sở giáo dục và đào tạo
hải dơng
-đề thi chính thức
Kì THI chọn HọC SINH GiỏI TỉNH lớp 9
Năm học 2009-2010 Môn Thi : toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 28 thỏng 3 năm 2010 (Đề thi gồm: 01 trang)
Cõu 1 (2 điểm)
a) Cho x là số thực thỏa món x2−4x+ =1 0
5
1
A x
x
= +
xyz
x xy
=
+ + ≠
B
Cõu 2 (2,5 điểm)
a) Giải hệ phương trỡnh:
2 2
( 4 )(2 ) 2
y y y x
y y x
b) Giải phương trỡnh x2−2x=2 2x−1
Cõu 3 (1,5 điểm)
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương n để A= +29 213 +2n là số chớnh phương
Cõu 4 (3 điểm)
Cho đường trũn tõm O và dõy AB cố định (O khụng thuộc AB) P là điểm
di động trờn đoạn AB (P khỏc A, B) Qua A, P vẽ đường trũn tõm C tiếp xỳc với (O) tại A Qua B, P vẽ đường trũn tõm D tiếp xỳc với (O) tại B Hai đường trũn (C) và (D) cắt nhau tại N (khỏc P)
b) Chứng minh: ãPNO= 90 o
c) Chứng minh khi P di động thỡ N luụn nằm trờn một cung trũn cố định
Cõu 5 (1 điểm)
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2
2
A
xy y x x y
Trang 2sở giáo dục và đào tạo
hải dơng
-Kì THI chọn HọC SINH GiỏI TỉNH lớp 9
Năm học 2009-2010 Môn Thi : toán
Cõu 1
(2 đ)
a) Phương trỡnh x2 − 4x+ = 1 0 cú ∆ = − = > ' 4 1 3 0
suy ra tồn tại x thỏa món 2
4 1 0
x − x+ =
x
− + = ⇔ + = ⇔ + = (do x≠ 0)
2
( ) 2 16 2 14
+ = + − = − =
( )( ) 4(14 1) 52
+ = + − + = − =
( )( ) ( ) 14.52 4 724
⇒ = + = + + − + = − =
0,25 0,25 0,25 0,25 b) xyz = 2 ⇒x y z; ; ≠ 0
x xy xyz xyz z xz x xy
+ + + + + +
2
2 1 2
x xy xy x x xy
x xy
x xy
+ + + + + + + +
+ +
0,25 0,5 0,25
Cõu 2
(2,5 đ)
a)
( 4 )(2 ) 2 ( 4 )(2 ) 2
− − = − − =
− − = − + − =
Đặt
2 4 2
y y u
y x v
− =
− =
2 (3 ) 2
⇔
+ = = −
0,25 0,25
2 3 2 0 3
v v
− + =
⇔
= −
;
= =
⇔ = =
*
= − = − − =
= − = = −
= −
*
= − = − − =
= − = = −
= −
0,25
0,25 Vậy nghiệm của hệ phương trỡnh đó cho là:
2 2 5 2 2 5 3 2 6 3 2 6
= + = − = + = −
= + = − = + = −
0,25
2
x≥
Phương trỡnh đó cho tương đương với:
2 (2 1) 2 2 1 1 0
x − x− − x− − = ⇔x2 − ( 2x− + 1 1) 2 = 0
(x 2x 1 1)(x 2x 1 1) 0
Trang 32 1 1 0
⇔ − − − = (vì 1
2
x≥ nên x+ 2x− + > 1 1 0)
1 2 1
( 1) 2 1 4 2 0
⇔ − = − ⇔ ⇔
− = − − + =
1,2
1
2 2
2 2
x
x x
≥
⇔ ⇔ = +
= ±
1 2
x≥ )
0,25 0,25
0,25
Câu 3
(1,5 đ)
Xét n > 9 ⇒ =A 29+213+2n=2 (1 29 + 4+2n−9)
Thấy 1 2+ 4+2n− 9 là số lẻ nên A chia hết cho 29 nhưng không chia
Xét n = 9 ⇒ =A 29+ 213+ 29= 2 (1 29 + 4+ = 1) 9.210 = 962 là số chính
phương
0,25
0,25 Xét n < 9 ⇒ =A 29+213+2n=2 (2n 9−n+213−n+1)
Do 29 −n+213 −n+1 là số lẻ và A là số chính phương nên 2n là số
chính phương nên n là số chẵn, n∈¥* suy ra n∈{2; 4;6;8}
9 13
2 n 2 n 1
Nhận xét số chính phương lẻ chỉ có thể tận cùng là 1; 5; 9
Với n = 2 ⇒ =B 27+211+ =1 2177 (loại)
Với n = 4 ⇒ =B 25+29+ =1 545, thấy B chia hết cho 5 nhưng
không chia hết cho 25 nên B không là số chính phương
Với n = 6 ⇒ =B 23 +27 + =1 137 (loại)
Với n = 8⇒ = +B 2 25 + =1 35 (loại) Vậy n = 9.
0,25 0,25
0,25 0,25
Câu 4
(3 đ)
a) Có (O) và (C) tiếp xúc trong tại
Có (O) và (D) tiếp xúc trong tại B
2
ANP= ACP
Có tam giác ACP cân tại C; tam
giác AOB cân tại O
· · ( · ) //
APC ABO CAP CP OB
2
ACP AOB ANP AOB
⇒ = ⇒ = (1)
Chứng minh tương tự ta có:
//
2
DP OA⇒BDP AOB= ⇒BNP= AOB(2)
Từ (1) và (2) suy ra ·ANP BNP=· (đ.p.c.m)
0,25
0,25 0,25 0,25 b) Gọi H là giao của NP và CD; I là giao của OP và CD
Theo chứng minh ở trên ta có CP // OB; DP // CO suy ra tứ giác
i h p
n o
d c
b a
Trang 4suy ra IO = IP
và HN = HP do đó HI là đường trung bình của tam giác PNO nên
HI // NO hay CD // NO(4)
Từ (3) và (4) suy ra NO⊥NP hay ·PNO=90o(đ.p.c.m)
0,25
0,25 0,25 c) Theo chứng minh phần a) có
ANB ANP PNB= + =AOB⇒ANB AOB= (5)
Lập luận để có N, O thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB (6)
ngoại tiếp tam giác AOB
Do A, B, O cố định nên N thuộc cung tròn cố định (đ.p.c.m)
0,25 0,25
0,25 0,25
Câu 5
(1 đ)
Đặt
2
; 0
x y
+ + = > ⇒ = + + +
Ta chứng minh bất đẳng thức (x y+ + 1) 2 ≥ 3(xy y x+ + )
Có:
( ) ( 1) ( 1) 0
+ + ≥ + + ⇔ + + − + + ≥
⇔ − + − + − ≥
Đúng với mọi x; y Đẳng thức xảy ra khi x = y =1
2 ( 1)
x y
a
xy y x
+ +
0,25
0,25
Có 1 8 ( 1) 8.3 2 .1 8 2 10 10
= + = + + ≥ + = + = ⇒ ≥ 0,25
Đẳng thức xảy ra
3
1 9
a
a a
=
⇔ = ⇔ = ⇔ = =