBuuur)=MAuuur.MCuuuur-MAuuur.MBuuur

Tơng tự: MBuuur.CAuur=MBuuur.MAuuur-MBuuur.MCuuuur; MCuuuur.ABuuur=MCuuuur.MBuuur-MCuuuur.MAuuur

Cộng từng vế ta có kết quả câu a)

A

H

B M C

A B O

D C

b) Phân tích AM 2 = MAuuur2 =(MGuuuur+GAuuur) 2 =MG 2 +GA 2 +2MGuuuur.GAuuur

Tơng tự MB 2 =MG 2 +GB 2 +2MGuuuur.GBuuur ; MC 2 =MG 2 +GC 2 +2MGuuuur.GCuuur

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC và H là trực tâm của tam giác.

Chứng minh rằng : a) MHuuuur.MAuuur=1

4 BC 2 b) MA 2 +MH 2 =AH 2 + 1

2BC

2

Giải :

a) Ta có : 4MHuuuur.MAuuur= -4MHuuuur.AMuuuur=

-2MHuuuur.(ABuuur+ACuuur) =2MHuuuur.BAuuur+2MHuuuur.CAuur=

=2(MCuuuur+CHuuur).BAuuur+2(MBuuur+BHuuur)CAuur

=2MCuuuur.BAuuur+2MBuuur.CAuur=2MCuuuur.(BAuuur-CAuur)=BCuuur.BCuuur =BCuuur2= BC2

b) AH2=(MHuuuur-MAuuur)2=MH2+MA2-2MHuuuur.MAuuur=MH2+MA2-1

2BC2 MA2+MH2=AH2+ 1

2BC2

Ví dụ 3 : Cho hình chữ nhật ABCD M là một điểm tùy ý Chứng minh :

a) MAuuur+MCuuuur=MBuuur+MDuuur b) MAuuur.MCuuuur=MBuuur.MDuuur c) MA2+MC2=MB2+MD2

Giải :

a ) Gọi O là giao điểm của AC và DB

Ta có : MAuuur+MCuuuur=2MOuuur; MBuuur+MDuuur=2MOuuur

Vậy MAuuur+MCuuuur=MBuuur+MDuuur

b) MAuuur.MCuuuur=(OAuuur-OMuuur).(OCuuur-OMuuur)=(MOuuur+OAuuur).(MOuuur-OAuuur)=MO2-OA2

MBuuur.MDuuur=(OBuuur-OMuuur ).(ODuuur-OMuuur)=(MOuuur+OBuuur).(MOuuur-OBuuur)=MO2-OA2

c) Theo câu a) : MAuuur+MCuuuur=MBuuur+MDuuur (MAuuur+MCuuuur)2=(MBuuur+MDuuur)2

 MA2+MC2+2MAuuur.MCuuuur=MB2+MD2+2MBuuur.MDuuur MA2+MC2=MB2+MD2 (theo câu b)

Bài tập :

1 Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đờng chéo.

a) Chứng minh : 2ACuuur.BDuuur=AB 2 -BC 2 +CD 2 -DA 2

A

E D

O

B C

b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đờng chéo vuông góc là :

AB 2 +CD 2 =BC 2 +DA 2

c) Chứng minh : AB 2 +BC 2 +CD 2 +DA 2 =AC 2 +BD 2 +4EF 2

2 Cho bốn điểm A, B, C và M tùy ý Chứng minh hệ thức :

a) MAuuur.BCuuur+MBuuur.CAuur+MCuuuur.ABuuur=0

b) áp dụng: chứng minh rằng trong tam giác ba đờng cao đồng quy

3 Cho tam giác ABC cân tại A, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp

Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm tam giác ACD

Chứng minh rằng OE vuông góc với CD

4 Cho đờng tròn (O, R) Chứng minh điều kiện cần và đủ

để AM là tiếp tuyến với đờng tròn tại M là: OAuuur.OMuuur=R2

5 Cho hai điểm N, M nằm trên đờng tròn tâm O,

đờng kính AB=2R Gọi I là giao điểm

của hai đờng thẳng AM và BN

a) chứng minh : AMuuuur.AIuur=ABuuur AIuur; BNuuur.BIuur= BAuuur.BIuur

b) Tính AMuuuur.AIuur+ BNuuur.BIuur theo R

6 Cho tam giác ABC , trung tuyến AM, đờng cao AH

Chứng minh các đẳng thức sau :

a) ABuuur ACuuur=AM2- 2

4

BC =1

2(AB2+AC2-BC2); b) AB2+AC2= 2AM2+1

2BC2 c) AB2-AC2=2ABuuur.MHuuuur; d) SABC= 1

2 AB AC2. 2- (AB AC. )2

uuuruuur

7 Cho hình thang vuông ABCD, đờng cao AD=h, cạnh đáy AB=a , CD=b

Tìm hệ thức giữa a, b, h sao cho:

a)AC vuông góc với BD ; b) BD vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC

8 Cho tam giác ABC và hai trung tuyến BM, CN Đặt BC=a, CA=b,AB=c

Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c khi BMvuông góc với CN

9 Cho hình thang vuông ABCD , đờng cao AB =h ; cạnh đáy AD = a , BC =b

Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h sao cho :

a) CI vuông góc với DI (I là trung điểm của AB ); b) BD vuông góc với CI c) AC vuông góc với DI

d) Trung tuyến BM của tam giác ABC vuông góc với trung tuyến CN của tam giác BCD

10 Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi :

ABuuur.ADuuur+BAuuur.BCuuur+CBuuur.CDuuur+DCuuur.DAuuur = 0

Lời giải và đáp số :

3 Giải :

Ta chứng minh OEuuur CDuuur=0

Thật vậy : OEuuur.CDuuur=(AEuuur-AOuuur).(ADuuur-ACuuur)=

Mà AEuuur= 1

3(ACuuur+ADuuur) (vì E là trọng tâm của tam giác ADC)

OEuuur.CDuuur=[ 1

3(ACuuur +ADuuur)-AOuuur].(ADuuur-ACuuur)=

=1

3(AD2-AC2)- AOuuur.ADuuur+AOuuur.ACuuur (1)

Thay AOuuur.ACuuur=AFuuur.ACuuur (định lý hình chiếu, với F là trung điểm của AC bằng 1

2AC2

Và AOuuur.ADuuur=AD2 (định lý hình chiếu) Vào (1) , ta đợc OEuuur.CDuuur=1

6(AC2- 4AD2)= 0

A a B

h M

D C

A

N M

B N

A B

D C

4 Giải :

Xét điểm M tùy ý(O, R) OAuuurOMuuurOAuuur.OMuuur=0 (OMuuur+MAuuur).OMuuur=0 OM2+MAuuur

OMuuur =0 OMuuur.AMuuuur=OM2OMuuur.AMuuuur=R2

5 Giải :

a) AMuuuur là hình chiếu của ABuuur trên đờng thẳng AI

Vậy ABuuur.AIuur=AMuuuur.AIuur (định lý hình chiếu)

BNuuur là hình chiếu của BAuuur lên đờng thẳng BI Vậy : BAuuur.BIuur=BNuuur.BIuur

b) AMuuuur.AIuur+ BNuuur.BIuur=ABuuur.AIuur+ BAuuur.BIuur=ABuuur.(AIuur-BIuur)=ABuuur2=4R2

7 Giải :

a) Ta chứng minh : ACuuur.BDuuur=0

ACuuur.BDuuur=ACuuur.(ADuuur-ABuuur)=ACuuur.ADuuur-ACuuur.ABuuur (1)

Mà ACuuur.ADuuur=ADuuur.ADuuur=h2

Và ACuuur.ABuuur=DCuuur.ABuuur=b.a (định lý hình chiếu) Do đó (1) trở thành : ACuuur.BDuuur=h2-ab

b) BD AM BDuuur.AMuuuur=0 1

2BD

uuur

.(ABuuur+ACuuur) = 0 BDuuur.ABuuur+BDuuur.ACuuur = 0 (2)

Mà BDuuur.ABuuur=BAuuur.ABuuur=-AB2=-a2 Và BDuuur.ACuuur=h2-ab (kết quả trên)

Do đó (2) trở thành : -a2+h2-ab=0 Vậy BD  AM h2 =a(a+b)

8 Giải :

BM  CN BMuuur.CNuuur=0  1

2(BAuuur+BCuuur) 1

2(CAuur+CBuuur) =0  BAuuur.CAuur+BAuuur.CBuuur+BCuuur.CAuur+BCuuur.CBuuur= 0

 ABuuur.ACuuur-BAuuur.BCuuur-CBuuur.CAuur-CBuuur2= 0

1

2 (AB 2 +AC 2 -BC 2 ) - 1

2(AB

2 +BC 2 -AC 2 ) – 1

2(BC

2 +AC 2 -AB 2 ) – BC 2 = 0

AC 2 +AB 2 -5BC 2 = 0 b 2 +c 2 = 5a 2

9 đs :

a) ab-1

4h2 = 0 b) ab- 1

2h2 = 0 c) 1

2h2-ab = 0

d) h2-2b2+ab = 0

10 Giải :

ABuuur.ADuuur+BAuuur.BCuuur+CBuuur.CDuuur+DCuuur.DAuuur = 0

 (ABuuur.ADuuur+BAuuur.BCuuur) +(CBuuur.CDuuur+DCuuur.DAuuur) = 0

 ABuuur.(ADuuur-BCuuur) -DCuuur.(ADuuur-BCuuur) = 0

(ADuuur-BCuuur).(ABuuur-DCuuur) = 0  ộờờAD AB==DC BC

ờ

uuur uuur uuu r uuurABCD là hình bình hành

tập hợp điểm thỏa mãn một đẳng thức

A a D

I N M

B b C

về tích vô hớng hoặc độ dài.

Ph ơng pháp :

Có thể sử dụng một trong các cách sau :

Đa đẳng thức cho trớc về dạng MAuuur.MBuuur=k( A, B :cố định; k : giá ttrị không đổi.)

Đa đẳng thức cho trớc về dạng AMuuuurvr= 0 , trong đó A là điểm cố định vàvr là véctơ cố

định

Đa đẳng thức cho trớc về dạng AM2 = k , trong đó A là điểm cố định và k là một số dơng không đổi

Ví dụ 1 : cho tam giác ABC, tìm tập hợp những điểm M thỏa :

a) MAuuur.MBuuur =k (k là giá trị cho trớc) Biện luận

b) MA2 + MAuuur MBuuur = 0

c) 2MB2+MBuuur.MCuuuur = a2 (với a : độ dài cạnh BC)

Giải :

a) Gọi I là trung điểm của cạnh AB Thế thì :

MAuuur.MBuuur =k  (MIuuur+IAuur).(MIuuur-IAuur) =k

IM2-IA2=k IM2=

2

4

AB

+k Biện luận : Nếu 2

4

AB +k > 0  k >- 2

4

AB :

4

AB +k

4

AB : tập hợp M là điểm I

4

AB +k < 0 thì tập hợp M là 

Đặc biệt : nếu k = 0 thì tập hợp M là đờng tròn đờng kính AB

b) MA2 +MAuuur.MBuuur =0  MAuuur.(MAuuur+MBuuur) = 0  MAuuur.MIuuur = 0 

tập hợp M là đờng tròn đờng tròn đờng kính AI

c) 2MB 2 +MBuuur.MCuuuur =a 2 MBuuur.(2MBuuur+MCuuuur) = a 2 (1)

Xét điểm cố định K thỏa mãn : 2KBuuur+KCuuur=0r , thế thì 2MBuuur+MCuuuur =2(2MBuuur-MKuuuur) +(MCuuuur-MKuuuur)

=0r

(2MBuuur+MCuuuur) = 3MKuuuur do đó : (1)  MBuuur.MKuuuur = 2

3

a

Gọi O là trung điểm của BK ,biến đổi nh câu a) ta đợc :

4

BK

3

a  MO 2 = 2

3

a

4

BK

Từ : 2KBuuur+KCuuur=0r KB =a3 Nên (1)  MO2= 132

36

6

13

a

Vậy tập hợp M là một đờng tròn tâm O, bán kính R=

6

13

a

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , tìm tập hợp những điểm M thỏa :

a) AMuuuur.BCuuur = k (k :số cho trớc ) b) (MAuuur-MBuuur).(2MBuuur-MC ) = 0

M

A I B

A M

G

B G’ H C

C

A I B

J

A

B C

-v r

c) MA2-MB2+CA2-CB2 = 0 d) MAuuur.MBuuur-MAuuur MC=MC2-MB2+BC2 ;

e) 3MA2-2MB2-MC2 = 0

Giải :

a) Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của A và M lên BC

áp dụng định lý hình chiếu , ta có : AMuuuur.BCuuur = HK .BC =k

 HK.BC k



BC

k

Mà H cố định nên K cố định Vậy tập hợp những điểm M

là một đờng thẳng vuông góc với BC tại K

b) Xét điểm cố định I thỏa : 2IB  IC=0r 2MBuuur-MC =MI

Vậy (MAuuur-MBuuur).(2MBuuur-MC) = 0 BA. MI =0 

MI  BA 

Tập hợp M là một đờng thẳng vuông góc với AB tại điểm cố định I

Chú ý : điểm I thỏa :aIBuur+ bICuur = 0r (với +ạ 0 ; B, C cố định) gọi là tâm tỷ cự của hai điểm B, C ứng với hai hệ số , , trong đó +ạ 0.( trong câu b) : =2,  =-1)

c) MA2-MB2 +CA2-CB2 =0

 (MAuuur-MBuuur).(MAuuur+MBuuur) +(CAuur+CBuuur).(CAuur-CBuuur) =0

2BA.(MIuuur + CIuur) = 0 (1)

Dựng véc tơ IJuur=CIuur, thế thì

(1)  BA MJ.uuur = 0 Điểm J cố định

Vậy tập hợp M là một đờng thẳng qua J Và vuông góc với AB

d) MAuuur.MBuuur-MAuuur MC =MC2-MB2+BC2

 MAuuur.MBuuur-MAuuur MC+MB2-MC2=BC2

MAuuur.(MBuuur-MC)+(MBuuur+MC).(MBuuur-MC)=BC2

(MBuuur-MC).(MAuuur+MBuuur+MC) = BC2

3CBuuur.MC=BC2 (1) (G là trọng tâm tam giác ABC)

Gọi G’ và H thứ tự là hình chiếu của G và M lên BC

Thế thì : (1)  3BC G H ' =BC2  G H' =

3

BC

G’ cố định,

3

tập hợp các điềm M là một đờng thẳng vuông góc với BC tại H

e) Gọi O là tâm đờng tròn

ngoại tiếp tam giác ABC

Ta phân tích :

MA2 =(MOuuur+OAuuur)2 = MO2+OA2+2MOuuur.OAuuur

MB2 =(MOuuur+OBuuur)2 = MO2+OB2+2MOuuur.OBuuur

MC2 = (MOuuur+OCuuur)2 = MO2+OC2+2MOuuur.OCuuur

Do đó :

3MA2-2MB2-MC2=2MOuuur.(3OAuuur-2OBuuur-OCuuur)+

+3OA2-2OB2+OC2 (1)

Và 3OAuuur-2OBuuur-OCuuur=3OAuuur-2(OAuuur+ABuuur)-(OAuuur+ACuuur)= -(2ABuuur+ACuuur) là một véc tơ cố địnhv r

Nên : 3MA2-2MB2-MC2= 0  2MOuuur v r=0

Vậy : tập hợp M là một đờng thẳng đi qua O và vuông góc với vec-tơ v r

Bài tập :

1 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho :

a) MBuuur.MCuuuur-MBuuur.MGuuur =AB2 (G là trọng tâm); b) (2MAuuur- 3MBuuur).(MAuuur+2MBuuur) = 0

2 Cho tam giác ABC vuông tại A BC = 6a Tìm tập hợp các điểm M sao cho :

(MBuuur + MCuuuur).(MAuuur+MBuuur+MCuuuur) = a2

3 Cho đoạn thẳng AB=2a có I là trung điểm

a) P là một điểm bất kỳ Tính PAuuur.PBuuur theo PI và a.

b) Tìm tập hợp điểm M thỏa MAuuur MBuuur = a2

4 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa : ABuuur.AMuuuur= ABuuur.ACuuur

5.Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn

một trong các hệ thức sau :

a) MAuuur.MBuuur = MAuuur.MCuuuur; b) MAuuur2+MAuuur.MBuuur+MAuuur.MCuuuur=0; c) MAuuur2 = MBuuur.MCuuuur

6 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho :

a) a.MA2 +b.MB2 =k(a+ ạb 0); b) a MA2 +b MB2 +g MC2 =k(a+ + ạb g 0)

7 Cho ABCD là hình bình hành Tìm tập hợp các điểm M sao cho :

MA2+MB2+MC2+MD2=k2 ,với kR

8 cho tam giác ABC , góc A nhọn, trung tuyến AI Tìm tập hợp các điểm M

di động trong góc BÂC, sao cho : AB.AH AC AK =AI2 (1)

Trong đó H, K thứ tự là các hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC

9 Cho tứ giác ABCD I, J thứ tự là trung điểm của AB, CD Tìm tập hợp các điểm

M

sao cho : MAuuur.MBuuur+MCuuuur.MDuuur=12IJ2 (1)

10 Cho tam giác ABC I là trung điểm của AB J là điểm thỏa mãn: J Auur+3J Buur-2J Cuur

=0r

a) Chứng minh BCIJ là hình bình hành