tuyển tập phương pháp giải hình học lớp 9

Tính CD Chủ ñề 2: Tính chất ñối xứng của ñường tròn Phương pháp : + Tâm của ñường tròn là tâm ñối xứng của ñường tròn ñó + Bất kì ñường kính: Nào cũng là trục ñối xứng của ñường tròn ñ

L?i n‚i ABu!

Tuy#n t'p ph*+ng phŸp gi/i h˜nh h1c 9 lš m7t t'p trong 8 t'p xu<t b/n c•ng t˚n c@a c•ng tŸc gi/ Trong mCi t'p ch…ng t“i Fž cH gIng tr˝ch l1c nhKng ch@ FL c+ b/n nh<t c@a tMng chuy˚n FL h1c t'p, thi c@a c@a h1c sinh Trong mCi ch@ FL bao gPm ph*+ng phŸp thQc hiRn nhKng dTng toŸn F‚, cŸc kiWn thXc cYn nIm, bši t'p mZu, bši t'p luyRn t'p, bši t'p “n t'p, bši t'p nŽng cao MCi ch@ FL F*]c chia khoa h1c F# gi…p h1c sinh c‚ cŸi nh˜n bao quŸt c@a m7t v<n FL toŸn h1c cYn thiWt

`# sa dbng tHt theo mong muHn c@a tŸc gi/ BTn F1c n˚n F1c ke phYn ph*+ng phŸp c@a tMng ch@ FL kWt h]p vfi nhKng kiWn thXc Fž h1c tr*fc FŽy, vš l› thuyWt FYy F@ h sŸch giŸo khoa F# gi/i quyWt cŸc bši toŸn tM c+ b/n FWn nŽng cao

VL Fjc tr*ng c@a h˜nh h1c lfp 9 TŸc gi/ khuy˚n bTn tr*fc khi gi/i quyWt m7t bši toŸn bTn n˚n vk h˜nh r” ršng, ch˝nh xŸc theo FL bši `# tM F‚ th<y F*]c mHi li˚n hR giKa cŸc FHi t*]ng li˚n quan RPi gnn kWt lTi chXng minh hojc t˝nh toŸn theo y˚u cYu c@a tMng bši toŸn

Quy#n sŸch F*]c chia thšnh 4 ch*+ng khŸc nhau mCi ch*+ng gPm cŸc ch@ FL thu7c vL dTng toŸn

h9 ; : TiVp tuy c9a "C r n

h9 ; : T˝nh h t c9 i tiVp tuy n c t nha

sa /nh F# kWt xu<t sang nhKng phYn mLm khŸc F# phbc vb cho c“nng viRc c@a m˜nh Nh* bši giŸo Ÿn FiRn ta, tTo bši ki#m tra, FL thi § c@a ri˚ng m˜nh Ngoši ra, ch…ng t“i c’n h~ tr] phYn mLm sa dbng vš h*fng dZn bTn cši Fjt F# phbc

vb c“ng viRc c@a m˜nh

T•y thu7c všo t˝nh ch<t vš mXc F7 sa dbng tši liRu mš giŸ c/ khŸc nhau BTn c‚ th# t˜m hiLu th˚m nhKng th“nng tin nšy, c|ng nh* so sŸnh t˝nh nxng chi tiWt tTi Xuctu.com /

Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Chủ ñề 1: Một số hệ thức về cạnh và ñường cao trong tam giác vuông

Phương pháp:

+Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi

cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu

của cạnh góc vuông ñó lên cạnh huyền

b = ab c = ac

+ Trong một tam giác vuông, bình phương ñường

cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai

cạnh góc vuông trên cạnh huyền

2 ' '

h = b c

+ Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc

vuông bằng tích của cạnh huyền với ñường cao tương

ứng

ah= bc

+ Trong một tam giác vuông, nghịch ñảo bình

phương ñường cao bằng tổng các nghịch ñảo bình

phương hai cạnh góc vuông

Tam giác ABC vuông ở A, AH ⊥ BC(theo giả thiết)

Sử dụng hệ thức về góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền ta có :

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, ñường cao AH, biết AB = 4cm, AC = 7,5cm, tính

HB,HC

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, ñường cao AH

a Biết AH = 6cm, BH = 4,5cm, Tính AB, AC, BC,HC

b Biết AB = 6cm, BH = 3cm, Tính AH,AC,CH

Bài tập 3: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, ñường cao AH, tính diện tích tam giác ABC,

biết AH = 12cm, BH = 9cm

Bài tập 4: Cho tam giác ABC, biết BC = 7,5 cm, CA= 4,5cm, AB= 6cm

a Tam giác ABC là tam giác gì? Tính ñường cao AH của tam giác ABC ;

b Tính ñộ dài các ñoạn thẳng BH, CH

Bài tập 5: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông lần lượt là 7 và 24 Kẻ ñường cao ứng với

cạnh huyền Tính ñộ dài ñường cao và các ñoạn thẳng mà ñường cao ñó chia ra trên cạnh huyền

Bài tập 6: Cho một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 5

12, cạnh huyền là 26cm Tính ñộ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền

Bài tập 7: Cho tam giác ABC vuông ở A Biết 5

7

AB

AC= , ñường cao AH = 15cm Tính HB, HC

Bài tập 8: Cho hình thang cân ABCD (AB// CD), biết AB=26cm, AD =10cm và ñường chéo AC

vuông góc với cạnh bên BC Tính diện tích của hình thang ABCD

Bài tập 9: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 12cm, AC =16cm, phân giác AD, ñường cao AH

a Tính ñộ dài các ñoạn thẳng OB, OD

b Tính ñộ dài ñường chéo AC

c Tính diện tích hình thang ABCD

Chủ ñề 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Phương pháp :

+ Tỉ số giữa cạnh ñối và cạnh huyền

ñược gọi là sin của góc a , kí hiệu sina

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền

ñược gọi là côsin của góc a , kí hiệu cosa

+ Tỉ số giữa cạnh ñối và cạnh kề ñược

gọi là tang của góc a , kí hiệu là tga hoặc

tana

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh ñối ñược

gọi là côtang của góc a , kí hiệu là cot ga

hoặc cota

+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, và tang góc này bằng cotg góc kia

sin cos ; cos sincot ; cot

b Tính sin , cos , cotB B gB

Định hướng: Trong tam giác vuông ABC vuông ở A khi biết tgB nên biết ñược tỉ số giữa cạnh

AC và AB Mặt khác AB= 30( )cm nên ta biết ñược cạnh BC theo ñịnh lí Pitago Hơn thế, khi biết ñộ dài các cạnh của tam giác vuông ta biết ñược các tỉ số lượng giác của các góc tam giác

Giải

a Trong tam giác vuông ABC vuông ở A, ta có

815

AC tgB AB

b Theo ñịnh nghĩa ta có các tỉ số lượng giác của các góc là

16

3430

3430

1,87516

AB c

AC=

Bài tập 14: Cho tam giác nhọn ABC, hai ñường cao BD và CE Hãy biểu thị cosA bằng hai cách,

từ ñó Chứng minh rằng ∆ ADE ∆ ABC

Bài tập 15: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 8cm, AC = 15cm Tính tỉ số lượng giác của góc

C, từ ñó suy ra tỉ số lượng giác của góc B

Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông ở A, AC = 5cm Biết cotgB = 2.4

a) Tính AB,BC;

b) Tính tỉ số lượng giác của góc C

Bài tập 17: Hãy biến ñổi các tỉ số lượng giác sau ñây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn

45o : sin57o ;cos43o32’; tg72o12’; cotg85o35’

Bài tập 18: Sử dụng ñịnh nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn ñể chứng minh rằng: Với

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng :

+ Cạnh huyền nhân với sin góc ñối hay nhân với côsin góc kề

+ Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc ñối hay nhân với côtang góc kề

Bài tập mẫu

Cho tam giác ABC, ñường cao AH (H ∈ BC), 0

42

B= , AB = 12cm, BC = 22cm Tính các cạnh

và góc còn lại tam giác

Định hướng: Trong tam giác vuông AHB, với B= 420, nên tính ñược góc BAH Mặt khác AB = 12cm nên sử dụng hệ thức lượng gữa cạnh và góc của mộ tam giác vuông ta tính ñược AH, BH rồi từ ñó suy ra HC Khi ñó trong tam giác vuông AHC ta tính ñược tgC rồi suy ra C, từ ñó ta lại tính ñược •HAC và cạnh AC

Giải Trong tam giác vuông AHB tại H, 0

42

B= nên •HAB= 900− 420= 480

Áp dụng hệ thức lượng liên hệ giữa các cạnh và các góc trong tam giác vuông AHB ta có :

8, 028 8, 028

15,35sin sin 31 30 ' 0,523

Bài tập 23: Tam giác ABC vuông tại A, ñường cao AH Biết HB = 25cm, HC = 64cm Tính ,B C

Bài tập 24: Chứng minh rằng: Nếu một tam giác có hai cạnh bằng a và b, góc nhọn tạo bởi hai

ñường thẳng ñó bằng a thì diện tích của tam giác ñó bằng :

1sin2

Bài tập 28: Một cột ñèn có bóng trên mặt dài 7,5m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt ñất một góc

xấp xỉ bằng 42 Tính chiều cao của cột ñèn 0

Bài tập 29: Ở ñộ cao 920cm, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai ñiểm A, B của hai ñầu

cầu những góc so với ñường nằm ngang mặt ñất các góc lần lượt là 0

Bài tập ôn tập chương I

Bài tập 30: Cho tam giác ABC vuông ở A, ñường cao AH Tính sinB, sin C ứng với mỗi trường

b Đường phân giác của góc A cắt BC ở D Tính BD,DC

c Từ D kẻ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC Tứ giác AEDF là hình gì? Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF

Bài tập 34: Góc ở ñỉnh của một tam giác bằng 78 , cạnh ñáy dài 28, 5cm Tính ñộ dài cạnh bên 0

và diện tích của tam giác

Bài tập 35: Cạnh bên của một tam giác cân dài 17, 2cm , góc ở ñáy của tam giác là 46 Tính cạnh 0ñáy của tam giác và diện tích tam giác ABC

Bài tập 36: Cho hình thang ABCD, ñáy lớn AB= 20cm, cạnh bên AD= 8cm và tạo với ñáy lớn

AB một góc 65 0

a Tính ñộ dài ñường cao AH, ñáy nhỏ CD

b Tính góc ABD và ñường chéo BD

Bài tập 37: Cho hình thang ABCD có A= D= 900, AD= 30cm, CD= 18cm và BC= 20cm

a Tính các góc •ABC BCD ,•

b Tính các góc •DAC ADB và ñộ dài các ñường chéo AC, BD ,•

Bài tập 38: Cho tam giác ABC Biết AB=10,AC= 24,BC= 26

a Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A

b Tính sin ,sinB C

c Tính chiều cao AH và các ñoạn thẳng mà chiều cao nó chia ra tên BC

Bài tập 39: Một con ñường lên dốc tạo với mặt phẳng nằm ngang một góc a Hỏi ñộ cao h so với

mắt ñất là bao nhiêu nếu quãng ñường ñi trên ñường lên dốc là l trong các trường hợp sau:

Bài tập 41: Trên một quả ñồi có một tháp cao 100m Từ ñỉnh B và chân C của tháp nhìn ñiểm A ở

chân ñồi dưới các góc tương ứng bằng 0

60 và 30 0Hãy tính chiều cao của quả ñồi

Bài tập nâng cao

Bài tập 42: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB= c AC, = b CB, = a

Chứng minh rằng:

sin sin sin

Bài tập 43: Không dùng bản tính hay máy tính tỏ túi tính các biểu thức sau :

a sin 122 0+ sin 222 0+ sin 322 0+ sin 582 0+ sin 682 0+ sin 782 0

b cos 152 0+ cos 252 0+ cos 352 0+ cos 552 0+ cos 652 0+ cos 752 0− 3

Bài tập 44: Không dùng bản tính hay máy tính tỏ túi tính các biểu thức sau :

a 4 cos2a − 6 sin2a , biết sin 1

5

a =

b sin cosa a , biết tga + cotga = 3

Bài tập 45: Chứng minh rằng với mọi góc nhọn a , thì mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào a

a Tính sin , sin 2a a theo a,b,h Chứng minh rằng sin 2a = 2 sina cosa

Bài tập 48: Cho tam giác ABC cân ở A, ñường cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở ñáy bằng a Chứng minh rằng

2

4 sin os

ABC

h S

- Một ñiểm O cho trước và một số thực dương

R cho trước xác ñịnh một ñường tròn tâm O bán kính R

- Ba ñiểm không thẳng hàng xác ñịnh một ñường tròn qua ba ñiểm ñó

Bài tập mẫu

Cho tam giác ABC cân ở A, hai ñường cao BD và CE

a Chứng minh rằng bốn ñiểm B,C,D,E cùng nằm trên một ñường tròn

b Tính bán kính của ñường tròn trên biết rằng BD= 6cm CD, = 4cm

OE= BC

Từ (1) và (2) suy ra

12

OB= OC= OD= BC Vậy theo ñịnh nghĩa ñường tròn, bốm ñiểm B, C,

D, E cùng thuộc một ñường tròn tâm O va bán kính

là 2

Bài tập 2: Cho ñường tròn tâm O bán kính bằng 3 có tâm ở gốc tọa ñộ Hãy xác ñịnh vị trí của

mỗi ñiểm A,B,C ñối với ñường tròn, biết tọa ñộ các ñiểm là A(1; 2 ;− ) B(−2 2;1 ;) C( )1;3

Bài tập 3: Cho tam giác vuông ABC vuông ở A có AB= 5cm AC; = 12cm Tính bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài tập 4: Cho góc •xOy= 300, hai ñiểm A và B trên Ox sao cho OA= 2cm OB, = 4cm

a Hãy dựng ñường tròn tâm I ñi qua A và B sao cho I thuộc Oy

b Tính bán kính của ñường tròn tâm I

Bài tập 5: Hãy nối mỗi ý (1),(2)&(3) với mỗi ý (4),(5)&(6) ở cột tương ứng ñể ñược ý ñúng

(1) Đường tròn tâm O bán kính 4cm gồm toàn

những ñiểm

(4) Là ñường tròn tâm O bán kính 4cm (2) Tập hợp những ñiểm có khoảng cách ñến O

Bài tập 7: Cho ñường tròn tâm O bán kính R, dây cung AB= R Trên tia ñối của tia BA lấy ñiểm

sao cho B= BA Tia CO cắt ñường tròn (O) ở D Biết rằng R = 3cm

a Tính góc •ACD

b Tính CD

Chủ ñề 2: Tính chất ñối xứng của ñường tròn

Phương pháp :

+ Tâm của ñường tròn là tâm ñối xứng của ñường tròn ñó

+ Bất kì ñường kính: Nào cũng là trục ñối xứng của ñường tròn ñó

+ Đường kính vuông góc với một dây cung thì ñi qua trung ñiểm của dây ñó

+ Đường kính ñi qua trung ñiểm của một dây (không phải ñường kính ) thì vuông góc với dây ñó tại trung ñiểm

+ Trong một ñường tròn:

- Hai dây bằng nhau thì cách ñều tâm

- Hai dây cách ñều tâm thì bằng nhau

- Dây lớn hơn thì gần tâm hơn

- Dây gần tâm thì lớn hơn

b Tam giác AOK vuông tại K, nên theo ñinhk lí Pitago, ta có :

AB= cm AC= cm Tính khoảng cách từ O ñến mỗi dây

Bài tập 9: Cho ñường tròn tâm O ñường kính AB, hai dây cung AC và BD song song với nhau

Chứng minh rằng

a AC= BD

b Ba ñiểm C,O,D thẳng hàng

Bài tập 10: Cho ñường tròn tâm O bán kính R, hai dây cung AB và CD, các tia BA và DC cắt

nhau tại M nằm ngoài ñường tròn

a Biết rằng AC= BD Chứng minh rằng MA= MC

b Trường hợp AB> CD hãy so sánh khoảng cách từ M ñến trung ñiểm của các dây AB,CD

Bài tập 11: Cho ñường tròn tâm O và ñiểm M nằm bên trong ñường tròn Qua M vẽ dây cung AB

vuông góc với OM và dây cung CD không vuông góc với OM, So sánh ñộ dài của hai dây cung

AB và CD

Bài tập 12: Cho ñường tròn tâm O bán kính R và ñiểm M nằm bên trong ñường tròn (ñiểm M

khác ñiểm O)

a Hãy nêu các dựng dây AB nhận M làm trung ñiểm

b Tính ñộ dài dây AB ở câu a, Biết rằng R= 2,5cm OM; = 1, 5cm

Bài tập 13: Cho ñường tròn tâm O m ñường kính AB, dây cung CD cắt AB tại M Biết rằng

4 , 12

MC= cm MB= cm và •BMD= 300

a Tính khoảng cách từ O ñến dây CD

b Tính bán kính ñường tròn tâm (O)

Bài tập 14: Cho ñường tròn tâm O, ñường kính AB Dây cung CD vuông góc với OA tại M là

trung ñiểm của OA

a Tứ giác ACOD là hình gì? Vì sao

b Tam giác BCD là tam giác gì? Vì sao?

Chủ ñề 3: Vị trí tương ñối của ñường thẳng và ñường tròn

1 Đường thẳng và ñường tròn cắt nhau 2 d< R

2 Đường thẳng và ñường tròn tiếp xúc nhau 1 d = R

3 Đường thẳng và ñường tròn không giao nhau 0 d> R

Bài tập mẫu

Cho ñường thẳng xy và một ñiêm A cách xy một khoảng 6cm Vẽ ñường tròn tâm A bán kính 10cm

a Chứng minh rằng ñường thẳng xy có hai giao ñiểm với ñường tròn (A) ;

b Gọi hai giao ñiểm nói trên là B va C Tính ñộ dài BC

Giải

a Kẻ AH⊥ xy Theo quan hệ của ñường

vuông góc và ñường xiên, ta có AH< AC,

nghĩa là d< R , do ñó ñường thẳng xy có giao

ñiểm với ñường tròn là ( )A

b Tam giác AHC vuông tại H, theo ñịnh lí Pitago, ta có :

Bài tập 15 : Cho biết giá trị R( bán kính ñường tròn ) và d ( khoảng cách ) từ tâm ñến ñường

thẳng Hãy xác ñịnh vị trí tương ñối của ñường thẳng và ñường tròn trong mỗi trường hợp sau:

R d Vị trí tương ñối 7cm 6cm

8cm 8cm 4cm 5cm

Bài tập 16: Trên mặt phẳng tọa ñộ có ñường tròn tâm M bán kính 3cm Tọa ñộ ñiểm M là

(3,-2) Đường tròn tâm M có vị trí như thế nào ñối với các trục tọa ñộ

Bài tập 17 : Đường thẳng xy cắt ñường tròn (O,7) tại hai ñiểm Khoảng cách d từ tâm O ñến

ñường thẳng xy bằng một trong các giá trị sau :

a d = 7 b 0< <d 7 c 0≤ <d 7 d d> 7

Hãy chọn kết quả ñúng

Bài tập 18: Cho ñường thẳng a Tâm các ñường tròn có bk băng 1,5cm và tiếp xúc với ñường

thẳng a nằm trên ñường tròn nào?

Bài tập 19: Cho ñường tròn (O;R) và ñiểm A nằm bên ngoài ñường tròn B là một ñiểm tùy ý trên

ñường tròn (O) Khi ñiểm B di chuyển trên ñường tròn O thì trung ñiểm ñiểm M của các ñoạn thẳng AB chạy trên ñường nào?

Bài tập 20: Cho hình vuông ABCD, trên ñường chéo BD lấy ñiểm I sao cho BI = BA Qua I kẻ

ñường thẳng vuông góc với BD cắt AB tại E

a So sánh ba ñoạn thẳng ID, IE, EA

b Xác ñịnh vị tương ñối của ñường tròn (E,EA) với ñường thẳng BD

Chủ ñề 4: Tiếp tuyến của ñường tròn

Phương pháp:

+Tiếp tuyến của ñường tròn là ñường thẳng chỉ có một ñiểm chung với ñường tròn ñó

+ Nếu một ñường thẳng là tiếp tuyến của một ñường tròn thì nó vuông góc với bán kính ñi qua tiếp ñiểm

+ Nếu một ñường thẳng ñi qua một ñiểm của ñường tròn và vuông góc với bán kính ñi qua ñiểm

ñó thì ñường thẳng ấy là một tiếp tuyến của ñường tròn

Bài tập mẫu

Cho ñường tròn tâm O bán kính 3cm và một ñiểm A có OA = 5cm

a Dùng compa hãy dựng các cciểm B và C thuộc ñường tròn Sao cho AB và AC là tiếp tuyến của ñường tròn

b Tính ñộ dài dài AB,AC

Giải Cách dựng

- Đầu tiên dựng I là trung ñiểm của ñoạn thẳng OA,

- Tiếp theo dựng ñường tròn (I IO; ), ñường tròn ( )I cắt ñường tròn ( )O tại B và C

- Kẻ dto AB,AC thì AB và AC chính là các tiếp tuyến của ñường tròn ( )O

+ Chứng minh : Tam giác AOB có trug tuyến BI bằng 1

2OA

nên ÂBO vuông tại B, suy ra AB⊥OBtại B,

do ñó AB là tiếp tuyến của ñường tròn ( )O

Tương tự, AC là tiếp tuyến của ñường tròn ( )O

b Tam giác AOB ⊥ tại B, theo ñịnh lí Pitago ta có

Bài tập 21: Cho ñường tròn tâm O bán kính 6cm và ñiểm A nằm trên ñường tròn Qua A kẻ tiếp

tuyến Ax, trên ñó lấy ñiểm B sao cho OB = 8cm

a Tính OB

b Qua A kẻ ñường vuông góc với OB và cắt ñường tròn tại C Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của ñường tròn tâm O

Bài tập 22: Cho ñường tròn tâm O và ñẻm B nằm trên ñường tròn Qua B kẻ tiếp tuyến với ñường

tròn, trên ñó lấy ñiểm A Trân OA lấy ñiểm C sao cho AC = BCC, tia BC cắt ñường tròn tâm O tại

E Chứng minh rằng OE vuông góc với OA

Bài tập 23: Cho ñường tròn tâm O bán kính 5cm, ñường kính AB, tiếp tuyến Bx Gọi C là một

ñiểm trên ñường tròn sao cho •BAC= 300, tia AC cắt tia BX tại E

a Chứng minh rằng BC2= AC CE

b Tính ñộ dài ñoạn thẳng BE

Bài tập 24: Cho góc nhọn xOy, ñiểm A thuộc tia Ox

Dựng ñường tròn tâm I tiếp xúc với Ox ở A và có tâm I nằm trên Oy

Bài tập 25: Cho ñường tròn tâm O bán kính R, ñường kính AB M là một ñiểm nằm giữa O và B

Đường thẳng kẻ qua trung ñiểm E của Am vuông góc với AB cắt ñường tròn tâm O tại C và D

a Tứ giác ACMD là hình gì? Tại sao?

b Kẻ tiếp tuyến với ñường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt OA tại I Chứng minh rằng ID là tiếp tuyến vủa ñường tròn tâm O

Chủ ñề 5: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Phương pháp :

+ Nếu hai tiếp tuyến của một ñường tròn cắt nhau tại một ñiẻm thì :

- Điểm ñó cách ñều hai tiếp ñiểm

- Tia kẻ từ ñiểm ñó ñi qua tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

- Tia kẻ từ tâm qua ñiểm ñó là tia phângiác của góc tạo bởi hai bán kính qua tiếp ñiểm

+ Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác ñược gọi là ñường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác ñược gọi là tam giác ngoại tiếp của ñường tròn

+ Đường tròn tiếp xúc với mội cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại ñược gọi là ñường tròn bàng tiếp của tam giác

Bài tập mẫu

Cho ñường tròn tâm O bán kính 5cm, một ñiểm M nằm ngoài ñường tròn Kẻ các tiếp tuyến MA

và MB với ñường tròn (Với A,B là tiếp ñiểm) Biết rằng • 0

60

AMB=

a Chứng minh rằng tam giác AMB là tam giác ñều

b Tính chu vi tam giác AMB

c Tia AO cắt ñường tròn ở C Tứ giác BMOC là hình gì? tại sao?

Giải

a Ta có : MA và Mb là hai tiếp tuyến của ñường tròn ( )O (theo giả thiết) nên MA= MB

Do ñó tam giác AMB cân tại M Mặt khác ta lại có •AMB= 600, do ñó tam giác AMB là tam giác ñều

b MO là tia phân giác của góc •AMB nên

302

AMO= BMO= =

Mà MA là tiếp tuyến của ñường tròn ( )O tại A

(theo giả thiết) nên •OAM= 900Tam giác MOA vuông tại A, có • 0

Vậy chi vi của tam giác AMB là MA+ MB+ AB= 2MA= 3.5 3= 15 3( )cm

c MO là tia phân giác của góc •AMB trong tam giác ñều ∆AMB, nên MO là ñường cao của tam

giác, do ñó MO⊥ AB

Tam giác ABC có trung tuyến 1

2

BO= AC nên tam giác ABC vuông tại B, do ñó BC⊥ AB

MO và BC cùg vuông góc với AB, do ñó BC //OM Vậy tư sgiác BMOC là hình thang

Bài tập luyện tập

Bài tập 26: Cho ñường tròn tâm O bán kính R, ñường kính AB, dây cung AC Các tiếp tuyến với

ñường tròn tại B và C cắt nhau tại D

a Chứng minh rằng DO song song với AC

b Biết •BAC= 300, R = 2cm Tính ñộ dài các ñọa BD, CD

Bài tập 27: Cho ñường tròn tâm O và ñiểm M nằm bên ngoài ñường tròn Kẻ hai tiếp tuyến MA,

MB sao cho •AMB= 900 Từ ñiểm C trên cung ngỏ AB kẻ tiếp tuyến với ñường tròn cắt MA, MB lần lượt tại P và Q Biết rằng bán kính ñường tròn bằng 5cm

a Tứ giác MAOB là hình gì? Tại sao?

b Tính chu vi của tam giác MPQ

c Tính góc •POQ

Bài tập 28: Cho nửa ñường tròn tâm O bán kính R, ñường kính AB, hai tiếp tuyến Ax, By trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB Trên Ax lấy ñiểm, qua O kẻ ñường thẳng vuông góc với

OC cắt By tại D

a Tứ giác ABDC là hình gì? Tại sao?

b Chứng minh rằng ñường tròn ngoại tiếp tam giác COD tiếp xúc với ñường thẳng AB tại

O

CA CB= R

Bài tập 29: Cho tam giác vuông ABC vuông ở A Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác và

tiếp xúc với các cạnh AB,AC lần lượt tại D và E

a Tứ giác ADOE là hình gì? Tại sao?

b Tính bán kính ñường tròn tâm O, br AB = 5cm, AC= 12cm

Bài tập 30: Cho tam giác ABC có AB= c AC; = b BC; = a Gọi r là bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác, S là diện tích của tam giác

Bài tập 31: Một tam giác cân có ñáy 16cm, cạnh bên 10cm Tính ñộ dài các bán kính

ñường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác và khoảng cách giữa hai tâm ñường tròn ñó

Bài tập 32: Cho tam giác vuông ABC vuông ở A Gọi r, R là lần lượt là bán kính ñường

tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác

Chứng minh rằng AB+ AC= 2(r+ R)

Bài tập 33: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 6cm Đường tròn tâm O1

bàng tiếp góc A, tiếp xúc với cạnh BC ở D, tiếp xúc với phần kéo dài của các cạnh AB,AC lần lượt tại E và F Gọi O là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác ABC

a Chứng minh rằng A,O,O1 thẳng hàng

b Tính ñộ dài các ñoạn thẳng AE,AF, BE, CF

Bài tập 34: Cho ñường tròn tâm O, ñường kính AB Gọi M là một ñiểm tùy ý trên ñường

tròn, xy là tiếp tuyến của ñường tròn tại A Qua M kẻ MP ⊥ AB và MQ ⊥ xy

a Tứ giác APMQ là hình gì? Tại sao?

b Gọi I là trung ñiểm của PQ Chứng minh rằng OI ⊥ AM

c Khi ñiểm M di chuyển trên ñường tròn tâm O thì ñiểm I chuyển ñộng trên ñường nào? Tại sao?

Bài tập 35: Cho góc nhọn xOy Dựng ñường tròn tâm I bán kính 1,5cm tiếp xúc với hai

+ Nếu hai ñường tròn cắt nhau thì ñường nối tâm vuông góc với dây chug và trung ñiểm cyủa dây chung

+ Nếu hai ñường tròn tiếp xúc nhau thìe tiếp ñiểm A nằm trên ñường nối tâm OO’

+ Hai ñường tròn tâm O bán kính R và ñường tròn tâm O’ bán kính r’ có R≥ r Khi ñó mỗi vị trí tương ñối giữa hai ñường tròn ứng với hệ thức giữa R, r và OO’ ñược cho theo bảng sau :

Vị trí tương ñối của hai ñường

tròn (O,R) và (O’,r)

Số ñiểm chung Hệ thức liên hệ giữa OO’ với R và r

Hai ñường tròn cắt nhau 2 ñiểm chung R− <r OO' < R+r

Hai ñường tròn tiếp xúc nhau:

Trên hình 92 các ñường thẳng d1 và d2 là tiếp tuyến chung ngoài của hai ñường tròn tâm

O và ñường tròn tâm O’, các ñường thẳng m1 và m2 là các tiếp tuyến chung trong của hai ñường tròn (O) và ñường tròn (O’)

Bài tập mẫu :

Cho hai ñường tròn tâm (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuộc hai nửa mặt phẳng

bờ AB) Kẻ các ñường kính BOC và BO’D

a Chứng minh rằng ba ñiểm C,A,D thẳng hàng

b Biết rằng OO’ = 5cm, OB = 4cm, O’B = 3cm Tính diện tích tam giác BCD

Giải Tam giác ABC có ñường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC nên • 0

90

BAC=Tam giác ABD có AO’ là ñường trung tuyến nên ' 1

2

AO = BD, do ñó • 0

90

ABD=

Bài tập 1: Cho hai ñường tròn tâm O ñường kính AB Vẽ ñường tròn tâm O’ ñường kính

OA Dây cung AC của nửa ñường tròn tâm O cắt ñường tròn tâm O’ tại M Chứng minh rằng

a Đường tròn tâm O’ tiếp xúc với ñường tròn tâm O tại A

b O’M song song với OC

c OM song song với BC

Bài tập 37: Hai ñường tròn tâm O bán kính 6,5cm và ñường tròn tâm O’ bán kính 7,5cm

giao nhau tại A và B Tính ñộ dài ñoạn nối tâm OO’, Biết rằng AB = 12cm

Bài tập 38 :Cho hai ñường tròn (O), (O’) tiếp xúc trong tại A (ñường tròn (O’) nằm trong

ñường tròn (O)) Qua A kẻ một ñường thẳng cắt (O) tại B, cắt (O’) tại C So sánh S O AB1 và

2

O AC

S , Biết rằng bán kính các ñường tròn ñã cho là 7cm và 5cm

Bài tập 39: Cho hai ñường tròn (O), (O’) giao nhau tại M và N Gọi I là trung ñiểm của

OO’ Đường thẳng kẻ qua M vuông góc với MI cắt ñường tròn (O) và (O’) lần lượt tại A

và B Hai ñường thẳng vuông góc với AB tại A và B cắt ñường tròn (O) tại P và cắt ñường tròn (O’) tại Q

a Chứng minh rằng M là trung ñiểm của PQ

b MI cắt PQ tại E, Chứng minh rằng EP = EQ

Bài tập 40: Cho hai ñường tròn ñồng tâm (O) và ñường tròn (O’) tiếp xúc với cả hai

ñường tròn trên tại hai ñiểm A và B

a Chứng minh rằng bốn ñiểm A,B,O,O’ thẳng hàng

b Tính bán kính của ñường tròn tâm O’, Biết rằng bán kính các ñường tròn ñồng tâm bằng 5cm và 9cm

Bài tập 41: Cho hai ñường tròn ( )O1 , ( )O2 tiếp xúc ngoài tại M Qua M kẻ hai ñường thẳng, ñường thẳng thứ nhất cắt ( )O1 tại A1, cắt ( )O2 tại B1, ñường thẳng thứ hai cắt ( )O1 ở

2

A , cắt ( )O2 tại B2 Chứng minh rằng

a ∆O A M1 1 ∆O B M2 1

b ∆MA A1 2 ∆MB B1 2

c A A1 2 song song với B B1 2

Bài tập 42: Trên hình 95: AB là tiếp tuyến chúng ngoài của hai ñường tròn ( )O1 và ( )O2 Chứng minh rằng AC = BD

Bài tập 43: Hai ñường tròn ( )O1 và ( )O2 tiếp xúc ngoài tại A Đường nối tâm OO’ cắt ñường tròn ( )O1 ởi B, cắt ñường tròn ( )O2 tại C DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai ñường tròn (D ∈ ( )O1 , E ∈ ( )O2 ) Gọi M là giao ñiểm của hai ñường thẳng BD và CE Chứng minh rằng

Bài tập 44: Cho tam giác ABC vuông tại A

a Trình bày cách vẽ ñường tròn ( )O1 ñi qua A và tiếp xúc với BC tại B, ñường tròn ( )O2 ñi qua A và tiếp xúc với AB tại C

b Chứng minh rằng ñường tròn ( )O1 và ( )O2 tiếp xúc ngoài với nhau

c Gọi M là trung ñiểm cua BC Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến chung của hai ñường tròn ( )O1 , ( )O2 tại A

Bài tập ôn tập chương II

Bài tập 45: Cho ñường tròn tâm O, ñường kính AB và I là ñiểm nằm giữa A và O Qua I

kẻ dây cung CD Đường thẳng OE cắt BH tại F Chứng minh rằng

a F là trung ñiểm của HB và CH = KD

a xác ñịnh vi trí tương ñối của hai ñường tròn ( )O1 và ( )O2 , ( )O1 và ( )O3 , ( )O2 và ( )O3

b Gọi tiếp ñiểm của ñường tròn ( )O và 1 ( )O là B, của ñường tròn 3 ( )O và 2 ( )O là C Chứng 3

minh rằng BC O O// 1 2

c Tính ñộ dài ñoạn thẳng BC

Bài tập 48: Cho nửa ñường tròn tâm O, ñường kính AB, hai tiếp tuyến Ax, By trên cùng một nữa

mặt phẳng bờ AB chứa nửa ñường tròn tâm O Tiếp tuyến tại M của nửa ñường tròn cắt Ax tại C

và cắt By tại D

a Tam giác COD là tam giác gì? Tại sao

b Chứng minh rằng CD= AC+ BD

c AM và BM căt OC và OC theo thứ tự ở E và F Tứ giác DEFM là hình gì? Tại sao

d Gọi I là trung ñiểm của hai ñường cheo OM và EF của tứ giác OEMF Khi M thay ñổi trên nửa ñường tròn tâm O thì ñiểm I chuyển ñộng trên ñường nào? tại sao?

e Xác ñịnh vị trí của ñiểm M ñể tứ giác OEMF là hình vuông Tính diện tích của hình vuông này, Biết rằng AB = 6cm

Bài tập 49: Cho nửa ñường tròn tâm O, ñường kính AB và một ñiểm I nằm giữa A và B Gọi C là

một ñiểm trên nửa ñường tròn Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với IC cắt cát tuyến của nửa ñường tròn tại A và B lần lượt tại M và N

a Chứng minh rằng ∆CAI ∆CBN

b So sánh hai tam giác ABC và tam giác INC

c Chứng minh rằng •MIN= 900

Bài tập 50: Cho tam giác MAB, Vẽ ñường tròn tâm O, ñường kính AB cắt MA tại C cắt MB tại

D Kẻ AP⊥CD BQ, ⊥CD Gọi giao ñiểm của AD với BC là H Chứng minh rằng

a CP=DQ

b PD.DQ=PA.PB và QC.CP=PD.QD

c MH ⊥ AB

Bài tập 51: Cho ñoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax và By song song

với nhau Một ñường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại C, với Ax tại D, với By tại E

a Trình bày cách dựng ñường tròn tâm M

b Chứng minh rằng tổng AD + BE không phụ thuộc vào vị trí của Ax và By

c Chứng minh rằng ba ñiểm M,D,E thẳng hàng

d Xác ñịnh vị trí tương ñối của ñường thẳng DE với ñường tròn ngoại tiếp tam giác MAB

Bài tập 52: Cho ba ñiểm J,I,J’ cùng nằm trên một ñường thẳng theo thứ tự ñó Biết rằng IJ =

10cm, IJ’= 4cm Vẽ ñường tròn tâm (O’) ñường kính IJ’

a Chứng minh rằng ñường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở I

b Gọi A là một ñiểm trên ñường tròn (O), tia AI cắt ñường tròn (O’) ởa A’

Chứng minh rằng ∆AIJ ∆A IJ' '

c Qua I kẻ một cát tuyến cắt ñường tròn (O) tại B (B và A thuộc hai nửa mặt phẳng bờ IJ) cắt ñường tròn (O’) ở B’ Chứng minh rằng ∆IAB ∆ IA’B’

d Chứng minh rằng ∆ OAB ∆ OA’B’

e Tứ giác ABA’B’ là hình gì? Tại sao?

Bài tập nâng cao

Bài tập 53: Cho ñường tròn tâm O, ñường kính AD, dây cung AB Qua B kẻ ñường vuông góc

với AD và cắt ñường tròn tại C

Tính bán kính của ñường tròn tại C

Bài tập 54: Cho nửa ñường tròn tâm O, ñường kính AD Trên nửa ñường tròn lấy hai ñiểm B,C

Biết rằng AB= BC= 2 5( )cm và CD= 6( )cm Tính bán kính ñường tròn ñó

Bài tập 55: Cho hai ñường tròn ( )O và 1 ( )O tiếp xúc ngoài tại A Tiếp tuyến chung ngoài TT’ 2

với ñường tròn ( )O tại T và ñường tròn 1 ( )O tại T’, cắt ñường nối tâm 2 O O1 2 tại S Tiếp tuyến chung trong tại A của hai ñường tròn cắt TT’ tại M

a Tính ñộ dài AM theo các bán kính của hai ñường tròn ( )O và 1 ( )O 2

Bài tập 56: Cho hai ñường tròn tâm O và O’ tiếp xúc ngoài tại A Kẻ hai bán kính OM và O’M’

sao cho OM//O’M’

a Chứng minh rằng: khi hai bán kính OM và O’M’ thay ñổi nhưng OM//O’M thì ñường thẳng MM’ luôn luôn ñia qua một ñiểm cố ñịnh S

b Tính SO và SO’, biết bán kính ñường tròn (O) và ñường tròn (O’) lần lượt bằng 5cm và 3cm

c Tam giác AMM’ là tam giác gì? Tại sao?

Bài tập 57: Cho tam giác ABC AC( > AB), trung tuyến CD, Đường tròn nội tiếp tam giác ACD

và BCD tiếp xúc với CD lần lượt tại E và F

b Trên nửa mặt phẳng bờ A không chứa ñiểm C kẻ dây AD Treê nửa mặt phẳng còn lại kẻ dây

BE, cho biết •BAD= •ABE= 450 và DE⊥ AB tại P Tứ giác ACED là hình gì? Tại sao?

c Chứng minh rằng: PA2+ PB2+ PC2+ PD2= 4R2

Bài tập 59: Cho hai ñường tròn ( )O và 1 ( )O có bán kính lần lượt là 2 R1 và R2 với R1 > R2 Hai tiếp tuyến chung ngoài MN và PQ (M P, ∈( )O1 ,N P, ∈( )O2')

a Chứng minh rằng: ba ñường thẳng MN,PQ và O O1 2 ñồng quy

b Chứng minh rằng: Tứ giác MNPQ là hình thang cân

c Xác ñịnh vị trí tương ñối của ( )O1 và ( )O2 sao cho ñường tròn ñường kính O O tiếp xúc với 1 2

rằng khi ñiểm Q di chuyển trên ñường tròn ( )O thì giao ñiểm M các ñường thẳng kẻ từ 1 ( )O 1

vuông góc với QP và tiếp tuyến từ Q chạy trên một ñường thẳng cố ñịnh

Chuơng III: Góc với ñường tròn Chủ ñề 1: Góc ở tâm, số ño cung

Phương pháp:

+ Góc có ñỉnh trùng với tâm ñường tròn ñược gọi là góc ở tâm

+ Số ño của cung nhỏ bằng số ño của góc chắn cung ñó

+ Số ño của cung lớn bằng 360 trừ ñi số ño của cung nhỏ 0

+ Số ño của nửa ñường tròn bằng 180 0

+ Trong một ñường tròn hai trong hai ñường tròn bằng nhau:

- Hai cung ñược gọi là bằng nhau nếu chúng có số ño bằng nhau

- Trong hai cung, cung nào có số ño lớn hơn ñược gọi là cung lớn hơn

+ Nếu C là một ñiểm nằm trên cung AB thì

Sñ »AB = Sñ » AC +Sñ » CB

a Tính số ño góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA,OB;

b Tính số ño cung nhỏ AB và số ño cung lớn AB

Bài tập 1: Cho ñường tròn tâm O bán kính R Qua ñiểm A thuộc ñường tròn, kẻ hai tiếp tuyến Ax

trên ñó lấy ñiểm B sao cho OB= 2R, OB cắt ñường tròn ( )O tại

a Tính số ño các góc ở tâm bới hai bán kính OA, OC

b Tính số ño các cung AC của ñường tròn ( )O

Bài tập 2: Cho hai ñường thẳng xy và x’y’ cắt nhau tại O và •xOx'= 450

Vẽ hai ñường tròn ñồng tâm O, cắt hai ñường thẳng xy và x’y’ tại các ñiểm A,B,C,D và A’,B’,C’,D’ như nhình bên

a Có nhận xét gì về số ño của các cung nhỏ

»AB A B CD C D ,…' ',» ,…' '

b Trong các cung nhỏ … 'AA , … ' BB , … ' CC , … 'DD

Những cung nào không bằng nhau? Tại sao?

Bài tập 3: Cho hai ñường tròn ( )O và 1 ( )O có bán kính là cắt nhau tại A và B 2

a Tứ giác AO BO1 2 là hình gì? Tại sao?

b Biết rằng AB= R Tính số ño các cung nhỏ AB, cung loén AB thuộc hai ñường tròn ( )O và 1( )O Có nhận xét gì về các cung ñó? 2

Bài tập 4: Mỗi mệnh ñề sâu, mệnh ñề nào ñúng mệnh ñề nào sai? Tại sao?

a Hai cung có số ño bằng nhau thì bằng nhau

b Hai cung bằng nhau thì có số ño bằng nhau

c Trong hai cung, cung nào nhỏ hơn thì có số ño nhỏ hơn

d Trong hai cung trên một ñường tròn, cung nào lớn hơn thì có số ño lớn hơn

Bài tập 5: Cho tam giác cân ABC nội tiếp trong ñường tròn ( )O , cung nhỏ BC có số ño bằng

1000 Tia AO cắt cung nhỏ AC tại E

a Tính số ño các góc ở tâm BOE, COE ;

b Tính số ño các cung nhỏ »AB AC ,»

Bài tập 6: Cho tam giác OAO’ (OA> O A' ) Vẽ ñường tròn (O OA; )và ñường tròn (O O A'; ' )

chúng cắt nhau tại B Tia phân giác OAO’ cắt ñường tròn ( )O tại C, cắt ñường tròn ( )O tại D '

So sánh hai góc ở tâm AOC và AO’D

Bài tập 7: Cho tam giác AOB, có •AOB= 1100 Vẽ ñường tròn (O OA; ) Gọi C là một ñiểm trên ñường tròn ( )O , biết » AC= 400 Tính số ño cung nhỏ »BC và cung lớn » BC

Chủ ñề 2: Liên hệ giữa cung và dây cung

Phương pháp :

+ Với hai cung nhỏ trong một ñường tròn hay trong hai ñường tròn bằng nhau:

- Hai dây cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

+ Với hai cung nhỏ trong một ñường tròn hay trong hai ñường tròn bằng nhau :

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

+ Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từng ñôi một nhưng các góc xen giữa không bằng nhau thì cạnh thứ ba cũng kông bằng nhau và cạnh ñối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn + Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từng môt một nhứng các cạnh thứ ba không bằng nhau thì góc xen giữa hai cạnh ñó cũng không bằng nhau và góc ñối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

Bài tập mẫu :

Cho ñường tròn ( )O và dây cung AB không ñi qua O Trên dây AB lấy ba ñiểm C,D,E sao cho

AC= CD= DE= ED Các tia OC,OD,OE cắt ñường tròn lần lượt tại M,N,P Chứng minh rằng

a …AM= PB» và …MN= »NP

b …AM < MN…

Giải

a Tam giác AOB có OA= OB(bán kính ñường tròn ( )O ) nên AOB cân tại O và • OAB= OBA•

Xét hai tam giác ∆ AOC và ∆ BOE có

OA= OB

OAC= OBE(theo chứng minh trên)

AC= BE(Theo giả thiết)

Do ñó ∆AOC = ∆BOE (cạnh góc cạnh)

Từ ñây suy ra

•AOM= BOP• , vậy cung …AM = PB»

Góc OCD• là góc ở ngoài ñỉnh C của tam giác OCA nên •OCD= OAC• + •AOC

Tương tự •AEB= EOB• + BOE•

Mà •AOC= BOE• , OAC• = OBE• , do ñó

OCE= OEC

Xét hai tam giác OCD và tam giác OED có

OC=OE (2 cạnh tương ứng của∆AOC = ∆BOE )

OCD= OED(theo chứng minh trên)

CD= DE(theo giả thiết )

Do ñó ∆OCD = ∆OED (cạnh góc cạnh)

Suy ra COD• = •EOD hay MON• = •NOP Vậy cung …MN = »NP

b Trên tia CM lấy dñểm Q sao cho CQ= CO.Tứ giác AQDO là hình bình hành vì có hai ñường chéo cắt nhau tại trung ñiểm của mỗi ñường

Do ñó QD= OA nhưng OA> OD.Do ñó trong hai tam giác QOD, ta có

QOD> OQDmaà •OQD= •AOQ(hai góc so le trong) Vì vậy •AOM< MON•

Do ñó …AM < MN…

Bài tập luyện tập Bài tập 8: Cho tam giác MNP với các góc nhọn và MN< MP Trên cạnh MP lấy ñiểm D sao cho

MD= MN Vẽ ñường tròn ( )O ngoại tiếp tam giác tam giác NDP

a SO sánh các cung nhỏ »PD DN và »,… PN

b Từ O kẻ OI, OH,OK lần lượt vuông góc với PN ,PD ND So sánh các ñoạn thẳng OI,OH,OK

Bài tập 9: Cho hai ñường tròn ñồng tâm O và bán kính lần lượt là R và r với R> r Từ một ñiểm

P nằm ngoài ñường tròn tâm O bán kính R kẻ tia Px và Py không qua O, cắt hai ñường tròn theo

thứ tự tại A,B,E và C,D,F Biết rằng AB> CD

a Chứng minh rằng PA= BE

b So sánh các cung nhỏ PE» ,PE» của ñường tròn tâm O bán kính R

Bài tập 10: Chứng minh rằng ñường kính ñi qua ñiểm chính giữa của một cung thì ñi qua trung

ñiểm của dây cung ấy Mệnh ñề ñảo lại có ñung skhông? Hãy nêu ñiềm kiện ñể mệnh ñề ñảo ñúng