Các đờng thẳng AE, BF cắt đờng thẳng CD theo thứ tự ở M, N.. Gọi K là giao điểm của NA và MB.. Các điểm E và F có vị trí nh thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất.. Các đờng thẳng AE, BF cắt
Trang 1Phòng gd-đt bình xuyên
Trờng THCS Lý Tự Trọng
-đề Thi Vô địch lần1 tháng 10.2007–
Môn: toán 9
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1.
Chứng minh rằng: nếu x+y+z=a và 1 1 1 1
x+ + =y z a thì tồn tại 1 trong 3 số x, y, z bằng a
Câu 2: Giải phơng trình
2
2x− + 3 5 2 − x = 3x − 12x+ 14
Câu 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 3n +19 là số chính phơng
Câu 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1
Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 4abc < 1
2
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho: CE = AF Các đờng thẳng AE, BF cắt đờng thẳng CD theo thứ tự ở M, N
a. Chứng minh : CM DN = a2
b. Gọi K là giao điểm của NA và MB Chứng minh: ∠MKN bằng 90o
c. Các điểm E và F có vị trí nh thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất
Phòng gd-đt bình xuyên
Trờng THCS Lý Tự Trọng
-đề Thi Vô địch lần1 tháng 10.2007–
Môn: toán 9
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1.
Chứng minh rằng: nếu x+y+z=a và 1 1 1 1
x+ + =y z a thì tồn tại 1 trong 3 số x, y, z bằng a
Câu 2: Giải phơng trình
2
2x− + 3 5 2 − x = 3x − 12x+ 14
Câu 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 3n +19 là số chính phơng
Câu 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1
Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 4abc < 1
2
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho: CE = AF Các đờng thẳng AE, BF cắt đờng thẳng CD theo thứ tự ở M, N
d. Chứng minh : CM DN = a2
e. Gọi K là giao điểm của NA và MB Chứng minh: ∠MKN bằng 90o
f. Các điểm E và F có vị trí nh thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất
Phòng gd-đt bình xuyên
Trờng THCS Lý Tự Trọng
-đáp án Vô địch lần1 tháng 10.2007–
Môn: toán 9
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: ( 2 điểm) Theo đề bài ta có:
Trang 20
0
0
0 0 0
x y z x y z x y z x y z
x y x y z z
xy z x y z
x y zx zy z xy
xyz x y z
x y y z z x
x y y z z x xyz x y z
x y
y z
z x
+ + + −
+ + + + + +
+ +
+ + + =
⇒ + =
+ =
Nếu x+y = 0, mà x+y+z = a do đó z = a
Nếu y+z = 0, mà x+y+z = a do đó x = a
Nếu z+x = 0, mà x+y+z = a do đó y = a
Câu 2: (2 điểm).
Điều kiện xác định: 1,5≤ x ≤ 2,5
- Ta có 3x2 -12x + 14 = 3(x-2)2 + 2 ≥ 2
Dấu bằng xảy ra khi x = 2 (thoả mãn điều kiện xác định)
- Với 1,5≤ x ≤ 2,5 áp dụng BĐT Cosi đối với 2 số không âm ta có:
x− + − x ≤ − + + − + = dấu bằng xảy ra khi
2
x
− = =
( Thoả mãn ĐK xác định)
Do đó:
2
2
2
2 2
x
x x
− + − = − +
− + − = =
⇔ − + = ⇔ = ⇔ =
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2
Câu 3: (1 điểm)
Giả sử 3n + 19 = a2 (a∈N)
Vì 3n và 19 là số lẻ nên a2 là số chẵn do đó a chẵn ⇒a2 ≡ 0(mod 4)
Vì 19 ( 1)(mod 4) ≡ −
Nên 3n ≡ 1(mod 4)
Mặt khác 3 ≡ − 1(mod 4) nên 3n ≡ − ( 1) (mod 4)n do đó ( 1) − n ≡ 1(mod 4)
⇒n chẵn hay n = 2k (k∈N)
Ta có: 32k + 19 = a2
Nên a2 – 32k = 19
Hay (a + 3k)(a – 3k) = 19
Từ đó giải đợc a = 10 Suy ra k = 2 Do đó n = 4
Câu 4: ( 2 điểm)
Vì chu vi của tam giác bằng 1 nên a + b + c = 1
Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a + b – c > 0 ⇒ a + b + c – 2c > 0
Trang 3Hay (1- 2c) > 0
Tơng tự ta có 1 – 2b > 0, 1-2a > 0
Suy ra (1 – 2a)(1-2b)(1-2c) > 0
⇒1 – 2a – 2b – 2c + 4ab + 4bc + 4ca – 8abc > 0
⇒ -1 + 4(ab + bc + ca)- 8abc > 0
⇒ 4abc + 1
2< 2ab + 2bc + 2ca Mặt khác a + b + c = 1 ⇒(a + b + c)2 = 1
Hay a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 1
⇒2(ab + bc + ca) = 1 – a2 – b2 – c2 Do đó 4abc + 1
2< 1 – a2 – b2 – c2
⇒ 4abc + a2 + b2 + c2 < 1
2
Câu 5: ( 3 điểm)
K
N
a) ( 1,5 điểm)
Vì AB // CM nên:
CM BE
BA =CE
Vì AB // ND nên:
AF
AB DF
DN =
Vì AD = BC; AF = CE nên BE = DF
Do đó CM AB AB2 CM DN.
BA = DN ⇒ = hay CM.DN = a2
b) (1 điểm)
Theo phần (a) ta có:
CM AB
AB = DN hay D
DN
CM A
BC = Từ đó chứng minh đợc Δ BCM ~ Δ NDA ( c.g.c)
⇒ ∠BMC = ∠ NAD Từ đó suy ra ∠ AND + ∠ BMC = 900
Hay ∠ NKM = 900
c) ( 0,5 điểm)
Vì CD = a ( không đổi) nên MN nhỏ nhất ⇔ND + CM nhỏ nhất
Theo phần (a) ND CM = a2 ( không đổi) nên ND + CM nhỏ nhất ⇔ND = CM Từ
đó ta tìm đợc MN có giá trị nhỏ nhất là 3a ⇔EF lần lợt là trung điểm của BC và AD
F
E
B
M C
D A