Chuyên đề về tứ diện đặc biệtA.. Bài toán về tứ diện vuông: I.. Định nghĩa: Tứ diện SABC được gọi là tứ diện vuông đỉnh S nếu SA, SB, SC đôi một vuông góc II.. Nội dung: Cho tứ diện SAB
Trang 1(Chuyên đề về tứ diện đặc biệt)
A Bài toán về tứ diện vuông:
I Định nghĩa: Tứ diện SABC được gọi là tứ diện vuông đỉnh S nếu SA, SB, SC đôi
một vuông góc
II Nội dung:
Cho tứ diện SABC vuông đỉnh S
1/ Kẻ đường cao SH Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC
2/ Chứng minh rằng: 12 12 12 12
SC SB
SA
3/ Giả sử các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) lập với đáy lần lượt các góc α,β,γ CMR:
a/ cos2α +cos2β +cos2γ =1
b/
γ β
α
2 2
2
cos cos
cos
β
2 2
2
cos cos
cos
γ
2 2
2
cos cos
cos
3
≤
4/ CMR: S2∆ABC = S 2∆SAB +S 2∆SBC +S2∆SCA
5/ Gọi I là tâm hình cầu ngoại tiếp SABC và G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng S, G, I thẳng hàng
B Bài toán về tứ diện trực tâm
I Định nghĩa: Tứ diện ABCD được gọi là tứ diện trực tâm nếu các cặp cạnh đối
tương ứng vuông góc (AB ⊥CD, CA⊥BD, AD⊥ BC)
II.Nội dung:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, CA⊥ BD Chứng minh rằng AD⊥ BC
Bài 2: Cho tứ diện trực tâm ABCD
1/ CMR chân đường cao hạ từ 1 đỉnh lên mặt đối diện trực tâm của cạnh đó
2/ CMR các đường cao tứ diện đồng diện
3/ Các đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối bằng nhau
4/ Chứng minh rằng: AB2 + CD2 = BC2 + AD2 = CA2 + DB2
5/ Có ít nhất một mặt của tứ diện là tam giác nhọn (*)
C Tứ diện gần đều
I Định nghĩa: Tứ diện ABCD được gọi là tứ diện gần đều các cặp cạnh đối bằng
nhau (AB = CD, CA= BD, AD=BC)
Bài 1: Cho tứ diện gần đều ABCD Gọi a, b, c là các đoạn thẳng nối trung điểm các
cạnh đối diện
1/Các mặt của tứ diện là tam giác bằng nhau
2/ CMR: a, b, c là các đoạn đường vuông góc chung của các cặp cạnh dối diện
3/ Các đường thẳng a, b, c đồng quy tại trung điểm I của mỗi đường và vuông góc đôi một
4/ CMR: I là trọng tâm tứ diện
5/ CMR: I là tâm mặt cầu ngoại tiêp tứ diện
6/ Các đường trọng tuyến trong tứ diện bằng nhau
7/ Tổng 3 góc phẳng ở mỗi đỉnh bằng 180o
Bài 2 Cho tứ diện ABCD thoả mãn điều kiện SDAB = SDBC=SDCA và tổng các góc phẳng ở đỉnh D bằng 180o CMR ABCD là tứ diện gàn đều (*)
Trần Thị Thanh Tâm(tamcya@yahoo.com) (Còn nữa… Sẽ đăng tiếp kỳ sau)
1