c là các số nguyên lẻ thì phơng trình bậc 2 trên không có nghiệm hữu tỉ.. b Cho a,b là các số thực dơng.. Vẽ đờng tròn có tâm 0 thay đổi luôn đi qua B,C.. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AE, AF t
Trang 1Phòng gd -đt gia bình Đề thi khảo sát đội tuyển lần Iii
Trờng thcs lê văn thịnh
- Môn : Toán 9
( Thời gian : 150 phút - Không kể giao đề) Ngày…… tháng 1 năm 2010
Bài1: ( 5 điểm) Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
a) (3 ) 3
2
x
b)
3
3
3 8
Bài 2: ( 4 điểm): Cho phơng trình ax2 + + =bx c 0 ( a và b khác 0).
a) Chứng minh rằng: nếu a, b c là các số nguyên lẻ thì phơng trình bậc 2 trên không có nghiệm hữu tỉ
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình bậc 2 trên có hai nghiệm phân biệt mà nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia là : 3b2 − 16ac= 0.
Bài 3( 4 điểm):
a) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn hệ thức: 2 2 20
14
a b c
+ + =
+ + =
Tính giá trị biểu thức 4 4 4
1
P= + + +a b c .
b) Cho a,b là các số thực dơng Chứng minh rằng:
( )2
2
a b
a b+ + + ≥ a b+ b a.
Bài 4(5,5 điểm): Cho 3 điểm A,B,C cố định, theo thứ tự đó và cùng nằm trên một đờng
thẳng Vẽ đờng tròn có tâm 0 thay đổi luôn đi qua B,C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AE, AF tới đờng tròn tâm 0 ( E,F là hai tiếp điểm ) Gọi I là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF
a) Chứng minh rằng E,F luôn nằm trên một đờng tròn cố định
b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn tâm 0 tại M ( M khác F) Chứng minh rằng EM song song AB
c) Chứng minh rằng: tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác NOI luôn nằm trên một đ-ờng thẳng cố định
Bài 5( 1,5 điểm ) Cho xy>0, thỏa mãn đẳng thức: x3 +y3 + 3(x2 +y2)+ 4(x y+ )+ = 4 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 1 1
-Hết -Đáp án và thang điểm
m
Trang 2(5 điểm) a
2 điểm Đặt ẩn phụ: a x 3 1x
x
−
= +
1
b x
−
= + với điều kiện x khác -1
Ta có hệ: 3
2
a b ab
+ =
=
, từ đó (a=1, b=2) hoặc (a=2; b=1) Giải hai trờng hợp trên ta đợc đáp số: x=1
Thử lại thấy x=1 thỏa mãn phơng trình
1đ 1đ
b( 3
điểm ) trừ vế ta đợc:(x y x− ) ( 2 +y2 +xy+ = 5) 0
+) x=y suy ra phơng trình:x3 − 11x= 0 suy ra y= 0;x= ± 11
khi đó y=0 hoặc y= ± 11 +) 2 2
5
x +y +xy+ >0 mọi x,y
Kết luận phơng trình đã cho có 5 nghiệm: (0;0),
( 11; 11 , 11;) ( − 11 ,) (− 11; 11 ,) (− 11; − 11)
1đ 0,5 1 0,5
2
( 4điểm) a(2
điểm) a,b,c nguyên lẻ, a,b khác 0, ta sẽ chứng minh số chính phơng ∆ không thể là
Xét ∆ = −b2 4ac
+) b2 là số chính phơng lẻ khi chia cho 8 d là 1( Cần có c/minh)
+) a và c nguyên lẻ chia 8 d 4( Cần có c/minh) +) 2
4
∆ = − chia 8 d 1-4=-3 hay d là 5 +) Số chính phơng khi chia 8 d là 0;1;4( Cần có c/minh) +) mâu thuẫn
Vậy phơng trình bậc hai với a,b,c nguyên lẻ không có nghiệm hữu tỉ
0,5 0,5 0,5 0,5
b( 2
điểm ) *) Điều kiện cần:
2 4
∆ = − >0 và x1=3x2 hoặc x2=3x1
+) Suy ra (x1-3x2)(x2-3x1)=0 +) Theo vi ét: 1 2
1 2
b
a c
x x a
−
+ =
+) Ta thay vào và biến đổi đợc kết quả 3b2-16ac=0
*) Điều kiện đủ: Nếu 3b2-16ac=0 suy ra: 4 3 2
4
b
ac= >0 Xét ∆ = −b2 4ac= 2
4
b >0 ( vì bkhác 0) +) Ta tìm đợc 1 ; 2 3
+) nh vậy phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài
0,5
0,5 0,5
0,5
Bài 3
4 điểm a
2 điểm +) Từ gt tìm đợc: ab+bc+ca=-7
+) Bình phơng (a2 b2+b2c2+c2a2)2=49 +)Suy ra 4 4 4 ( 2 2 2 2 2 2)
a + + +b c a b +b c + +c a = +) P= + + + = 1 a4 b4 c4 98 1 99 + =
Trang 3b)2 điểm
2 2
a b a b+ + + ≥ ab a+ b
+ Ta chứng minh: a b+ ≥2 ab +) Ta chứng minh:
a b+ + ≥ a+ b a− a+ + −b b+ ≥ +) chỉ ra dấu bằng khi a=b=1/2
0,5 0,5 0,5 0,5
Bài
4
( 5,5
điểm)
Vẽ hình
ghi GT,
KL 0,5đ
E
M
B C
A
a(2điểm) +) Chứng minh: AE2=AF2=AB.AC không đổi
+) Suy ra E,F cùng nằm trên đờn tròn tâm A, bán kính
.
AB AC
1 1
b( 2
điểm) +) 5 điểm A,E,F,I,0 cùng nằm trên đờng tròn
+) Góc AEF bằng góc EMF ( cùng chắn cung EF), góc AIF bằng góc AEF ( cùng chắn cung AF), suy ra hai góc bằng nhau
+) Suy ra góc EMF bằng góc AIF + Suy ra hai góc này bằng nhau ở vị trí đồng vị, nên hai đờng thẳng song song
0,5 0,5 0,5 0,5
c)2
điểm) +) Gọi giao của EF và AC là P, chứng minh điẻm P cố định
+) Gọi J là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác NOI, chính là
đờng tròn ngoại tiếp tứ giác NOIP, thì I thuộc đờng trung trực của PI cố định
1 1
Bài
5
( 1,5
điểm)
1,5 điểm +) Thực hiện biến đổi phá ngoặc, ghép thành hằng đẳng thức:
x+ + +y + + + =x y
+) Suy ra x+y=-2 +) Biến đổi P đợc:P 1 1 x y 2
+) lập luận: P lớn nhất thì (2/xy) nhỏ nhất, tơng đơng xy lớn nhất mà ( )2
4
x y+ ≥ xy dấu bằng xảy ra khi x=y Từ đó xy lớn nhất bằng 1 khi x=y=-1
+) Vậy P lớn nhất bằng -2 khi x=y=-1
0,5
0,5
0,
* HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tơng ứng
F
0
I