phuong phap khao sat va ve do thi ham so

Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi thấy nhiều học sinh ở trường THPT số 3 Bảo Yên chưa biết khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:

Phần I: MỞ ĐẦU

1/Lý do chọn đề tài:

Toán lớp 12, một trong những chủ đề dễ lấy điểm nhất trong cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT(chiếm 3,5đ)

Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi thấy nhiều học sinh ở trường THPT số

3 Bảo Yên chưa biết khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài

sáng kiến kinh nghiệm: “ Phương pháp khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ” nhằm

hướng dẫn học sinh một số biện pháp để học sinh khảo sát và vẽ được đồ thị của hàm

số một cách nhanh và chính xác

2/Mục tiêu và nhiệm vụ của đề tài nghiên cứu:

- Hệ thống kiến thức về khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số bậc 3, bậc 4 trùng phương và hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

- Trình bày cách vẽ đồ thị của một hàm số, các ví dụ minh họa cùng bài tập áp dụng Giúp các em học sinh nắm được kiến thức cơ bản để học sinh khảo sát và vẽ được đồ thị của hàm số một cách thành thạo

3/Ý nghĩa của đề tài:

Đề tài thành công sẽ có ý nghĩa lớn trong việc nâng cao kĩ năng khảo sát và vẽ được đồ thị hàm số của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng thi tốt nghiệp THPT môn Toán

4/Nội dung nghiên cứu:

- Sơ đồ khảo sát hàm số, các ví dụ minh họa

- Các yếu tố để khảo sát và vẽ đúng đồ thị của hàm số

- Bài tập áp dụng

5/Giới hạn của đề tài

Đề tài được áp dụng trong thời gian từ tháng 10/2009 > 02/2010 dành cho đối tượng lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT

Phần II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Sơ đồ khảo sát hàm số

1 Tìm tập xác định: D=…

2 Sự biến thiên

a Chiều biến thiên: - Tính y’ = cho y’ = 0 và tìm nghiệm(nếu có)

- Xét dấu của y’ chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến

b Cực trị: Chỉ rõ điểm cực đại, cực tiểu

c Giới hạn: - Tính limx y ; limx x o y





 

- Tìm phương trình tiệm cận (nếu có)

d .Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương); Tính y’’ cho y’’ = 0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’

e Lập bảng biến thiên

3.Vẽ đồ thị:

1 Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d ( a  0 )

+ TXĐ : D = R

+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2  3acac

kl: hàm số tăng trên?

(giảm trên?)

y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2

kl: hàm số tăng? giảm?

hàm số không có cực trị  cực tri ̣ cực đại? cực tiểu?

+ vẽ đồ thị :

 Xác định giao điểm với Ox, Oy

 xác đinh cực trị ?  và các điểm đặc biệt

 Vẽ đồ thị đi qua các điểm nói trên(xđịnh được dạng đồ thị)Điểm uốn I( a

b

3 ;f(f(3b a ))

a>0 ; có 2 ct a<0; có 2 ct a>0, không ct a<0, không ct

VD1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2x3ac - 6x + 2

1 TXĐ: R

2 Sự biến thiên

HS đồng biến trên    ; 1 (1;  );HS nghịch biến trên ( 1;1) 

c, Giới hạn : x lim (2x3 - 6x + 2) 

d, Bảng biến thiên

3.Đồ thị

Giao với Oy: A(0; 2)

Lấy B(2; 6) ; C(-2; 2)

VD2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y = -3acx3ac +3acx2 - 4

< Học sinh làm tương tự >

2 Hàm bậc 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c ( a  0 )

+ TXĐ : D = R

+ b)

y/ = 0  x = 0

kl: tăng? giảm

a b

2



kl: tăng? giảm?

giá trị cực trị : y(0) = c

b

2

 ) = a

có 3 cực trị

x   -1 1 + 

y / + 0  0 +

y 6 + 

-  -2

a > 0

VD3: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y = x4 - 2x2 + 2

1 TXĐ: R

2 Sự biến thiên

HS đồng biến trên  1;0 (1;  );H/số NB trên    ; 1 (0;1)

c, Giới hạn : lim (x - 2x + 2)4 2

d, Bảng biến thiên

x   -1 0 1 + 

y /  0 + 0  0 +

y +  2 + 

1 1

3.Đồ thị

Giao với Oy: A(0; 2)

Lấy B(2; 6) ; C(-2; 2)

VD4: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y = -2x4 + 4x2 -1

< Học sinh làm tương tự >





( c  0; ad  bc  0 )









c d

bc ad





Hàm số không có cực trị Hàm số nghịch biến

trên D

Hàm số đồng biến trên D

a> 0 b>0

a< 0

b <0

a< 0 y’ = 0 có 3 nghiệm

a > 0

+ Tiệm cận:  x = d c là tiệm cận đứng vì limd

x c

ax b

cx d





 = 

x

ax b

cx d

 



 = c a + Vẽ đồ thị :  Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt

 Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng nhánh

đó qua giao điểm hai tiệm cận

* Dạng đồ thị:

a

x







1.TXĐ: DR \ 2

 2

5

( 2)

x

Hàm số đồng biến trên đoạn (    ;f( 2)vµ( 2;f(   )

c./ Giới hạn – tiệm cận



 







( 1)

2 1 lim

2

x

x



 



( 1)

2 1 lim

2

x

x

 







2 1

2

x

x

d Bảng biến thiên

3 Đồ thị

Giao với 0y => x = 0 => y = -1/2

2

đồ thị nhận giao I(-2 ; 2) của

hai tiệm cận làm tâm đối xứng

x







< Học sinh làm tương tự >

Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) biết

1 Tiếp tuyến tại M(x0; yo)

TT có phương trình là :

y = a/c

y= a/c

2 1 2

x y x







y – y0 = f /(x0).(x x0) trong đó : y0 = f(x0)

 Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f /(x) => f /(x0) = ?

 P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x x0) + f(x0)

2 Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Ta có: f /(x0) = k => x0 rồi tính y0 = f(x0)

VD7: Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 - 1 có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tuyến của đồ thị (C)

a Tại điểm A(1; -2)

b Tại điểm có hoành độ x = -1

c Tiếp tuyến có hệ số góc k = 12

Giải

a Ta có: x0 = 1, y0 = -2

Tiếp tuyến tại A(1; -2) có phương trình là :

y – y0 = f /(x0).(x x0)  y + 2 = 0(x - 1)  y = -2

b Ta có: x0 = -1, y0 = -6

=> Tiếp tuyến có phương trình là :

y + 6 = 12(x + 1)  y = 12x + 6

c Vì tiếp tuyến có hệ số góc k = 12 nên

f /(x0) = 12  6x2 - 6x = 12 => x0 = -1; x0 = 2

Với x0 = 2 => y0 = 3 => PTTT: y = 12x + 21

VD8: Cho hàm số: y = 2x4 - 4x2 + 1 có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tuyến của đồ thị (C)

a Tại điểm B(1; -1)

b Tại giao của đồ thị với trục Oy

c Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = -48x + 7

Giải: < Học sinh làm tương tự >

Bài toán 3 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).

Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)

f(x) = g(x) (1)

* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong

VD9: Cho hàm số: y = 2x3 - 6x + 2 có đồ thị (C)

a Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau :

<=> 2x3 - 6x + 2 = m

Số nghiệm của phương trình (1) chính

là số giao điểm của đồ thị (C) và

đường thẳng y = m

Dựa vào đồ thị ta có:

Nếu -2 < m <6 => ptrình có 3no

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 Khảo sát hàm số bậc 3

Bài 1 Cho hàm số y = -x + 3x 3 2 có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng -1

3 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

ĐS: 2.d : y = -9x - 7; 3.S =27

4 Bài 2 Cho hàm số y = x - 2x + 3x1 3 2

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

3

(*)

3 Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm của (C) với Ox

ĐS: 2 m >4

4

m =

0 < m <4

3 d : y = 3x; d : y = 0 1 2

Bài 3 Cho hàm số y = x - 3x + 5 3 2 có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

3 Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1

ĐS: 2 -5<m<1; 3 d: y=3x+6

Bài 4 Cho hàm số y = (x +1) 3 có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm uốn

Bài 5 Cho hàm số y = -x + 3x - 4x + 2 3 2 có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm cùa (C) với trục tung

ĐS: 2 d: y=4x+2

2 Khảo sát hàm số trùng phương

Bài 6 Cho hàm số y = -x + 2x + 3 4 2 có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

y = m

2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x - 2x - 3 +m = 0 4 2

ĐS: 2 m > 4 phương trình vn

m = 4 phương trình có 2 nghiệm 3<m<4 phương trình có 4 nghiệm

m = 3 phương trình có 3 nghiệm m< 3 phương trình có 2 nghiệm

Bài 7 Cho hàm số 1 4 2 3

y = x - 3x +

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình

ĐS: 2 m >3

3

m =

< m <

-3

m =

-3

m <

Bài 8 Cho hàm số y = 2x - 4x + 2 4 2 có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình

2x - 4x + 2 - m = 0 4 2

3 Viết phương trình tiếp tuyến d với (C ) tại điểm có hoành độ bằng -2.

ĐS: 2.m>2 pt có 2 ngh pb

m=2 phương trình có 3 nghiệm 0<m<2 phương trình có 4 nghiệm m=0 phương trình có 2 nghiệm m<0 phương trình vô nghiệm

3 d: y = -48x-78

Bài 9 Cho hàm số y = x + x 4 2 có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

ĐS: 2 m>0 phương trình có 2 nghiệm

m=0 phương trình có 1 nghiệm m<0 phương trình vô nghiệm

Bài 10.Cho hàm số y = x (x - 2) 2 2 có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

3 Tinh thể tích vật thể khi cho hình phẳng giới hạn bời (C) và hai đường thẳng x=0, x=1

xoay quanh trục Ox ĐS: 2 -1<m< 0

3 V =107π

315

3 Khảo sát hàm số hữu tỉ

Bài 11.Cho hàm số y =-3x -1

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng 3

3 Tinh diện tích hình phẳng giới hạnbời (C)và hai đường thẳng x= -3, x= -1

ĐS: 2 d : y = x + 2

3 S = 6 - 4ln2

Bài 12.Cho hàm số y =2x -1

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại giao điểm cùa (C) với trục Ox

ĐS: 2 d : y = -4x + 2 Bài 13.hàm số y =x + 3

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có hoành độ bằng -3

3 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bời (C), đường thẳng x=-5 và Ox

ĐS: 2 d : y = -x - 3

3 S = 3 - 4ln2

Bài 14.Cho hàm số y = 2x

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến d với (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2

3 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bời (C), đường thẳng x=2 và x = 4

ĐS: 2 d : y = x +2 8

3 S = 4 + 2ln3

5 Bài 15.Cho hàm số y =x +1

x -1 có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tại điểm có tung độ bằng -2

3 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ), và hai trục tọa độ

ĐS: 2 d : y = x -9 7

4 S=2ln21

Giáo án dạy thực nghiêm

Tiết 15 Ngày soạn : 08/9/2009

Ngày dạy : 14 /9/2009

BÀI TẬP

§6 KHẢO SÁT HÀM SỐ

A – MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU

hàm số bậc 4 trùng phương

cách làm các bài toán ứng dụng của đạo hàm, kỹ năng tính toán vẽ đồ thị

xác cho học sinh

B – CHUẨN BỊ

C – TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG:

3 Hđ1 : Giải BT3

- Mục tiêu: HS biết khảo sát và vê đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương (20’)

- Cách tiến hành:

Bài 3 Khảo sát hàm số

1

2

*D=R

*Sự biến thiên: Ta có:

y’>0   ; 1  0;1  HSĐB

CH: Tìm D=?

CH: Xét chiều biến thiên của hàm số?

D=R

HS: Ta có:

*Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại

cd

3

2

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0

 

ct

CH: Tìm cực trị của hàm số?

HS: Hàm số đạt cực đại tại

cd

3

2

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0

  ct

3

3

CH: Xét dấu y’’? kết luận về tính lồi lõm của đồ thị ?

CH: Tính toạ độ các điểm uốn?

HS: Đồ thị h/số lõm

HS tính toán và đọc kết quả

x

lim y

lim y

 

  



 

*Bảng biến thiên

CH: Tính các giới hạn ?

HD: Lập bảng biến thiên

HS: Ta có:

x

x

lim y lim y

 

  



 

x   -1 0 1 

y' + 0 0 + 0

-y   

điểm?

Hướng dẫn vẽ đồ thị

HS:Giaođiểm với 0y: A(0;1)

Giao điểm với Ox:

 1  3;0 ,  1  3;0

Bài 4 Cho hàm số

a/Khảo sát hàm số khi m=1

b/Tìm m để đồ thị cắt 0x tại 4

theo các bước đã học

điểm phân biệt

b/ Đặt x2 =t (t > 0) Ta có PT:

Để đồ thị cắt 0x tại 4 điểm phân

biệt thì PT(*) phải có 2 nghiệm

dương:

' 0 0 0

S

P

 





  

 



CH: Để đồ thị cắt 0x tại 4 điểm phân biệt cần ĐK gì?

HD: Giải hệ PT tìm giá trị của m

HS: PT(*) phải có 2 nghiệm dương

HS: Giải hệ PT tìm giá trị của m

5 Dặn dò: Đọc phần khảo sát hàm số phân thức.c ph n kh o sát hàm s phân th c.ần khảo sát hàm số phân thức ảo sát hàm số phân thức ố phân thức ức

Phần III: KẾT LUẬN

1 Kết luận

Sau khi nghiên cứu và thực hiện đề tài sáng kiến kinh nghiệm trên đối tượng học sinh đã nêu, tôi nhận thấy nhiều học sinh đã biết cách vẽ đồ thị của hàm số

Tuy nhiên do đặc thù vùng miền và do phương pháp giảng dạy của giáo viên còn chưa bám sát được các đối tượng học sinh nên việc ứng dụng của đề tài chưa thực sự mang lại hiệu quả cao

Tôi mong muốn được sự quan tâm, đóng góp ý kiến của các đồng chí trong tổ Toán – Lí – Tin – CN và đặc biệt là nhóm giáo viên Toán để nội dung của đề tài được hoàn thiện hơn, được ứng dụng rộng rãi và mang lại hiệu quả cao hơn

2 Tài liệu tham khảo

- Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2008 – 2009- NXB.Giáo dục

- Chuyên đề Toán THPT Giải tích 12 (Vũ Thế Hựu – Trân Chí Hiếu

NXB.Giáo dục)

- Các bài Toán về hàm số- G.S Phan Huy Khải – NXB Hà Nội