phương pháp giải hình oxyz

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Phần một: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG Dạng 1 Phương trình mặt phẳng P

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP HÌNH GIẢI TÍCH

TRONG KHÔNG GIAN Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088

Phần một: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG

Dạng 1) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với mặt phẳng α

với n,n1,n2 lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) ;(Q); (R)

Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P) qua M có VTPT n

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;-1;2) và vuông góc với 2 mặt phẳng

()

(

)()

(

n n

n n R

mp P

mp

Q mp P

PP: Gọi n, n1 lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q)

Vì mặt phẳng (P) đi qua A,B và mp(P) vuông góc với mặt phẳng (Q) nên

3)1(7:

)

Dạng 4) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B,C cho trước

PP: Gọi n là VTPT của mặt phẳng (P) Vì mặt phẳng (P) đi qua A,B,C nên

Từ đó viết phương trình mặt phẳng (P) qua M có VTPT là n

Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A (1;0;1); B(0;2;0); C(0;1;2)

Giải: Gọi n là VTPT của mặt phẳng (P) Vì mặt phẳng (P) qua A, B, C nên

;1

;1(

)1

;2

;1(

−

−

−

C A

B A





⇒

⇒n(3;2;1) Phương trình mặt phẳng (P): 3(x-1)+2y+1(z-1)=0⇔3x+2y-z-4=0

Dạng 5) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua diểm M và giao tuyến của 2 mặt phẳng (Q); (R)

=

−++

042

042

z y x

z y x

0

00

2

02

A y

x y

x

y x

=+

=+

⇒

2

32

y x

y x

;1

;1(

B

⇒ thuộc giao tuyến

⇒mặt phẳng (P) đi qua M,A, B.(Dạng 4)

[ , ] ( 3; 3; 2))

0

;1

;1();

có phương trình: -3(x-2)-3y-2(z-1)=0⇔3x+3y+2z-8=0

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) hợp với mặt phẳng (Q) một góc α cho trước

PP: Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0 (a2+b2+c2 ≠0) Dựa vào giả thiết để tìm mối liên hệ a, b, c, d sau đó đưa mặt phẳng về dạng có ít tham số nhất (thông thường chứa nhiều nhất là 2 tham số trong 4 tham số a, b, c, d)

Giả sử mặt phẳng (Q): kx+my+nz+q=0 Vì (P) tạo với (Q) góc α nên cos(n,n1 =cosαVới n, n1 lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q)

Từ giả thiết

1 1

n n

n n

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz tạo với mặt phẳng (Q):

2 2

2 2

2 2

2

111)1(2

11.02

b a ab b

a b

a b

a b

a

b a

+

=

−+

⇔+

=

−

⇔

=+

−++

⇔

a b

b ab

b

34

00

:)(2

0

2

0

=+++

d dx P mp d

b

d a d

2

2 2

2 2

−++

+

−

⇔

c d

d

c d

2

2 452

−

=

∆′

d d

d c

d d

d c d d

d d

2

724

724

2

724

7247

228

12)

chọn d=2⇒c=2+ 7 thay vào (*)

P mp quaM

Viết phương trình tham số ( ): ( 0 ; 0 ; 0 )

0 0

0

ct z bt y at x H ct z z

bt y y

at x x

++

Vì H thuộc mp(P) thay vào phương trình mp(P)⇒t⇒ H

Cách 2: Vận dụng khi a, b, c 0≠ H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P)⇒M H

cùng phương với VTPT n(a;b;c) của mp(P)

Ví dụ: Tìm hình chiếu vuông góc của M(3;6;2) lên mặt phẳng (P): 5x-2y+z+25=0

Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P)⇒H là giao điểm của mp(P) và

A)( qua

u P VTPT u

VTCP P

t y

t x

PTTS

2

26

53:)(

H∈(∆)⇒H(3+5t;6−2t;2+t)

H∈mp(P)⇒5(3+5t)-2(6-2t)+2+t+25=0⇒30t =−30⇒t =−1⇒H(−2;8;1)

Cách 2: Giả sử H(x1;y1;z1), H∈(P) nên 5x1-2y1+z1+25=0

H M z

30030

30252

51

.1)2.(

25.5

)2()6(2)3(51

22

65

;8

;2(1

;8

;

Dạng 8) Tìm điểm M 1 đối xứng với M qua mp(P)

PP: Tìm hình chiếu vuông góc của M lên mp(P) là H (Dạng 7)

M1 đối xứng với M qua mp(P)⇒H là trung điểm của MM1

z

z

y y

y

x x

x

M H

M

M H M

M H

quaM



Ví dụ: Cho M(2;3;1) và đường thẳng

51

22

1:)

Giải: Gọi u n, lần lượt là VTPT của (P), VTCP của ) (∆

M M n

u n

quaA

)

Dạng 2) Phương trình đường thẳng giao tuyến của 2mp(P),(Q)

PP:

- Xét hệ gồm 2 phương trình của mp(P),(Q)

- Chọn 2 điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) thoả mãn hệ⇒ A, B thuộc giao tuyến.

- Viết phương trình đường thẳng ( )∆ qua A, B

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của (P): 3x+y+z-5=0

=

−++

042

053

z y x

z y x

=+

⇒

42

5

z y

z y

;1

;0(6

1

A z

2

2

B z

y z

y

z y

=+

⇒

( )∆ là giao tuyến⇒(∆)đi qua AB

)(56

1AB(1;0;-5)

uVTCP

y

t x PTTS

quaA

)

31)(u

t y

t x

A)( qua 

t y

t x

z y x

512

31:

2

33

1

2:

2 1

viết phương trình đường thẳng ( )∆ qua M vuông góc với ∆1,∆2

Giải: Gọi u,u1,u2 là VTCP của ∆,∆1,∆2 có

)5

;1

;3(

)2

;3

;1(2

t y

t x

PTTS qua

813

132)((-13;1;8)

uVTCP

PP: Chuyển đường thẳng ∆1 về dạng tham số (nếu ∆1cho ở dạng chính tắc):

z

bt y

y

at x

A)

( qua 

Ví dụ: Cho M(3;2;-1) và

1

32

1

3:

51

32

1:

z y

x

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M vuông góc với ∆1 và cắt ∆2

Giải: Gọi u,u1,u2 lần lượt là VTCP của ∆,∆1,∆2

2

;9

8(9

10

;9

2

;9

8(9

8⇒M N − − − ⇒u − − −

)

)(

9

1019

229

83:

)

t z

t y

t x

Chú ý: Cách viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt ∆1 và vuông góc với một

véctơ a cho trước cũng tương tự

Dạng 6 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt hai đường thẳng ∆1 và ∆2.

⇒ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) ; (Q).

Trong đó: (P) qua M chứa ∆1

(Q) qua M chứa ∆2

Viết pt (∆)là giao tuyến của (P) và (Q) (Dạng2)

Chú ý: Trong 1 số bài toán thay vì viết ∆ qua M cắt ∆1,∆2có thể là: Viết đường thẳng

t y

t x

t

z

t y

t x

33

2:

;2

;2(

)2

;1

;22(2

1

t t t B B

t t t A A

′

−

′+

−+

=

′+

)2(34

)1(23

)1(

1

3

4

)21(3

k kt t

kt t

kt k t t

Từ (2) và (3) ⇒3+2t′=k

Từ (1) và (3)

4

193

5

;9

6

;9

13()

9

5

;9

t y

t x

51

61

131)

MM n

P P

0)1(1)1(3)1(

u n

Q Q

)1(5)1(2)1(1:)()

5

;2

;1()

(*)Đường thẳng ∆ là giao tuyến của (P) và (Q)

Mọi điểm thuộc ∆ có toạ độ là nghiệm của hệ

033

z y x

z y x

5

1

;5

18(5

15184

2

33

A A

y

x y

x

y x

19

;0(13

183194

52

y

z y

t y

t x

PTTS B

A u

131815

149515

18518

)()

13

18

;15

149

;5

18(





Chú ý: Việc tìm ra ∆ có 2 cách khác nhau về mặt hình thức nhưng bản chất đó là 1

phương trình Bạn đọc tự suy nghĩ tại sao?

Dạng 7)

- Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng ∆

- Tìm điểm M 1 đối xứng với M qua đường thẳng ∆

PP:

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (∆)⇒H∈(∆)⇒ toạ độ H theo

phương trình tham số của (∆) M H ⊥(∆)⇒M H.u=0(u là VTCP của (∆))

Từ đó giải phương trình tìm giá trị tham số⇒H

- Gọi M1 là điểm đối xứng với M qua (∆)⇒H là trung điểm của MM1

M H M

M H M

z z z

y y y

x x x

222

1 1

31

2:

từ đó suy ra toạ độ điểm M1 đối xứng với M qua (∆).

Giải: Đường thẳng ∆có VTPTu(1;2;−2) đi qua M0(-2;3;1)

t y

t x

PTTS

21

23

2)

(

gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (∆)⇒H∈(∆)⇒H(−2+t;2t+3;1−2t)

)12

;32

H là trung điểm của MM1

102

32

1 1 1

M H M

M H M

M H M

z z z

y y y

x x x

)4

- Chọn 1 điểm M trên (∆1)(M không trùng với I)

- Tìm hình chiếu ⊥của M lên mp(P) Gọi là điểm H

- ∆ cần tìm là đường thẳng đi qua I và H

• Nếu ∆∩(P)=φ ⇒∆1//P⇒ Đt (∆)cần tìm là đường thẳng // với

- Tìm hình chiếu ⊥của M lên (P) là H

- ∆ cần tìm là : + đường thẳng đi qua H

Giải: Gỉa sử ∆∩(P)=I ⇒I∈(∆)

PTTS (∆) (1 2; 3; 2 )

23

21

t t t I t z

t y

t x

+

−

−+

'1)( 1

t z

t y

t x PTTS

⇒H (1 + t’; t’ ;-2-3t’)

H∈( P )⇒ 1 + t’ + t – 3 ( -2 – 3t’)-3=0

11

4'4'

4

;11

7

⇒H

;11

t y

t x

PTTS

1

293

263)( 2

Ví dụ 2: Cho

2

21

2

1:1

t y

t x

22

21:

Giả sử (∆1)∩(P)=I ⇒I∈(∆1)⇒ I(1+2t;t;−2+2t)

(0801)22(3421

)

I vô lý) ⇒(∆1)không cắt (P)⇒(∆1)//(P)

)

(∆ là hình chiếu vuông góc của ∆1 lên (P) thì ∆//∆1⇒VTCPcủa ∆ là u(2;1;2)

Xét M(1;0;-2)∈∆1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mp(P)⇒H là giao tuyến của mp(P) và đường thẳng ∆2(đi qua M vuông góc với (P))

=

∆

t z

t y

t x

324

1:

16

;13

9(13

48

2601)32(34.41

t y

t x

PTTS

23141316

2139

:)(

Dạng 9) Viết phương trình đường thẳng ∆ đối xứng với đường thẳng ∆1qua mp(P) PP: Tìm giao điểm của (∆1) và (P)

Trường hợp 1:

- Nếu ∆1∩(P)=I

- Xét 1 điểm M ∈∆1 Tìm hình chiếu vuông góc của M lên (P)

- Tìm M′đối xứng với M qua mp(P) ⇒H là trung điểm của MM’ ⇒toạ độ M’

- Viết phương trình (∆)đi qua I và M’là đường thẳng cần tìm

Trường hợp 2:

- Nếu ∆1 không cắt (P) ⇒(∆1)//(P)⇒ đường thẳng ∆ cần tìm song song với ∆1

1

1)()

VTCP ∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ 

- Xét 1 điểm M∈∆1 Tìm hình chiếu vuông góc của M lên mp(P)

- Tìm điểm M đối xứng với M qua (P)

- Viết phương trình đường thẳng (∆)qua M’ có VTCP u

Ví dụ 1: Cho

1

23

2

1:1

Giải: giải như ví dụ 1 dạng 8.

⇒giao điểm của ∆1 và ∆ là I(3;-3;-1)

Hình chiếu vuông góc của M(1;0;-2) ∈∆1 lên (P) là H( )

11

10

;11

4

;11

11

82

11

32

M H M

M H M

M H M

z z z

y y y

x x x

t y

t x

PTTS

11

13111

25311

303:)()

11

13

;11

25

;11

30(

Ví dụ 2: Cho

2

21

2

1:1

Giải: giải như ví dụ 2- dạng 8

⇒ Hình chiếu vuông góc của M(1;0;-2) thuộc ∆1 lên mp(P) là H )

13

14

;13

16

;13

9

Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua (P) ⇒H là trung điểm của MM’

)13

2

;13

32

;13

5(

13

22

13

322

13

52

z

z

y y

y

x x

x

M H

M

M H

M

M H

M

Gọi VTCP của ∆ là u⇒u≡u1(2;1;2)

t y

t x

PTTS M

21321332

2135

:

Dạng 10) Viết phương trình đường vuông góc chung ∆ của 2 đường thẳng chéo

nhau ∆1,∆2.

PP: Xét M∈∆1;N∈∆2 ⇒M N theo tham số

- Giả sử MN là đường vuông góc chung của ∆1,∆2

- Gọi u,u1,u2 lần lượt là VTCP của ∆,∆1,∆2

0.2

1 1

1

u N M

u N M MN

giá trị tham số⇒toạ độ của M và M N⇒phương trình

đường vuông góc chung ∆:







N M u

'2

22

_2

t x t z

t y

t x

Chứng minh ∆1 và∆2 chéo nhau Viết phương trình đường thẳng(∆ ) là đường vuông góc chung của ∆1 và ∆2

Giải : - Gọi u,u1,u2 lần lượt là VTCP của ∆,∆1,∆2

;1

;2();

22

;2

;1

′++

−

′+

=+

22

0660

01

1

0)23(21

10

0.2

1 2

1

t

t t

t t

t t t

t t

t t t u

N M

u N M MN

t y

t x

1



',

* Cho đường thẳng : ∆1: đi qua M1 có VTCP u1

2 1 2 1,

,

u u

M M u u

35 35 35 35

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d:

x− = =y z−

1 Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d

2 Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( )α lớn nhất

Giải:

1 Đường thẳng d có VTCP (2;1; 2)u Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên , suy

ra H(1+2t;t;2+2t) và AHuuu=(2t-1;t-5;2t-1)

Vì AH⊥d nênuuu AH u. = ⇔0 2(2t-1)+t-5+2(2t-1)=0⇔ =t 1 Suy ra H(3;1;4)

2 Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên mp ( )α Ta có d(A,( )α )=AK≤AH(tính chất đường vuông góc và dường xiên) Do đó khoảng cách từ A đến ( )α lớn nhất khi và chỉ khi AK=AH hay K≡H

Suy ra ( )α qua H và nhận AHuuu=(1;-4;1) làm VTPT

Phương trình của ( )α là: 1(x-3)-4(y-1)+1(z-4)⇔x-4y+z-3=0

Ví dụ 3: Trong không gian hệ toạ độ Oy, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương

x= y = z−

−

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d

2 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng dsao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O

1 Viết phương trình mp(P) qua A đồng thời song song với d và 1 d 2

2 Tìm toạ độ các điểm M thuộcd và N thuộc 1 d sao cho 3 điểm A, M, N thẳng 2hàng

Giải:

1 VTCP của d và 1 d là: 2 u=(2;1; 1)− và uuu2 = −(1; 2;1)

⇒ của (P) là: nuu2 =u uu uu1 2= − − −( 1; 3; 5)

Vì (P) qua A(0;1;2)⇒(P): x+3y+5z-13=0

Ví dụ 5: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho mp(P):x-2y+2z-5=0 và hai điểm

A(-3;0;1) và B(1;-1;3) Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P) Hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất

Ví dụ 6: Trong các mặt phẳng đi qua A(1;2;-1) và B(-1;1;2) Viết phương trình mặt

phẳng (P) tạo với mặt phẳng (xoy) góc nhỏ nhất

Giải: Giả sử phương trình mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0 (a2+ + ≠b2 c2 0)

VTPT của (P) là: n(5b+3d);-b;3b+2d), mặt phẳng (Oxy) có VTPT là: nu1(0;0;1)

Góc tạo bởi (P) và Oxy nhỏ nhất khi cos [( ),(Oxy)P ]max

và hai điểm A(2;1;-1), B(-1;2;0) Viết phương

trình đường thẳng ∆ qua B cắt ∆1 sao cho khoảng cách từ A đến ∆ là nhỏ nhất? lớn nhất?

Giải: Gọi u u u, 1lần lượt là VTCP của ∆ ∆, 1

1(0; 2; 2) ( ) : 2 2

Giải: Gọi u u u, 1, n lần lượt là VTCP của ∆ ∆; 1và VTPT của mặt phẳng (P) Giả sử ( ; ; )

MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088

Bài 1) Trong không gian cho mặt phẳng (P): 3x+2y−z+4=0 và hai điểm A( 4; 0; 0);

B(0; 4; 0) Gọi I là trung điểm AB

a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB và (P)

b) Tìm toạ độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời K cách đều gốc toạ độ O và mặt phẳng (P)

Bài 2) Trong không gian Oxyz cho A( 1; 2; 0); B(0; 4;0) C(0;0;3)

a) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua O vuông góc với mặt phẳng (ABC)b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P)

Bài 3) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 6x+3y-4z=0 và các điểm A(0;0;4);

31

x

d2:

2

31

u

x

4

32

t y

t x

2121

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2

b) Cho M(2; 1;4) Tìm toạ độ H thuộc d2 sao cho MH có độ dài nhỏ nhất

Bài 6) Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d1

z

t y

t x

và d2:

12

11

−

−

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1 và song song với d2

b) Tìm A trên d1 và B trên d2 sao cho AB ngắn nhất

Bài 7) Trong không gian Oxyz cho A(0;0;0) và B(2;0;0), C(0;2;0); A’(0;0;2)

a) Chứng minh A’C vuông góc với BC Viết phương trình mặt phẳng (ABC’)

b) Viết phương trình đường thẳng hình chiếu vuông góc của đường thẳng B’C’ trên (ABC’)

Bài 8) Trong không gian Oxyz cho A(1;1;0); B(0;2;0); C(0;0;2)

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC Tìm toạ độ giao điểm AC và mặt phẳng (P)

b) Chứng minh ABC là tam giác vuông.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Bài 9) Trong không gian Oxyz cho M(5;2;-3) và mặt phẳng (P): 2x+2y-z+1=0

a) Tìm hình chiếu vuông góc M1 của M trên mặt phẳng (P) và tính độ dài MM1b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng

6

52

12

z y

t y

t x

1

21

Chứng minh d1 và d2 chéo nhau Tìm toạ độ M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : x – y + z =0 và độ dài MN= 2

Bài 11) Trong không gian Oxyz cho A(-3;5;-5); B(5;-3;7) và mặt phẳng (P) x +y +z =0

a) Tìm giao điểm I của AB và mặt phẳng (P)

b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2 +MB2 nhỏ nhất

Bài 12) Trong không gian Oxyz cho A(-1;3;-2);B(-3;7;-18) và mặt phẳng(P):2x-y+z+1=0

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P)

b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA+MB nhỏ nhất

Bài 13) Cho M (1;2;-1) và d:

2

22

23

t y x

1

2

t∈R

Bài 14) Cho M(1;0;2) và mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0

a) Tìm điểm đối xứng với M qua (P)

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đối xứng với d qua mặt phẳng (P) biết

d:

1

11

12

1= − = −

x

Bài 15) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x –y + z + 1 =0 và A(1;2;-1)

B(1;0;-1); C(2;1;-2) Tìm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho 2 2 2

2MB MC

MA + − nhỏ nhất

Bài 16) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x -3y +3z -11=0

Và các điểm A(3;-4;5) ; B(3;-3;-3) Tìm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA−MB lớn nhất

t y

t x

31

21

1

và hai điểm A(2;-1;1) và

B(1;-1;0) Tìm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho diện tích tam giác AMB nhỏ nhất

Bài 18) Trong các mặt phẳng đi qua A(1;2;-1) và B(-1;1;2) viết phương trình mặt phẳng

(P) tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất

Bài 19) Cho đường thẳng ∆: t R

t z y

t x

1

và các điểm A(2;1;-1), B(-1;2;0) Trong

các đường thẳng đi qua B và cắt ∆, Viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách

từ A đến nó là lớn nhất? Nhỏ nhất?

Bài 20) Cho các đường thẳng ∆1:

1

11

12

t y

t x

34

21 Trong các

đường thẳng đi qua A(1; -1:2) và song song với (P) viết phương trình đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách ∆1 và ∆ là lớn nhất

Bài 22) Cho đường thẳng ∆: t

t z y

t x

1

và các điểm A(2;1;-1), B(3;-2;1) Trong các

đường thẳng đi qua B và cắt ∆, Viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách từ

A đến nó là lớn nhất? Nhỏ nhất?

Bài 23) Cho hai đường thẳng

1

101

62

8:2

;2

41

21

:1

Chứng minh d1 và d2 chéo nhau Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với d1 và d2 mà bán kính mặt cầu đó bé nhất

Bài 24) Trong các mặt cầu đi qua A(1;2;-1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):x+y+2z-13=0

Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

Bài 25) Cho mặt cầu (S) x2 +y2 +z2 −2x+2z−4=0 và mặt phẳng (P): 2x-2y+z+8=0