Các công thức trên gọi là khai triển Taylor của hàm f tại a.. Sử dụng các định lí trung bình để chứng minh các đẳng thức sau thì tồn tại sao cho.. Do hàm và liên tục trên , khả vi trên n
Trang 1Tóm tắt lý thuyết
a Các định lí trung bình
Định lí Ferma Cho tập mở và hàm Nếu f đạt cực trị tại thì khả vi tại và
Định lí Roll Cho liên tục trên khoảng đóng [a, b] và khả vi trên khoảng mở (a, b Giả sử , khi đó tồn tại một số sao cho
Định lí Cauchy Giả sử hai hàm liên tục trên khoảng đóng [a, b] và khả vi trên khoảng mở (a, b) Khi đó tồn tại một số sao
cho
Định lí Lagrange Nếu liên tục trên khoảng đóng [a, b] và khả vi trên khoảng mở
b Công thức Taylor
Cho hàm f xác định trên lân cận nào đó của a Giả sử f khả vi đến cấp n tại a Kí hiệu là
đa thức theo biến x
có tính chất sau
Công thức Taylor cho ta mối liên hệ giữa hàm f(x) và đa thức
*Công thức Taylor đạng Peano Cho tập mở và nếu hàm khả vi đến n tại
thì
trong đó, là vô cung bé bậc cao hơn trong quá trình
*Công thức Taylor với số dư Lagrange Giả sử hàm f có đạo hàm cấp n+1 trong lân cận nào đó của
điểm Thế thì với mỗi x thuộc lân cận đó, tồn tại nằm giữa a và x sao cho với
ta có
Các công thức trên gọi là khai triển Taylor của hàm f tại a Trong trường hợp , khai
Trang 2triển Taylor còn được gọi là khai triển Mac Laurin.
Chú ý Các khai triển Taylor và Mac Laurin là duy nhất
[ Mục lục ]
Các ví dụ
1 Hàm f khả vi trên khi đó giữa hai nghiệm thực của phương trình
có ít nhất một nghiệm của phương trình
Thật vậy, gọi là hai nghiệm khác nhau của phương trình Theo định
lí Roll thì tồn tại sao cho
2 Sử dụng các định lí trung bình để chứng minh các đẳng thức sau
thì tồn tại sao cho
Suy ra
* Chứng minh với
- Với thì bất đẳng thức đúng
định lý Lagrange Vậy, tồn tại sao cho
Trang 3Xét hàm Ta có .
với Vậy là hàm đồng biến Suy ra
Xét hàm Theo định lí Lagrange, tồn tại sao cho
3 Viết công thức Cauchy cho hàm trên đoạn
[a,b]
Do hàm và liên tục trên , khả vi trên nên tồn tại
sao cho
4 Chứng minh rằng phương trình có không quá nghiệm
thực nếu n là số tự nhiên chẵn, có không quá 3 nghiệm thực nếu n là số tự nhiên lẻ.
- Nếu phương trình trở thành Phương trình này có tối đa 2 nghiệm thực
+ Nếu chẵn thì lẻ và chỉ có nghiệm
Vậy có tối đa 2 nghiệm
+ Nếu lẻ thì chẵn có tối đa 2 nghiệm
Vậy có tối đa 3 nghiệm
5 Cho liên tục trên đoạn và khả vi trên khoảng
Trang 4Giả sử , chứng minh rằng tồn tại sao cho
Do liên tục trên nên tồn tại
Mặt khác, theo giả thiết thì nên tồn tại thỏa mãn Khi đó, tồn tại
liên tục )
thỏa mãn giả thiết của định lí Roll Điều đó có nghĩa là tồn tại
Vậy ta có điều phải chứng minh
6 Khai triển Mac Laurin các hàm số sau
Suy ra
Có thể khai triển trực tiếp với chú ý
Ta viết
Trang 5-Xét
Vậy
7 Viết các khai triển Mac Laurin với phân dư Peano hàm số
đến
Ta có
Suy ra
8 Chứng minh rằng nếu f có đạo hàm cấp 2 tại a thì
Do tồn tại nên theo công thức khai triển Taylor ta có
Trang 6Vậy
9 Sử dụng khai triển Taylor để tính giới hạn
Ta có
Ta có
Trang 7
10 Sử dụng công thức Taylor để tính đạo hàm cấp n tại của các hàm sau
Ta có
Theo công thức khai triển Mac Laurin thì hệ số của trong khai triển của hàm là
Mà khai triển Mac Laurin là duy nhất, suy ra
Vậy
Ta có
Đặt
Theo khai triển
- Xét chẵn hay lẻ thì
- Xét lẻ hay chẵn
+Nếu
Trang 8+Nếu
c
Ta có
Tương tự câu b) ta có
- Nếu chẵn hay lẻ thì
-Nếu lẻ hay chẵn thì ta đặt
Để biểu diễn theo lũy thừa của ta tìm khai triển Taylor của tại
Ta có
Suy ra
12 Sử dụng công thức tính gần đúng , tính
Trang 9và đánh giá sai số.
*Tính
*Đánh giá sai số
Ta có khai triển của đến là
Suy ra sai số là
13 Chứng minh rằng công thức tính gần đúng
có sai số không vượt quá 0,001 với các giá trị
Ta có khai triển của đến là
Suy ra sai số là
Vậy
[ Mục lục ]
Bài tập tự giải
1 Chứng minh các bất đẳng thức sau
a
HD: Áp đụng định lí Lagrange cho hàm
cho đoạn [x, y] với
b
2 Khai triển Mac Laurin các hàm số sau
a b
Trang 103 Viết các khai triển Mac Laurin với phân dư Peano hàm số đến 4 Viết đa
ĐS:
4 Sử dụng khai triển Taylor để tính giới hạn
a b
ĐS: a b
5 Trong công thức sau công thức nào đúng
ĐS: Cả hai công thức trên đều đúng
và đánh giá sai số