Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng ABCD tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a.. a Tớnh khoảng cỏch từ điểm M đến mặt phẳng SAC.. Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất 2
Trang 1Sở GD-ĐT phú thọ
Trờng T.H.p.t long châu sa éỀ THI thử ĐẠI HỌC lần ii
NĂM học: 2009-2010 Mụn thi : TOÁN làm bài:180 phútThời gian (không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu I: (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 cú đồ thị là (Cm); ( m là tham số)
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
2 Xỏc định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phõn biệt C(0;1), D, E
sao cho cỏc tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuụng gúc với nhau
Cõu II: (2 điểm)
1 Giải hệ phương trình: 2 0
2 Tìm x ∈ ( 0 ; π ) thoả mãn phơng trình: cotx – 1 = x x
x
x
2 sin 2
1 sin
tan 1
2 cos + 2 −
Cõu III: (2 điểm)
1 Trờn cạnh AD của hình vuụng ABCD cú độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x ≤ a) Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a
a) Tớnh khoảng cỏch từ điểm M đến mặt phẳng (SAC)
b) Kẻ MH vuông góc với AC tại H Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất
2 Tớnh tớch phõn: I = 4 2
0 (x sin 2 ) cos 2x xdx
π
+
Cõu IV: (1 điểm) : Cho các số thực dơng a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1
Chứng minh rằng :
2
a b b c c a
b c c a a b
A Theo chương trỡnh chuẩn
Cõu Va :1.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng 3
2 và trọng tâm thuộc đờng thẳng ∆: 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4)
và đờng thẳng ∆ : 1 2
x− = y+ = z
− Tìm toạ độ điểm M trên ∆ sao cho:MA2+MB2=28
Cõu VIa : Giải bất phơng trình:
3 2
4 )
3 2 ( )
3 2
−
≤
− + + x − x+ x − x−
B Theo chương trỡnh Nõng cao
Cõu Vb :1 Trong mpOxy, cho đường trũn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0 Tìm M thuộc trục tung sao cho
qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà gúc giữa hai tiếp tuyến đú bằng 600
2.Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d với
d : x 1 y 1 z
2 1 1
− Viết phương trình chớnh tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuụng gúc với đường thẳng d và tìm toạ độ của điểm M’ đối xứng với M qua d
Cõu VIb : Giải hệ phương trình
……… … ……… Hết………
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Hớng dẫn chấm môn toán
Trang 2C©u ý Néi Dung §iĨm
y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm)
1 m = 3 : y = x3 + 3x2 + 3x + 1 (C3)
+ TXĐ: D = R + Giới hạn: limx y , limx y
+ y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2≥ 0; ∀x
• Bảng biến thiên:
0,25
+ y” = 6x + 6 = 6(x + 1) y” = 0 ⇔ x = –1 ⇒ tâm đối xứng U(-1;0)
* Đồ thị (C3):
Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1)
0,25
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là:
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 ⇔ x(x2 + 3x + m) = 0 ⇔ + + =x 02=
0,25
* (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0;1), D, E phân biệt:
⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm xD, xE≠ 0
⇔∆ = −2+ × + ≠> ⇔ < ≠
m 0
9 4m 0
4 m
Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
kD=y’(xD)=3x2D +6xD + = −m (3xD +2m);
kE=y’(xE)= 3x2E +6xE + = −m (3xE +2m)
0,25
Trang 3Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: kDkE = –1
⇔ (3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1
⇔ 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1
⇔ 9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-ét)
⇔ 4m2 – 9m + 1 = 0 ⇔
8
8
m m
=
=
So s¸nhĐk (*): m = 1 9 65( − )
8
0,25
1 §k:
1 1 2
x y
≥
≥
(1)
2 0( )
+ =
0,5
⇔ x = 4y Thay vµo (2) cã
1 ( )
2
x
=
⇔ − = ⇔ = ⇒ =
0,25
V©y hƯ cã hai nghiƯm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2) 0,25
®K:
−
≠
≠
⇔
≠ +
≠
1 tan
0 2 sin 0
cos sin
0 2 sin
x
x x
x x
x x
x x x
x x
cos sin sin
sin cos
cos 2 cos sin
sin
− +
+
=
−
⇔
x x x x x x
x
x x
cos sin sin
cos sin cos
sin
sin
− +
−
=
−
⇔
0,25
Trang 5⇔ cos x − sin x = sin x ( 1 − sin 2 x )
⇔ (cos x − sin x )(sin x cos x − sin2x − 1 ) = 0
0,25
⇔ (cos x − sin x )(sin 2 x + cos 2 x − 3 ) = 0
(cos )( 2 sin(2 ) 3) 0
4
4
x sinx
⇔
0,25
⇔ cos x − sin x = 0 ⇔tanx = 1 ( )
⇔ π π (tm®k)
Do ( )
4 0
;
x
0,25
Do ( ) ( ) ( )
⊥
Lai cã
2
o
x
0,25
Ta cã
0
MHC
∆
∆
O,5
Tõ biÓu thøc trªn ta cã:
[ 2 ]2 3
2
SMCH
a
a
a
x a
⇔ =
⇔ M trïng víi D
0,25
1 2
(x sin 2 )x cos xdx2 xcos xdx2 sin 2xcos xdx I2 I
0,25
Trang 6IV 1 1
Ta có :VT =
b c c a a b+ + + b c c a a b+ + = +
2
3 2
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a A
⇒ ≥
0,25
1
2
a b b c c a
0,25
Từ đó tacó VT 3 1 2
≥ + = =
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3 0,25
Ta có: AB = 2 , trung điểm M ( 5; 5
2 −2 ),
pt (AB): x – y – 5 = 0
0,25
S ABC∆ = 1
2d(C, AB).AB =
3
2 ⇒ d(C, AB)= 3
2 Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1
2
0,25
2
t− t− − = 1
2 ⇒t = 1 hoặc t = 2
⇒G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)
0,25
Mà CMuuuur=3GMuuuur⇒C = (-2; -10) hoặc C = (1; -1)
0,25
1
2
= −
∆ = − + ⇒ − − +
=
0,5
Ta có: MA2+MB2 =28⇔12t2−48t+48 0= ⇔ =t 2 0,25
Từ đó suy ra : M (-1 ;0 ;4) 0,25
Trang 7Bpt ⇔ ( ) ( ) 2 + 3 x2−2x + 2 − 3 x2−2x ≤ 4 0,25
( ) 2 + 3 2 2 ( > 0 )
t x x BPTTT : + 1 ≤ 4
t
t
⇔ − + ≤ t2 4 1 0 t ⇔ 2 − 3 ≤ t ≤ 2 + 3 (tm)
0,25
Khi đó : 2 − 3 ≤ ( 2 + 3 )x2−2x ≤ 2 + 3 ⇔−1≤ x2 −2x≤1
0,25
⇔ x2 − 2 x − 1 ≤ 0 ⇔ 1 − 2 ≤ x ≤ 1 + 2
0,25
VIb
(C) cú tõm I(3;0) và bỏn kớnh R = 2; M ∈ Oy ⇒ M(0;m) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm) Vậy
ã
ã
0
0
60 (1)
120 (2)
AMB AMB
(1) ⇔ ãAMI = 300
0
sin 30
IA MI
(2) ⇔ ãAMI = 600
0
sin 60
IA MI
9 3
m + = Vụ nghiệm
Vậy cú hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0;- 7 )
0,5
0,5
Gọi H là hình chiếu vuụng gúc của M trờn d, ta cú MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuụng gúc với d
d cú phương trình tham số là:
x 1 2t
y 1 t
z t
= +
= − +
= −
Vì H ∈ d nờn tọa độ H (1 + 2t ; − 1 + t ; − t).Suy ra :MH uuuur
= (2t − 1 ; − 2 + t ; − t)
0,25
Vì MH ⊥ d và d cú một vectơ chỉ phương là u r
= (2 ; 1 ; −1), nờn : 2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = 2
3 Vì thế, MH uuuur
= 1; 4; 2
MH
uuuuur= MHuuuur= − −
0,25
Suy ra, phương trình chớnh tắc của đường thẳng MH là: x 2 y 1 z
Theo trên có ( ;7 1; 2)
H − − mà H là trung điểm của MM’ nên toạ độ M’
0,25
ĐK: x>0 , y>0 (1) ⇔ 2 log 3 log 3
Trang 8⇔ log3xy = 1 ⇔ xy = 3 ⇔ y= 3x
(2)⇔ log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy) ⇔ x2+ 2y2 = 9
0,25
Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: ( 3 ; 3 ) hoặc ( 6 ; 6
2 )
0,25
S
H