Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.. c Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không ph
Trang 1PHềNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2010 - 2011 MễN: TOÁN LỚP 8
(Thời gian làm bài: 150 phỳt)
Phần đề bài
Cõu 1:
Phõn tớch thành nhõn tử
a/ x4 + 2 x3 − 4 x − 4 b/ x2 + 2 xy + y2 − x − y − 12
Cõu 2: Cho f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25
Tớnh f (100)
Cõu 3: Cho x và y thoả mãn: x2 + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + 8 = 0
Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của biểu thức: B = x + y + 2009
Bài 4:
Cho hình chữ nhật ABCD Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P
a) Tứ giác AMDB là hình gì?
b) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC
và ba điểm E, F, P thẳng hàng
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào
vị trí của điểm P
Giả sử CP ⊥ BD và CP = 2,4 cm, 9
16
PD
PB = Tính các cạnh của hình chữ
B i 5 à : Cho hai điểm A và B cố định Điểm M di động sao cho ∆MAB có 3 góc nhọn Gọi H là trực tâm của ∆MAB, K là chân đờng cao vẽ từ M xuống cạnh AB của
∆MAB Tìm vị trí của M để giá trị KM.KH lớn nhất.
Bài 6: a) Cho x, y dương CMR: 1x + 1y ≥ x+4 y Dấu bằng xảy ra khi nào?
b) cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tm giỏc , p là nửa chu vi của tam giỏc đú
+ +
≥
−
+
−
+
−a p b p c a b c p
1 1 1 2 1 1
1
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Đỏp ỏn
Bài 2:
f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25
= x8 – 100 x7 – x7 + 100x6 +x6 – 100x5 – x5 + + 100x2
+ x2 – 100x – x +25
f(x) = x7( x - 100) – x6( x - 100) + x5( x – 100) - + x(x-100) – (x - 25)
f( 100) = 1007.( 100 -100) – 1006( 100 -100) + + 100.(100-100)
– (100-25)
f(100) = -75
Bài 3:
x2 + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + 8 = 0
x2 + 2xy + y2 + 6x + 6y + 9 - 1 = - y2 ≤0
(x + y)2 + 2 (x + y) 3 + 32 - 1 = - y2 ≤ 0
(x + y + 3)2 - 1 ≤ 0
(x + y + 2) (x + y + 4) ≤ 0
(x + y + 2009 - 2007) (x + y + 2009 - 2005) ≤ 0
(B - 2007) (B - 2005) ≤ 0 ⇔
2007 0 2007
2005 0 2005 2005 2007
2007 0 2007
2005 0 2005
VN
− ≤ ≤
− ≥ ≥
max B = 2007
min B = 2005
Bài 4
Vẽ hình, ghi GT, KL đúng
a) Gọi O là giao điểm 2 đờng chéo của hình chữ nhật ABCD
PO là đờng trung bình của tsm giác CAM
AM//PO
⇒tứ giác AMDB là hình thang
b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I là giao điểm 2 đờng chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA
Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1)
Mặt khác IP là đờng trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng
c) ∆MAF : ∆DBA g g( − ) nên MF AD
FA = AB không đổi
d) Nếu 9
16
PD
9 16
PD PB
k PD k PB k
Nếu CP⊥BD thì CBD DCP g ( g ) CP PB
C D
O M
P
I E
F
Trang 3do đó CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm)
BD = 5 (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16
do đó BC = 4 (cm)
CD = 3 (cm)
B i 5 à
+)∆AKH ~ ∆MKB
+) KM.KH = KB.KA
+)KA.KB KA KB 2 AB2
+
≤ ữ =
+) Vậy KM.KH lớn nhất bằng AB2
4 khi
K là trung điểm của BC
+.M nằm trên đờng trung trực của AB
cách K ( K là TĐ của AB) một khoảng
lớn hơn AB
2 để VMAB nhọn
H
M
K