boi duong hsg lop 8

Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC.. c Chu vi tam giác ADE không đổi... Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD... Cho tam gi

Bồi dưỡng HS giỏi Toán 8

* * * * *

• BÀI 15:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH Trên tia HC lấy HD =

HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

a) Chứng minh AE = AB

b) Gọi M là trung điểm của BE Tính góc AHM

Giảia) Kẻ EF ⊥ AH Ta có:

Giải

Ta có:

BM là phân giác µB => AM MC = BC AB =12

 AB = BC2 (1)

CN là phân giác µC => NB NA= AC BC =34

GV: Nguyễn Văn Thanh Trường THCS Tân Xuân

1 1 M D H

F

C B

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A với x = 6022

c) Tìm x để A < 0

d) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

Giảia) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 12

Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và

E CM:

a) BD.CE = 2

4

BC

b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED

c) Chu vi tam giác ADE không đổi

Giảia) Trong ∆BDM ta có:

B M= = 600

=> ∆BMD ~ ∆MED (c.g.c)

=> D¶1 =D¶2

=> DM là phân giác ·BDE

CM tương tự ta có: EM là phân giác ·CED

c) Kẻ MH ⊥ AB; MI ⊥ DE; MK ⊥ AC

∆vuông DHM = ∆vuông DIM ( CH- GN)

2 1 2

x x

2

1

x x

= (a2 – 2)2 – 2 = a4 – 4a2 – 4 – 2 = a4 – 4a2 + 2d) x5 + 5

b) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc

*BÀI 26:

Cho tứ giác ABCD có AD = BC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD Tia

MN cắt tia AD ở E và cắt tia BC ở F CM: ·AEM =BFM·

GiảiGọi I là trung điểm của BD, ta có:

Xét ∆ MCB và ∆ NDC có:

Mà M là trung điểm của AB => K là trung điểm của CD

 DP = IP ( PK là đường TB ∆DIC)

 ∆DAI cân tại A

 AD = AI

*BÀI 28:

B

I C

M

N F E

D

A

K P

I N M

C

B

D A

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành 2 đoạn có độ dài 9 cm và 16 cm Tính chu vi tam giác ABC.

 (y – 1)(3y – 10) = 0 

1 10 3

y y

x x

*BÀI 30: Chứng minh rằng:

Giảic)Ta có: (a – b)2 ≥ 0 => a2 + b2 ≥ 2ab

• Nếu -5 < x < 0 thì x(x + 5) < 0  x x( 5+5) < 0

Vậy BPT có nghiệm là -5 < x < 0

*Nếu x < - 5 thì x(x + 5) > 0  x x( 5+5) > 0

Vậy BPT vô nghiệm

Vậy BPT đã cho có nghiệm -5 < x < 0

*BÀI 32: Giải phương trình:

x− + + 4 x 1 = 9

1)Nếu x < -1 thì x – 4 < 0 và x + 1 < 0 => x− 4 = -x + 4 và x+ 1 = -x – 1 P.t trở thành: -x + 4 – x – 1 = 9 (ĐK: x < -1)

<=> x = -3 (TMĐK) 2) Nếu -1 ≤ x ≤ 4 thì x – 4 ≤ 0 và x + 1 ≥ 0 => x− 4 = -x + 4 và x+ 1 = x + 1 P.t trở thành: -x + 4 + x + 1 = 9 (ĐK: -1 ≤ x ≤ 4)

 0x = 4 VN 3) Nếu x > 4 thì x – 4 > 0 và x + 1 > 0 => x− 4 = x – 4 và x+ 1 = x + 1 P.t trở thành: x – 4 + x + 1 = 9 (ĐK: x > 4)

 x = 6 (TMĐK) Vậy p.t đã cho có tập nghiệm là S = {− 3;6}

• BÀI 33: Rút gọn các biểu thức: (n là số nguyên dương)

- Nếu m + 4 ≠ 0  m ≠ -4 ta có: x = 2(m m++41)

- Nếu m + 4 = 0  m = -4 p.t trở thành: 0x = -6 VN

- Không có giá trị nào của m để p.t có VSN

* BÀI 35:

Cho A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4

a) Phân tích A thành nhân tử

b) CMR: Nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì A > 0

Giảia) A = 4a2b2 – (a4 + 2a2b2 + b4 + c4 – 2b2c2 – 2a2c2 )

Thay x = 9 vào ta có:

 = 900 (gt)

C M

E

B D A

E là trung điểm của AC.

=> DE là đường TB của ∆ABC

=> DE // BC

=> ∆ADE ~ ∆ABC

* BÀI 38:

Cho tam giác ABC có AB = AC = 9cm Tia phân giác góc B cắt đường cao AH ở

I Biết IH AI = 32 Tính chu vi tam giác ABC

Giải

Ta có: BI là phân giác µB

Aùp dụng t/c đường phân giác trong ∆ABH ta có:

C H

I

B A

 GTNN của A là 2001  x = 1

• BÀI 41:

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a, tâm O Kẻ đường thẳng d bất kì qua O,

d không trùng với AC, BD Kẻ AM, BN, CP, DQ lần lượt vuông góc với d

Tính AM2 + BN2 + CP2 + DQ2 theo a

GiảiXét ∆vuôngAMO và ∆vuông ONB có:

OA = OB (t/c đường chéo hình vuông)

Q P

M N d

O

C

B

D A

b) CMR: Tổng MQ MN AQ + BN +MP CP không phụ thuộc vào vị trí của điểm M thuộc miền trong tam giác ABC.

Giảia) Kẻ MH ⊥ BC ; AK ⊥ BC

1

2

MAB

ABC

S MP

S

S = 1 (hằng số)Vậy: tổng MQ MN AQ + BN +MP CP không phụ thuộc vào vị trí của điểm M thuộc miền trongtam giác ABC

1 1

x

+ + +

B Cµ = µ (gt)

MB OB =CN OB => MB OB =OC CN

1 1 1

C O

N

B M A

* Xét ∆OCN và ∆MON có:

x x

b) Tính giá trị của B khi |x| = 12

c) Với giá trị nào của x thì B < 0

d) Với giá trị nào của x thì B = 2

Giảia) ĐKXĐ: x ≠ 0 ; x ≠ 2 ; x ≠ -2

a) ∆ABH ~ ∆MNO.

b) ∆AHG ~ ∆MOG

c) Ba điểm H, G, O thẳng hàng

Giảia) Xét ∆ABH và ∆MNO có:

Từ (1) và (2) => ∆ABH ~ ∆MNO (g.g)

b) Xét ∆AHG và ∆MOG có:

N

B A

 H, G, O thẳng hàng.

• BÀI 50:

Cho hình thang cân ABCD (AB = CD và AB // CD) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trungđiểm của AB, BC, CD, DA

a) CM: MP là phân giác của ·QMN.

b) Hình thang cân ABCD phải có thêm điều kiện gì đối với đường chéo để ·MNQ =

450

c) CMR: Nếu có thêm điều kiện đó thì hình thang cân có đường cao bằng đường trung bình của nó

Giảia) Ta có:

QM = 12BD (QM là đường TB ∆ABD)

Mà: AC = BD (2 đường chéo HT cân)

 QM = MN (**)

Từ (*) và (**) => MNPQ là hình thoi

 MP là phân giác ·QMN.

b) ·MNQ= 45 0  MNP· = 90 0

 MN ⊥ NP

 AC ⊥ BDb) Từ MNQ· = 45 0  AC ⊥ BD

 MNPQ là hình vuông  MP = QN

C

B

D A

+ Nếu a = -1 p.t trở thành: 0x = 3 (VN)

+Nếu a = 2 p.t trở thành: 0x = 0 (VSN)

KL: -Nếu a ≠ -1 và a ≠ 2 thì p.t có 1 nghiệm x = a−+11

- Nếu a = - 1 thì p.t VN

- Nếu a = 2 thì p.t có VSN