BÀI Ω α Φ  ϕ ∞ ϖ    ¥ ξ δ    ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Định nghĩa: Ma trận cỡ mxn bảng gồm m.n số thực (phức) viết thành m hàng n cột sau:  a11 a 21 A=    am1  a12 a22 am a1n  a2 n     am n   Kí hiệu: A = [aij]mxn Tập hợp tất ma trận cỡ mxn ký hiệu Mmxn §1: Ma Trận ∑  a11 a  21    ai1    am1  a12 a22 a1 j a2 j aij aij am amj Cột thứ Cột thứ j ín h yến T ố Tu Đại S Hàng thứ a1n  a11 a22 a33 … gọi đường a2 n  chéo    Hàng thứ i ain    mn: gọi cấp ma trận am n   aij: Phần tử nằm hàng i cột j ∑ §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S Ví dụ: 1 A=   − 1.5 a21 2  5 2x3  − 6 2  B=    − − 2   3x3 đường chéo ∑ §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S * Khi m = n (số hàng = số cột) ta nói A ma trận vng cấp n Tập hợp tất ma trận vuông cấp n ký hiệu Mn Ma trận vng cấp Ví dụ:  8  3    − 7 ;  − 0    2   Ma trận vuông cấp ∑ §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: Ma trận không: aij = 0, ∀ i, j (tất phần tử = 0) Ví dụ:  0 0 O=    0 0 ín h yến T ố Tu Đại S ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: Ma trận chéo: ma trận vng có: aij = 0, ∀i ≠ j (các phần tử ngồi đường chéo = 0) Ví dụ:  0 0 0   0 9    a11 0    0 a22 0     ann  ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: Ma trận đơn vị: ma trận chéo có: aii = 1, ∀i = 1, 2, , n Ký hiệu: I, In Ví dụ: 1 1 0  0 1  I2 =  , I = 0  , I n =     1   0     0 0 0    1 ∑ §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S Các ma trận đặc biệt: Ma trận tam giác: ma trận vng có aij = 0, ∀i > j.(tam giác trên) aij = 0, ∀i < j (tam giác dưới) Ví dụ: 1 4 2 0 0 0 −1    0    0 0  MT tam giác 7 0    0 0   2 5 MT tam giác ∑ §1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: Ma trận cột:là ma trận có n=1 Ma trận cột có dạng:  a11  a   21  := [ a ] i m      am1  ín h yến T ố Tu Đại S ∑ §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S Các phép toán ma trận: Phép cộng hai ma trận:  aij  + bij  =  aij + bij    m × n   m× n   m× n (cộng theo vị trí tương ứng) 1+ 0=1 Ví dụ: 2+3=5  0   1   −3  +  −4  = -1 1        −2  1          ∑ §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S Các tính chất: Giả sử A,B,C,O ma trận cấp, đó: i) A + B = B + A ii ) A + O = A + O = A iii ) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ∑ §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S Các phép toán ma trận: Phép nhân số với ma trận: λ  aij  m×n = λ.aij  m×n , λ ∈ R     (các phần tử ma trận nhân cho λ ) 2.(-2)=-4 -4 Ví dụ: 2.3=6  −2   -2 0 2.0=0 7  =   2 14   10  −2  0 -4      ∑ §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S Các tính chất: ∀α , β ∈ R, ∀A, B hai ma trận cấp, i) α ( A + B) = α A + α B ii ) (α + β ) A = α A + β A iii ) α ( β A) = (αβ ) A iv) 1A = A Sinh viên tự kiểm tra ∑  §1: Ma Trận Chú ý: ín h yến T ố Tu Đại S A − B = A + (−1) B      3  5  5 − 1 3 =  5 + (−1) 1 3         1 3  −6 −5  −5 −2  =  +  −1 −3 =    5      Nhận xét: trừ ma trận trừ theo vị trí tương ứng ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Các phép toán ma trận: Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận Am× p ; B p×n , Khi ma trận Am× p B p×n = [cij ]m×n gọi tích hai ma trận A, B Trong đó: cij = ai1b1 j + 2b2 j + + aip bpj , ∀i = 1, m; j = 1, n ai1 b1 j b2 j aip bpj Hàng thứ i ma trận A Cột thứ j ma trận B Như cij = hàng thứ i ma trận A nhân tương ứng với cột thứ j ma trận B cộng lại ∑ §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S Ví dụ: Nhân hai ma trận sau: =3.2+2.0+1.(-1)=5 13 =13 -1   +2 +1      −1  .3  =     3     −2  3×3 .4 −1 3×2   3×2   4    số cột A= số hàng = B Chú ý: hàng nhân cột viết vào vị trí c12 ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Ví dụ: Nhân hai ma trận sau: Cột Hàng =0.1+(-1).3+4.4=13 13   1  13 5  −1    =          −2  3×3  −1 3×2  -4 3×2        Hàng =0.2+1.0+4.(-1)=-4 -4 Cột ∑ §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S  Chú ý: Phép nhân ma trận khơng giao hốn  Ví dụ: 1   −1 19 −1 AB =     =  23 −5 5       −1 1   −2 10  BA =   5  =  16  4      ∑  §1: Ma Trận Ví dụ: 1  1 0  1  AI = 8  0  = 8  = A         0  3       1 0  1  1  IA = 0  8  = 8  = A       0    3       ín h yến T ố Tu Đại S ∑ §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S Các tính chất: Ta giả sử ma trận có cấp phù hợp để tồn ma trận tích i ) A( BC ) = ( AB)C ii ) A( B + C ) = AB + AC iii ) ( A + B )C = AC + BC iv) ∀k ∈ ¡ , k ( AB ) = (kA) B = A(kB ) v) AI = A ( IA = A) ∑ ín h yến T ố Tu Đại S §1: Ma Trận Các tính chất: i) ( A + B) = A + B T T T ii ) (kA)T = kAT , ∀k ∈ ¡ iii ) ( AB ) = B A T Sinh viên tự kiểm tra T T ∑ §1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S 3  Ví dụ: Cho f ( x) = x + 3x − A =   1  Tính f(A)?  Ta có: f ( A) = A2 + A − 5I 2 3  3  1  =  + 1  −   1 4     3  3  9 15  −5  =  1  + 3 12  +  −5 1    4 2 4   AA = 14 35  21 +    15 18 50    = 10 28     ∑ §1: Ma Trận  Bài tập: Cho  Tính ín h yến T ố Tu Đại S 2 0 2  A =  −1  ; B = 1 −3      −2  4      AB; A2 ; AT A; AB − 3B ∑  §1: Ma Trận f ( x) = x + 3x − Bài tập: Cho ma trận Tính f(A) =? 1  A = 0 4   0 2   ín h yến T ố Tu Đại S ... giác ∑ ? ?1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: Ma trận cột:là ma trận có n=1 Ma trận cột có dạng:  a11  a   21  := [ a ] i m      am1  ín h yến T ố Tu Đại S ∑ ? ?1: Ma Trận Các ma trận đặc... ? ?1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: Ma trận không: aij = 0, ∀ i, j (tất phần tử = 0) Ví dụ:  0 0 O=    0 0 ín h yến T ố Tu Đại S ∑ ín h yến T ố Tu Đại S ? ?1: Ma Trận Các ma trận đặc biệt: Ma. .. Các ma trận đặc biệt: Ma trận hàng: ma trận có m=1 Ma trận hàng có dạng: [ a11 a12 a1n ] ín h yến T ố Tu Đại S ∑ ? ?1: Ma Trận ín h yến T ố Tu Đại S Các ma trận đặc biệt: Ma trận nhau: A =  aij