CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ.. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.. Chú y: Ví dụ 4, 5 ta scó thể giải bằng phương pháp bình phương hai vế... Giải các phương trình sau: 1... HD: Bìn
Trang 1CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ.
LÝ THUYẾT.
I PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.
Phương trình chứa căn cơ bản:
( ) ( ) 2
0
g x
≥
Ví dụ 1: Giải phương trình − + x2 4 x + = 2 2 x(1)
ĐH QG TPHCM 1999 KHỐI D.
2 2
x
− ≥
1
x
≥
1
x
≥
( )
≥
=
↔
=
1
2
2
5
x
x
Đs: x = 2
Dạng 2: Đặt ẩn phụ:
Ví dụ 2: Giải phương trình: ( x + 1 2 ) ( − x ) = + 1 2 x − 2 x2
ĐH CẦN THƠ 1999 KHỐI B.
HD: ( ) 1 ↔ 2 + − x x2 = + 1 2 ( x x − 2).(*)
Đặt: 2 + − x x2 = ≥ t 0 Ta được: 2 x x + − 2 = t2
↔ − = − thay vào Pt (*) ta được: t = + 1 2 ( t2− 2 )
( )
2
1
2
t
= −
với t = 3 ta có: 2 2 9
4
x x
+ − = ↔ 4 x2− 4 x + = 1 0 1
2
x
↔ = Đs 1
2
Dạng 3: Phương trình chứa nhiều căn:
Ví dụ 3: Giải phương trình: 6 x + − 1 2 x + = 1 2.(1)
ĐH QG TPHCM 2000 KHỐI D.
HD: ( ) 1 ↔ 6 x + = + 1 2 2 x + 1
Đk:
1
2
2
x
Ta có: 6 x + = + 1 4 4 2 x + + 1 2 x + 1 ↔ 2 x + = − 1 x 1
2
1
x
≥
↔
1
x
≥
↔
4
x
x
≥
=
Đs: x = 4
Dạng 4: Các cách giải đặc biệt:
Ví dụ 4: Giải phương trình: 312 − + x 314 + = x 2 HD: Đặt
3 3
12 14
3
3 3 3
14
= −
phương Pt:
3 3
2 2
u v
u v
+ =
+ =
, u v , là nghiệm Pt:
2 2 3 0
t − − = t ↔ = − t t = 3 1
hoặc
i)
3 3
+ =
ii) 3
1
u v
=
= −
3 3
15
x
x x
+ = −
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 13; x = − 15
Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 x − + 1 3x − = 2 32 x − 3
HD: Đặt
3 3 3
1 2
, Ta có hệ Pt: u v w3 3 3
+ =
( )
2
↔
3
w vào (1) ta được:
3 uv u v + = ↔ 0 3 uvw = ↔ = = = 0 u v w 0
Ta được:
3 3 3
3
2
là nghiệm Pt đã cho
Chú y: Ví dụ 4, 5 ta scó thể giải bằng phương pháp bình phương hai vế
Ví dụ 6: Giải phương trình: 3 1 1
1
2 + + x 2 − = x
HD: Đặt
31 2
2
3 2
1 1
u v
+ =
→
3 2
0
2
u
u
=
= −
-
1 2
x u
x v
x
+ =
=
-
31
1
0 2
x u
x v
x
+ =
=
-
3 2
x u
x v
x
+ = −
= −
Vậy phương trình có 3 nghiệm 1 1 ; ; 17
2 2 2
Ví dụ 7: Giải phương trình: 3 x + = + 7 1 x
(CĐ XÂY DỰNG SỐ 3 – 2002)
HD: Đặt
3
3 2 1 7
7
u v
↔ − + − = ↔ ( u − 2 ) ( u2+ + u 4 ) = ↔ = 0 u 2 1
v
-3
1
x
=
Ví dụ 8: Giải phương trình: 3 x + − 1 3x − = 1 6 x2− 1 HD: Đặt 33 1 3 3 ( 0 )
2 1
u v
− =
( )3
4
uv
1 4
x
2
x
↔ = ±
Trang 2Vậy nghiệm Pt: 5
2
Ví dụ 9: Giải phương trình:
( )2 ( )2 ( ) ( )
3 3 − x +3 6 + x −3 3 − x 6 + x = 3
HD: Đặt:
3
3
3
6
2 2
3 3
3 9
+ − =
→ + =
- = − =
+ =
3
3
- = − =
+ =
3
3
Vậy nghiệm Pt: x=2;x= −5.
Ví dụ 9: Giải phương trình: 3 x + − 1 2 x + = 1 x
HD: Đặt = + ( ≥ )
u v
− = − =
→
2 2
− = −
2 2
0
- u v = → 3 x + = 1 2 x + ↔ = 1 x 0
- u = − 1 v thay vào (1): 2 u2− 3 v2+ = 1 0
( )
↔ 2 1 − v 2− 3 v2+ = 1 0 ↔ v2+ 4 v − = 3 0
( )
= − +
↔
= − −
v
+ = −
7 2
u
v
→
x
Vậy nghiệm Pt: S = { 0;5 2 7 − }
Ví dụ 9: Giải phương trình:
( )
2 x 3 x 1 3 x 2 2 x 5 x 3 16 *
(ĐH QP KHỐI D – 2002)
HD: Đặt t = 2 x + + 3 x + 1 ( t > 0 )
→ = t2 2 x + + + + 3 x 1 2 2 x + 3 x + 1
↔ − t2 20 3 = x + 2 2 x2+ 5 x + − 3 16 Thay vào (*) t2− − t 20 0 = = − ( )
↔
=
4 5
t
- t = ↔ 5 2 x + + 3 x + = 1 5 Đs: x = 3
Ví dụ 10: Giải phương trình: x3+ = 1 2 23 x − 1(*) HD: Đặt t =32 x − → + = 1 t3 1 2 x thay vào (*) ta được:
+ =
3 1 2
x t Ta có hệ phương trình:
+ =
+ =
3 3
1 2
1 2
x t
t x Ta có: x3+ = 1 2 x ↔ x3− 2 x + = 1 0
↔ x − 1 x2+ − = x 1 0
=
↔ = − ±
1
2
x x
Vậy nghiệm Pt: − ±
1;
2
Ví dụ 11: Giải phương trình: ( 4 x − 1 ) x2+ = 1 2 x2+ 2 x + 1 HD: Đặt: t = x2+ 1 ( ) t ≥ → 1 x2 = − t2 1
Ta được: ( 4 x − 1 ) t = 2 ( t2− + 1 2 ) x + 1
↔ 2 t2− 4 x − 1 t + 2 x − = 1 0
=
↔
1 2
t
Vìt ≥ → = 1 t 2 x − 1 ↔ x2+ = 1 2 x − 1
≥
2
=
↔
=
1 2 0 4 3
x
x
Nghiệm Pt: x = 4 3
Ví dụ 12: Giải phương trình: 1 + 1 − x2 = x ( 1 2 1 + − x2) ( ) * HD: Đk: 1 − x2 ≥ ↔ − ≤ ≤ 0 1 x 1
Đặt = α α ∈ − π π
2 2
Ta được: 1 + 1 sin − 2α = sin 1 2 1 sin α ( + − 2α )
↔ 1 cos + = sin 1 2 cos +
↔ 2 cos2 = sin + 2sin cos
2
↔ 2 cos = 2sin 3 cos
3
2 cos 1 2 sin 0
Vì α ∈ − π π → ∈ − α π π → α >
2 2 ; 2 4 4 ; cos 2 0 Do đó:
α
¢
sin
k k k
π α π α
↔
=
6 2
=
↔
=
1 2 1
x x
Vậy nghiệm Pt: = 1; = 1
2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Giải các phương trình sau:
1 x + − 1 4 − = x 1 (ĐH MỀN BẮC 1985)
HD: Đặt 1 ( ; 0 )
4
Ta có thể giải bằng cách bình phương hai vế.
2 3 x + 34 −3x − = 3 1 (BỘ ĐỀ SỐ 62)
HD:
3 3
34 3
Đs: x = 30.
3 32 x − = 1 x316 −32 x + 1 (BỘ ĐỀ SỐ 98)
HD: Lập phương hai vế Đs: 0; 1 ; 2 3 3
4 3 + + x 6 − − x ( 3 + x ) ( 6 − x ) = 3 (BỘ ĐỀ SỐ 109)
HD: Đặt t = 3 + + x 6 − x.Đk: − 3 2 ≤ ≤ t 3 2
Có thể đặt: 3 ( ; 0 )
6
= +
Đs: x = − 3; x = 6.
5 3 x − + 1 3x − = 2 32 x − 3 (BỘ ĐỀ SỐ 163)
HD: Lập phương 2 vế
Trang 3Có thể đặt:
3 3 3
1 2
Đs: 1; 2; 3
2
6
2
− . (BỘ ĐỀ SỐ 174)
HD: Đk: 2
3
x > Biến đổi Pt về
( x − 1 ) ( x − + − 2 ) ( x 1 3 ) x − = 2 0 Đs: x = 1
2
x
x + x − + x − x − = + (BỘ ĐỀ SỐ 188)
HD: Đặt t = x − 1 ( t ≥ 0 ) Đs: x=1;x=5.
2
x + + − x x − + = − x (BỘ ĐỀ SỐ 192)
HD: Bình phương hai vế Đs: 5
4
9 x335 − x x3( +335 − x3) = 30 (ĐH BK HN 1991)
Đs: x=2;x=3.
10 x + − 2 2 x − = 3 3 x − 5(ĐH BK HN 1994)
HD: Bình phương hai vế
2
.Đs: x = 2
11 x2+ x + = 1 1 (ĐH XÂY DỰNG HN 1998)
HD: Đặt t = x + 1 ( t ≥ 0 ) Đs: 1; 0; 1 5
2
12 418 − + x 4 x − = 1 3 (ĐH KIẾN TRÚC HN 1995)
HD: 4418 ( ; 0 )
1
u v
Đs: x = 2; x = 17.
13 x − + 5 x + = 3 2 x + 4 (ĐH HÀNG HẢI 1998)
HD: Bình phương hai vế Đs: x = 6
14 x + 2 x − − 1 x − 2 x − = 1 2 (ĐH BCVT 2000)
HD: Đặt t = x − 1 ( t ≥ 0 ) Đs: x ≥ 2
15 3 x + − 4 2 x − = 1 x + 3 (HV NGÂN HÀNG HN 1998).
HD: Bình phương hai vế Đs: 5 57
4
x = − +
16 − + x2 4 x + = 2 2 x(HV NGÂN HÀNG TPHCM 1999)
HD: Bình phương hai vế Đs: x = 2
+ − = + − (HV NGÂN HÀNG HN 2000)
HD: Đặt ( ; 0 )
1
u v
=
Đs: x=0;x=1
18 x + − 3 3 x = 1 (ĐH NGOẠI THƯƠNG HN 1996)
HD: Đặt u 3 x 3 ( u 0 )
=
Đs: x = 1; x = 2 2.
19 3 − + x x2− 2 + − x x2 = 1
(ĐH NGOẠI THƯƠNG HN 1999)
HD: Bình phương hai vế
Có thể đặt 3 22( ; 0 )
2
= − +
2
20 5 x − − 1 3 x − − 2 x − = 1 0
(ĐH KT QUỐC DÂN HN 2000)
HD: Bình phương hai vế Đs: x = 2
21 x2− 3 x + + 3 x2− 3 x + = 6 3
(ĐH THƯƠNG MẠI HN 1998)
HD: Đặt 22 3 3 ( ; 0 )
Có thể đặt t = x2− 3 x + 3 ( t ≥ 0 ) Đs: x = 1; x = 2
22 32 − = − x 1 x − 1(ĐH TÀI CHÍNH KẾ TOÁN HN 2000)
HD: Đặt 32 ( 0 )
1
Đs: x = 1; x = 2.
23 32 − + x 37 + − x 3( 2 − x ) ( 7 + x ) = 3
(ĐH Y HẢI PHÒNG 2000)
HD: Đặt
3 3
2 7
Đs: x = − 6; x = 1
24 2 1 ( − x ) x2+ 2 x − = 1 x2− 2 x − 1.(ĐH DƯỢC HN 1998)
HD: Đặt t = x2+ 2 x − 1 ( t ≥ 0 ) Đs: x = − ± 1 6
25 3 x − + 2 x − = 1 4 x − + 9 2 3 x2− 5 x + 2
(HV KỸ THUẬT QUÂN SỰ 1999)
HD: Đặt t = 3 x − + 2 x − 1 ( t ≥ 0 ) Đs: x = 3
26 2 x2+ 8 x + + 6 x2− = 1 2 x + 2
(HV KHOA HỌC QUÂN SỰ 1999)
HD: Biến đổi Pt: 2 ( x + 1 ) ( x + − 3 ) ( x − 1 ) ( x + = 1 ) ( 2 x + 1 )
Đs: x = − 1; x = 1
27 x − 2 x − − − 1 ( x 1 ) x + x2− = x 0
(HV KỸ THUẬT QUÂN SỰ 2000)
HD: Biến đổi Pt: x − − 1 1 x − − − 1 1 x x ( − 1 ) = 0
Đs: x = 2
28 x2+ x2+ 11 31 = (ĐH CẢNH SÁT ND 1999)
HD: Đặt t = x2+ 11 ( t ≥ 11 ) Đs: x= −5;x=5.
29 x2+ x2− = 6 12(ĐH VĂN HÓA HN 1998)
HD: Đặt t = x2− 6 ( t ≥ 0 ) Đs: x = − 10; x = 10
30 3 x + − 7 x = 1(ĐH LUẬT HN 1996)
HD: Đặt u 3 x 7 ( v 0 )
=
Đs: x = 1
31 4 x + = + + 2 x 1 4(ĐH CÔNG ĐOÀN 1997)
HD: Xét hai trường hợp 1 ( 1 1 ) 1 1
x
Đs: x = − 1; x = 7
32 x2− 2 x + + 5 x − = 1 2(ĐH NN HN 1999)
HD: ( )2
x − + + x − = Đs: x = 1
33 x3− 3 2 33 + x = 2(ĐH TỔNG HỢP HN 1994)
HD: Đặt y =32 3 + x Đs: x= −1;x=2
34 3 2 3 1 1 2
x
+ (ĐH QG HN 1995)
HD: Đặt 3 2
1
x t x
= + Đs: x = 1.
35
2
x
HD: Đặt t = x t ( ≥ 0 ) Đs: x=1;x=4
36 x x ( − + 1 ) x x ( + 2 ) = 2 x2 .(ĐH SP HN 2000)
HD: Biến đổi Pt: x ( x − + 1 x + − 2 2 x ) = 0 Đs: 0; 9
8
x =
37 ( x + 1 2 ) ( − x ) = + 1 2 x − 2 x2(ĐH CẦN THƠ 1998 KB)
Trang 4HD: Đặt t = ( x + 1 2 ) ( − x t ) ( ≥ 0 ) Đs: 1
2
x =
38 x + 9 − = − + x x2 9 x + 9(ĐH Y DƯỢC TPHCM 1997)
HD: Đặt t = x + 9 − x Đk: 3 ≤ ≤ t 3 2 Đs: x=0;x=9
39 2 x2 2 12 4 x 1
x x
HD: Biến đổi 2
2
+ − + + − = Đs: x = 1
40 x2+ 15 3 = x − + 2 x2+ 8((ĐH NGOẠI THƯƠNG 97)
HD: Biến đổi x2+ 15 − x2 + = 8 3 x − 2 Đs: x = 1
41 ( x + 5 2 ) ( − x ) = 3 x2+ 3 x(ĐH NGOẠI THƯƠNG 2000)
HD: Đặt t = x2+ 3 x t ( ≥ 0 ) Đs: x = − 4; x = 1
42 3 x + 34 −3x − = 3 1(ĐH SP TPHCM 1995)
HD: Đặt
3
3
35 3
Đs:
20 453 16
9
43 2 x2+ 5 x + − 2 2 2 x2+ 5 x − = 6 1(ĐH SP TPHCM 2000)
HD: Đặt t = 2 x2+ 5 x + 2 ( t ≥ 0 )
Có thể đặt 2 22 5 2 ( ; 0 )
u v
7 1;
2
x = − x =
44
2
2 3
x =
45 6 x + − 1 2 x + = 1 2(ĐH QG TPHCM 2000)
HD: Bình phương hai vế Đs: x = 4
46
2
2
1 1
x x
−
HD: Bình phương hai vế Đs: x = 0
47 x + 26 − x2 + x 26 − x2 = 11(ĐH DL NN TPHCM 2000)
HD: t x = + 26 − x2 − 2 13 ≤ ≤ t 26 Đs: x = 1
Có thể đặt t = 26 − x2 .
48 x2+ x2+ 12 30 = (ĐH DL LẠC HỒNG 2000)
HD: Đặt t = x2+ 12 ( t ≥ 12 ) Đs: x = ± 2 6
49 x + 4 x − + + 4 x x − = 4 6(CĐ HẢI QUAN TPHCM 99)
HD: Đặt t = x − 4 ( t ≥ 0 ) Đs: x = 4
50 48 − + x 489 + = x 5(CĐ GIAO THÔNG 2000)
HD: Đặt 448 ( ; 0 )
89
u v
= −
Đs: x= −73;x= −8
51 2 x + + 2 2 x + − 1 x + = 1 4(ĐH KHỐI D – 2005)
HD: Đặt t = x + 1 ( t ≥ 0 ) Đs: x = 3
52 1 + + x 8 − + x ( 1 + x ) ( 8 − x ) = 3
(ĐH KINH TẾ QUỐC DÂN 1998)
HD: Đặt t = x + + 1 8 − x − 3 2 ≤ ≤ t 3 2
Có thể đặt 1 ( ; 0 )
8
53 x + + 4 x − = 4 2 x − + 12 2 x2− 16
(DỰ BỊ KHỐI D – 2002)
HD: Đặt 4 ( ; 0 )
4
Đs: x = 5.
54 3 x − − 3 5 − = x 2 x − 4
(DỰ BỊ KHỐI D – 2005)
HD: Bình phương hai vế
Đs: x = 2; x = 4
55 3x 2 − + x 1 4x 9 2 3x − = − + 2− 5x 2 + ( x ∈ ¡ )
(DỰ BỊ KHỐI B 2006)
HD: Đặt: t = 3 x − + 2 x − 1
Có thể đặt 3 2 ( ; 0 )
1
9 10 2
56 x 2 7 x+ − =2 x 1− + − +x2 8x 7 1− + (x∈¡ )
(DỰ BỊ KHỐI D – 2006)
HD: Biến đổi Pt: x − − 1 7 − x x − − 1 2 = 0
Đs: x=4;x=5.
II BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.
1 Bất phương trình chứa căn cơ bản.
0
f x
<
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 2.
0
f x
g x
g x
<
>
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 2 x − < 1 2 x − 3 1 ( )
HD: ( )
x x
− ≥
↔ − >
1 2 3 2
x x
↔ >
2
1 2 3 2
x x
↔ >
1 2 3 2 5 1 2
x x
↔ >
< ∨ >
5 2
x
↔ >
Nghiệm bất phương trình 5 ;
2
S = + ∞
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2 x − > − 1 2 x(2)
HD: ( )
x x x
− ≥
− <
↔ − ≥
− > −
1 2 2 2
x x x
>
↔
≤
− > − +
2
2 2
x x
>
≤
↔ − + <
2
2 2
x
x x
x x
>
>
< ≤
< <
1
x
↔ >
Nghiệm bất phương trình S = ( 1; + ∞ )
Khi giải bất phương trình chứa nhiều căn thì đặt điều kiện để cho các căn có nghĩa và bình phương hai vế.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 3 1 1
2
HD: ( ) 3 3 1 1
2
1 0
x x
− ≥
+ ≥
3 1
x x
≤
↔
≥ −
1 x 3
Trang 5Ta có: 3 1 1 1
4
4
2
7
1
8
7
4
x
↔
2
7 1 8 33
16
x
↔
31
8
x
8
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: x − − 1 x − > 2 x − 3 4 ( )
HD: ( ) 4 ↔ x − > 1 x − + 3 x − 2 Đk: x ≥ 3
Ta có x − > − + − + 1 x 3 x 2 2 ( x − 2 ) ( x − 3 )
2 x 2 x 3 4 x
x
≤ <
↔
2
x
≤ <
↔
x x
≤ <
↔
− < < +
2 3
3
x
3
2 Đặt ẩn phụ: Phương pháp giải tương tự như phương trình.
Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 2 x2+ 3 x + > 4 2 x2+ 3 x − 2
HD: Đặt t = 2 x2+ 3 x + 4 ( t ≥ 0 ) → 2 x2+ 3 x t = −2 4
Ta được t t > − − ↔ − − <2 4 2 t2 t 6 0 − < < 2 t 3 kết hợp đk ta
được 0 ≤ < t 3 → ≤ 0 2 x2+ 3 x + < 4 3 ↔ 2 x2+ 3 x + < 4 9
2
Tập nghiệm BPT: 5 ;1
2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Giải các bất phương trình sau:
1 x + > − 9 5 2 x + 4(ĐH MIỀN BẮC 1983)
HD: Biến đổi: x + + 9 2 x + > 4 5 Đặt đk và bình phương hai
vế Đs: S = ( 0; + ∞ )
2 x + x + < 1 6 x − 1(ĐH SP TPHCM 1995)
HD: Bình phương hai vế Đs: 5 13 ;
6
3 x2− 3 x + + 2 x2− 4 x + ≥ 3 2 x2− 5 x + 4
(BỘ ĐỀ SỐ 58)
HD: Đặt đk Biến đổi BPT về:
( x − 1 ) ( x − 2 ) ( + x − 1 ) ( x − − 3 ) 2 ( x − 1 ) ( x − 4 ) ≥ 0 Đs: S = −∞ − ∪ ( ; 1 4; + ∞ )
4 ( x − 3 ) x2− ≤ 4 x2− 9(BỘ ĐỀ SỐ 61)
HD: Xét ba trường hợp: x=3;x>3;x<3. Đs: ; 13 3; )
6
S = −∞ − ∪ + ∞
5 x + − 2 x + < 1 x(BỘ ĐỀ SỐ 72)
HD: Biến đổi: x + < 2 x + x + 1, đặt đk và bình phương hai vế Đs: 1 2 3 ;
3
= − + + ∞ ÷ ÷
6 x4− 2 x2+ ≥ − 1 1 x(BỘ ĐỀ SỐ 74)
HD: ( )2 2
x − ≥ − x ↔ x2− ≥ − 1 1 x Đs: S = −∞ − ∪ + ∞ ( ; 2 1; )
7 2 x2− 6 x + − + > 1 x 2 0(BỘ ĐỀ SỐ 78)
HD: Biến đổi 2 x2− 6 x + > − 1 x 2 Đs:
( )
2
2 2
x x
+ < + + (BỘ ĐỀ SỐ 86)
HD: Đặt 1
2
x
Đs: 0; 6 4 2 6 4 2 ;
9 ( ) (2 ) ( )2
4 x + 1 < 2 x + 10 1 − 3 2 + x (BỘ ĐỀ SỐ 99)
HD: Đk: 3 1
2 x
Biến đổi: ( )
2 2
2 10
x
x x
+
< +
Đs: S = − 3 ;3 \ 1 2 { } −
÷
10 ( 4 + x ) ( 6 − x ) ≤ x2− 2 x − 12(BỘ ĐỀ SỐ 119)
HD: Đặt t = ( 4 + x ) ( 6 − x ) ( t ≥ 0 ) Đs: S = − − ∪ 4; 3 5;6
11 1 2 3 2 1
x
HD: Đk: − < < 1 x 1, biến đổi: 2 ( )2
1 3 1 > x − x − − 1 x
2 x 3 1 x x
↔ − > − Đs: S 1; 2 2 2 5 ;1
= − ÷ ÷ ∪ ÷
4
x
HD: Đk: − ≤ ≤ 1 x 1, bình phương hai vế Đs: S = − 1;1
( )2
2 x 3 2 x 2
= − + − Đs: x = 5
14 1 + − x 1 − ≤ x x(BỘ ĐỀ SỐ 180)
HD: Đk − ≤ ≤ 1 x 1, Biến đổi
( 1 + − x 1 − x )( 1 + + x 1 − x ) ( ≤ x 1 + + x 1 − x ) ↔
2 x x 1 x 1 x
Ta có: 1 + + x 1 − ≤ x ( ) ( 1 1 1 + + + − x 1 x ) = 2
Do đó (*) ↔ ≤ x 0 Kết hợp ta được: − ≤ ≤ 1 x 0.S = − 1;0
15 5 x2+ 10 x + ≥ − 1 7 x2− 2 x(BỘ ĐỀ SỐ 185)
HD: Đặt y = 5 x2+ 10 x + 1 ( y ≥ 0 ) Đs: S = −∞ − ∪ + ∞ ( ; 3 1; )
1
+
HD: Đặt t x 1
x
+
= Đs: 4 ; 1
3
S = − −
17 − 4 4 ( − x ) ( 2 + x ) ≤ x2− 2 x − 12(BỘ ĐỀ SỐ 191)
HD: Đặt t = ( 4 − x ) ( 2 + x t ) ( ≥ 0 ) Đs: x = ± 1 5
18 x + > − 1 3 x + 4(ĐH BÁCH KHOA HN – 1995)
HD: Biến đổi x + + 1 x + > 4 3, đk, bình phương hai vế Đs: S = ( 0; + ∞ )
Trang 619 x2+ 3 x + + 1 x2+ 6 x + ≤ 5 2 x2+ 9 x + 7
(ĐH BÁCH KHOA HN – 2000)
HD: Giải tương tự bài 2 Đs: x = − 1; x = − 5
20 1 2 − x + 1 2 + x ≥ − 2 x2(ĐH XÂY DỰNG HN 1992)
HD: Đk: 1 1
2 x 2
− ≤ ≤ , bình phương hai vế Đs: x = 0
21 3 x2 x 4 2 2
x
HD: Đk: 1 4 , 0
3
− ≤ ≤ ≠ Xét hai trường hợp − ≤ < 1 x 0 và
4
0
3
x
7 3
22 7 x + − 1 3 x − 18 ≤ 2 x + 7(ĐH MĨ THUẬT CN 1998)
HD: Biến đổi 7 x + ≤ 1 2 x + + 7 3 x − 18, đặt đk và bình
phương hai vế Đs: S = [ 9; + ∞ )
23 ( x + 1 4 ) ( − x ) > − x 2(ĐH MỎ ĐỊA CHẤT 2000)
Đs: 1; 7
2
÷
2
HD: Đặt t = x − ≥ 2 0 Đs: S = + ∞ [ 1; )
25 x + ≥ 3 2 x − + 8 7 − x(ĐH NGOẠI THƯƠNG HN 2000)
HD: Đk và bình phương hai vế Đs: S = [ ] [ ] 4;5 ∪ 6;7
26 4 2 2 1 2
2
x x
+ < + + (ĐH THỦY LỢI 1996)
HD: Đặt t x 1
x
= + Đs: 0; 3 2 2 3 2 2 ;
27 51 2 2 1
1
x x
x
HD: Xét hai trưởng hợp, Đs:
1 2 13; 5 1 2 13;
28 x 1 2 x 1 3
HD: Đặt t x 1
x
−
= Đs: 1 ;0
8
÷
29 x2− 8 x + + 15 x2+ 2 x − 15 ≤ 4 x2− 18 x + 18
(ĐH DƯỢC HN 2000)
HD: Đặt đk và đưa về tích Đs: ( ; 5 ] 5; 17
3
= −∞ − ∪ .
30 4 − 1 − > x 2 − x(HV QUÂN Y 2000)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế
Đs: 5 13 ;1
2
31 x + ≥ 3 2 x − + 8 7 − x(ĐH AN NINH 1997)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế Đs: S = [ ] [ ] 4;5 ∪ 6;7
32 5 x + − 1 4 x − ≤ 1 3 x(ĐH AN NINH 1999) Đs: 1 ;
4
S = + ∞÷ .
33 − + x2 6 x − > − 5 8 2 x(ĐH QUỐC GIA HN 1997)
Đs: S = [ ] 3;5
34 x2+ ≥ + 1 x 1(ĐH QUỐC GIA HN 1997 –KHỐI A)
Đs: S = −∞ ( ;0 ]
35 3 x − + 2 x + ≤ 1 5(ĐH DL THĂNG LONG 1998)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế Đs: 2 ; 2
3
S =
36 7 x + − 13 7 x − ≥ 11 14 x + 1(ĐH DL ĐÔNG ĐÔ 2000)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế Đs: 11 ; 1 577
37 ( x2+ − x 2 ) 2 x2− < 1 0(CĐ SP NT2000)
HD:
2
2
2 0
x
− >
+ − >
= − − ÷ ÷ ∪ ÷ ÷
38 2 1 2 1 1
2 x 3 x 5 > x
−
2
x + x − > ↔ < − ∨ > x x Đs: 1 3 ; 2; 5
< < > < −
39 x2− 3 x + > + 2 x 3(ĐH SP VINH 1999-KHỐI D)
Đs: ; 7
9
S = −∞ −
40 5 4 − x + 5 4 + x ≥ 4(ĐH QUI NHƠN 2000)
HD: Bình phương hai vế Đs: S = [ ] 0;1
41 x + − 2 x − ≥ 1 2 x − 3(ĐH THỦY SẢN TPHCM 1999)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế Đs: 3 ; 2
2
=
42 x + > 6 x + + 1 2 x − 5(ĐH DL-KT-CN THHCM 2000)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế Đs: 5 ;3
2
÷
3 10
HD: Biến đổi 3 3
+ + + , xét hai trường hợp:
0
x < và x > 0 Đs: S = ( ) 0;5
44 5 x − − 1 x − > 1 2 x − 4(ĐH KHỐI A – 2005)
HD: Đặt đk và bình phương hai vế Đs: S = [ 2;10 )
45 2 ( 2 16 ) 7
3
x
+ − >
HD: Đặt đk Đs: x > − 10 34
46 ( x2− 3 x ) 2 x2− 3 x − ≥ 1 0(ĐH KHỐI – D 2002)
HD:
2
2
2
Đs: 1 ; 2; 3
2
x < − x = x ≥
47