n n Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 0,5... Viết phương trình tiếp tuyến d của C, biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 2x.
Trang 1GIỚI THIỆU ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯƠNG HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2009-2010
MÔN: TOÁN LỚP: 11 (CƠ BẢN)
ST
T
Mã
câu
hỏi
Ý, thời gian
Nội dung Đáp án
Điểm
1 0401 B, 8’
Tìm : ( 4 2)
3
3 lim 3 2 lim 1 2
− + = − + ÷÷= +∞
n
0,5
Vì lim 1 33 2 3 0
n
− + = >
2
2
0401 A, 8’
Tìm :
2 2
2 3 1 lim
2
− −
− +
n
1,0
2
2
2
2
3 1 2
2 3 1
2
n
n
− −
0,5
2
3 1
1
n n n
− −
= = −
−
− +
0,5
3
0401 C, 10’
2
2
n
−
0,5
2
2
−
0,5
4 0401 C, 10’
Tìm :lim 3 4 1
2.4 2
− +
1,0
3 4 1 lim
2.4 2
− +
=lim
1
1 2 2
n
− +
+ ÷
0,5
1 2
5
0401 B, 8’
Tính tổng 2 2 22 2
= + + + + n +
Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 1
1
2 vµ c«ng béi
3
0,5
Suy ra
3 1
3
u S
q
0,5
6 0401 B, 8’
Tính tổng 1 1 1 ( 1)1
n n
Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 0,5
Trang 2= − = −
1
1
1 vµ c«ng béi
5
Suy ra
1
5
u S
q
−
− − −
0,5
7 0402 B, 10’
Tìm:
2 1
4 2 lim
1
x
x
+
→
−
1,5
Ta có : ( 2 )
1
1
lim 1 0
+
→ − = và x – 1 > 0 với mọi x∈(1 ; + ∞) 0,5
Do đó,
2 1
4 2 lim
1
x
x
+
→
− + = −∞
−
0,5
8
0402 A, 10’ Tìm lim( 3 4 2 2 )
2
4 2
x x
0,5
Vì lim 3 vµ lim 1 4 22 1 0
x x
= −∞ − + − ÷= − <
0,5
9 0402 C, 10’
Tìm :
1
3 2 lim
1
x
x x
→
+ −
−
1,5
2
3 2
3 2
x x
+ − + − =
1 lim
x
x
→
−
=
0,75
1
lim
4
3 2
+ +
0,75
10 0402 A, 8’
Tìm: lim 2 1
3
→+∞
−
−
x
x x
1,0 1
2
2 1
3
−
− =
x
x
0,5
1 lim 2
2 0
2
3 1 0 lim 1
→+∞
→+∞
−
−
−
x
x
x x
0,5
11
0402 C, 10’
Tìm
2 2
3 2 lim
2
x
x
→
−
1,5 2
3 2 ( 1)( 2)
0,75
2
lim( 1) 1
→
12 0403 B, 12’ Xét tính liên tục của hàm số :
= −
2 4 nÕu 2
3 nÕu 2
x
tại x = 2.0
1,5
Ta có:
2
4 lim ( ) lim lim( 2) 4
2
x
x
−
0,75 f(2) = 3 Vì lim ( )x→2 f x ≠ f(2) nên hàm số không liên tục tại x = 2. 0,75
Trang 313 0403 C, 15’ Tìm số thực a sao cho hàm số liên tục trên ¡
( )
1
x = -1
khi
1,5
Tập xác định của hàm số là ¡
• Nếu x ≠ -1 thì
( )
1
− −
= +
f x
x là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là
(- ∞ ; -1) ∪ (-1 ; + ∞) nên nó liên tục trên mỗi khoảng (- ∞ ; -1) ∪ (-1 ; + ∞)
0,5
• Nếu x = -1, ta có : f(-1) = a và
2
2 lim lim ( 2) 3
1
→− − − = →− − = −
+
x x
0,5
Hàm số f(x) liên tục trên ¡ ⇔ xlim ( )→−1 f x = −f( 1)⇔ a = -3 0,5
14 0403 D, 10’ Chứng minh rằng phương trình x3+4x2− =2 0 có ít nhất 2 nghiệm 1,0
3 2
f x = +x x − là hàm đa thức nên liên tục trên ¡ nên nó liên tục trên mỗi đoạn [-3 ; 0], [0 ; 1], và vì :
0,25
f(-3).f(0) = 3.(-2) = -6 < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-3 ; 0)
0,25
f(1).f(0) = 3.(-2) = -6 < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0 ; 1)
0,25
Vì (-3 ; 0) ∩ (0 ; 1) = ∅ nên phương trình có ít nhất hai nghiệm 0,25
15 0402 C, 7’
Xét tính liên tục của hàm số ( ) 1 nÕu 0
nÕu 0
f x
tại x = 0
1,0
Ta có lim ( ) lim0 0 ( 1) 1, lim ( ) lim0 0 0
Vì xlim ( )0+ f x xlim ( )0− f x
→ ≠ → nên hàm số không tồn tại
0
lim ( )
→ Do đó hàm số gián đoạn tại x = 0
0,5
16 0502 A, 5’
Tính đạo hàm của hàm số
4 2 3
5
2 3
= x − x + −
4 2 3
= ÷ − ÷+ −
0,5
3 2
17 0502 B, 8’
Tính đạo hàm của hàm số 4 3
2
x y x
−
= +
1,0
4 3 ' 2 2 ' 4 3 '
2
y
x
=
+
0,5
4( 2) (4 3) 11
0,5
18 0502 B, 8’
Tính đạo hàm của hàm số
2
1
y
x
− +
=
−
1,0
2 2
4 1 1 ( 1) 2 3 '
1
y
x
=
−
0,5
2 2
1
x
=
−
0,5
19 0503 C, 12’ Giải phương trình f’(x) = 0, biết f x( ) 2sin= 2x+cot 2x 1,5
3
2 2sin 2 2 '( ) 4sin cos
sin 2 sin 2
−
0,75
Trang 43 '( ) 0 sin 2 1 sin 2 1 2
20 0502 C, 10’ Tính đạo hàm của hàm số y= −(x 2) x2+1 1,0
2
2
2
x
x
+
0,5
=
0,5
21 0505 B, 12’ Cho hàm số ( ) 3(f x = x+1) cosx Tính ''
2
f π
÷
.
1,5
'' -6sin - 3( + 1)cos 6
÷
22 0501 C, 8’ Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): 3
4 3
y x= − x+ tại điểm có hoành độ bằng 2
1,0
f’(x) = 3x2 – 4, f(2) = 3, f’(2) = 8 0,5 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y – 3 = 8(x -2) ⇔ y = 8x – 13 0,5
23 0501 C, 8’ Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y x= −3 4x+3 tại điểm có
hệ số góc k = -1
1,0
3x2 – 4 = -1 ⇔ x = ± 1 ⇒ f(-1) = 6, f(1) = 0 0,5
Có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm: y - 0 = -1(x – 1); y + 6 = -1(x + 1) 0,5
24
0502 C, 12’ Cho hàm số f(x) = 2x+1 Tính (4) 6 '(4)f − f 1,5
Ta có '( ) (2 1)' 1
2 2 1 2 1
x
f x
+
0,5
f(4) = 3, '(4) 1 1
3 2.4 1
+
0,5
1 (4) 6 '(4) 3 6 1
3
25
0505 B, 8’
Cho hàm số:
2 1 2
x
y= + +x Chứng minh rằng: 2y.y” – 1 = y’2 1,0
Suy ra : 2y.y” -1 = 2 2 ( )2 2
2
x
0,5
26 0502 D, 10’ Xác định a để f’(x) > 0 ∀x ∈ ¡ , biết rằng
( ) ( 1) 2 1
1,0
2 '( ) 3 2( 1) 2
f’(x) > 0 ∀x ∈ ¡ ⇔∆’ < 0 hay a2 −2a− < ⇔ −5 0 1 6< < +a 1 6 0,5
27 0501 C, 12’
Cho đường cong (C) có phương trình ( ) 1
1
x
f x
x
−
= + Viết phương trình tiếp
tuyến d của (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 2x
1,5
Đường thẳng d song song với đường thẳng y = 2x nên đường thẳng d có hệ số góc là 2 Suy ra f’(x) = 2
0,5
⇔
2 2
0
1 1 2
2
2
x x
x
0,5
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là :
y – y(0) = 2(x – 0) ⇔ y + 1 = 2x ⇔ y = 2x – 1
0,5
Trang 5y – y(-2) = 2(x + 2) ⇔ y – 3 = 2x + 4 ⇔ y = 2x + 7
28 0505 C, 12’ Cho hàm số f(x) = xsin 2x Giải phương trình f”(x) = 4 cos 2x−2x 2,0
'( ) sin 2 2 cos2
"( ) 2 cos2 2 cos2 2 sin 2 4 cos2 4 sin 2
0,5
Phương trình f”(x) = 4 cos2x−2x⇔ 4 sin 2x x = 2x ⇔ x(2sin 2x – 1) = 0 0,25
x = 0 2sin 2x – 1 = 0 ⇔ , 5
Vậy phương trình có 3 nghiệm : x = 0, , 5
29
0501 A, 8’ Viết Phương trình tiếp tuyến của (C ): y= f x( )=x3−2x2+ −x 1 tại điểm
A(2 ;1)
1,0
Ta có: 'y = 3x2- 4x + 1
Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A là k = 'y (2) = 5
0,5 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5 (x-2) +1 = 5x - 9 0,5
30 0501 D, 10’ Tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = 1x, (x > 0) tại điểm M cắt trục tung
và trục hoành tại hai điểm A và B Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB
1,0
Gọi M x y( 0; 0)∈( )C , x > 0 Ta có 0 2 0 2
0
' ; '( )
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là 2 0 2
= − − + hay
0,5
Hoành độ giao điểm B của tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm của phương
0 0
2
0 B 2
0,25
Giao điểm A của tiếp tuyến với trục tung có hoành độ xA = 0 Suy ra 0
2
, mà ba điểm A, M, B thẳng hàng nên M là trung điểm của AB
0,25