Tính tỉ số thể tích của 4 phần đó.. Chứng minh rằng: PHẦN RIÊNG: 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần A hoặc B A/ Theo chương trình chuẩn Câu VI.a.. Viết phương trình đường thẳn
Trang 1TR
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN ĐỀTHI THỬ ĐH LẦN I NĂM HỌC 2009-2010 TRƯỜNG THPT PHAN THÚC TRỰC Môn: Toán: Khối: A
- (Thời gian làm bài 180 phút)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 - 2(m+1)x2 + 2m+1 (1) ( m là tham số )
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2
2.Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị và diện tích tam giác tạo thành bởi 3 điểm đó
bằng 32 (đvdt)
Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình:
2
sin
x
π
2.Giải phương trình: 3 1 1
1
2+ +x 2− =x
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: 4
0
cos sin
3 sin 2
dx x
π
+ +
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1.Các mặt phẳng (ABC1) và (A1B1C)
chia khối lăng trụ thành 4 phần Tính tỉ số thể tích của 4 phần đó
CâuV ( 1,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng:
PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (A hoặc B)
A/ Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(2;1).Lập phương trình
đường thẳng đi qua M và cắt hai đường thẳng d1: x+y – 1=0, d2: 2x – y =0 lần lượt tại A,B sao cho MA=2MB
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: 7 3 9
d2: 3 1 1
.Tìm toạ độ hai điểm M,N lần lượt thuộc d1, d2 sao cho đoạn MN nhỏ nhất Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M,N
Câu VII.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình: 2 2 3
2
2A x C x C x
x
− ≤ + ( với k, k
n n
A C lần lượt là chỉnh hợp
và tổ hợp chập k của n phần tử )
B/ Theo chương trình nâng cao
CâuVI.b (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,cho điểm K(1;1) Lập phương trình đường
thẳng đi qua Kvà cắt hai đường thẳng d1: 3x - 4y – 6 = 0, d2 : 5x +12y +4 = 0 lần lượt tại A,B sao cho tam giác MAB cân tại M ( M là giao điểm của d1và d2 )
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho tam giác ABC biết: A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;1) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
xy x
− +
………… Hết …………
Họ và tên thí sinh ……… Số báo danh ………
Trang 2ĐÁP ÁN KIÊM BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2009-2010
( Đáp án này có 06 trang)
Câu 1
(2,0đ) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2.Khi m=2: y=x4-6x2+5
Tập xác định: D=R
Sự biến thiên: y’=4x3-12x; y’=0⇔ =x 0;x= ± 3
Hàm số đồng biến trên các khoảng (− 3;0 ;) ( 3;+∞),hàm số nghịch biến trên các
khoảng(−∞ −; 3 ; 0; 3) ( )
0,25
Hàm số đạt cực đại tạix o= ⇒ y cd = y(0) 5= ,
HS đạt cực tiểu tạix= ± 3⇒ y ct = ±y( 3)= −4
Giới hạn: xlim→±∞y= +∞
0,25
Bảng biến thiên:
x −∞ − 3 0 3 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+∞ 5 +∞
-4 -4
0,25
Đồ thị hàm số:
Giao với ox tại:
(±1;0 ,) (± 5;0)
4
2
-2
-4
y
x
- 5 -1 o 1 5
5
Giao với oy tại: (0;5)
Đồ thị nhận oy làm trục đối xứng
Đồ thị có hai điểm uốn: (-1;0), (1;0)
0,25
2 y’ = 4x3-4(m+1)x = 4x(x2-m-1) Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ y’=0 có
3 nghiệm phân biệt⇔phương trình x2-m-1=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔
m+1>0⇔m>-1 (1)
Khi đó y’ =0 có 3 nghiệm: x=0; x=± m+1
0,5
Đồ thị có một điểm cực đại: A(0;2m+1), có hai điểm cực tiểu:
( 1; 2) (, 1; 2)
B − m+ −m C m+ −m Ta có BC=2 m+1 Gọi H là giao điểm của BC
và oy, chiều cao của tam giác ABC là AH=(m+1)2 SABC=1/2BC.AH=
2
1.( 1)
0,25
Theo đề ra : SABC=32 nên 2
1.( 1)
m+ m+ =32⇔m=3 (2) Kết hợp (1) và (2) 0,25
Trang 3KL: m=3 là giá trị cần tìm
Câu 2
(2,0đ) 1 Giải phương trình:
2
sin
x
π
Tacó : cosx-sinx-cos3x+sin3x = (cosx-cos3x)+(sin3x-sinx)
= 2sinx(sin2x+cos2x), đk: 2sinx(sin2x+cos2x) ≠0 (2) 0,25
Với đk(2), pt(1) ⇔ sin 2 cos 2 cos
2sin (sin 2 cos 2 )
x
+
0,25 1
phương trình (1) là : ,
4
x= +π k k Zπ ∈
0,5
2− ≥ ⇔ ≤x x 2 , Đặt
3 3
2
( 0) 1
1
2 2
v
(1)
Khi đó phương trình trở thành 3 2
1 1
u v
+ =
+ =
0,25
Giải hệ (2) được 3 nghiệm: ( ; )u v ={(0;1),(1;0),( 2;3)− } 0,25
1 2 ( ; ) (0;1)u v = ⇒ = −x , ( ; ) (1;0) 1
2
2 ( ; ) ( 2;3)u v = − ⇒ =x − 0,25 Đối chiếu điều kiện (1) suy ra phương trình có 3 nghiệm: x=-1/2; x=1/2; x=-17/2 0,25
Câu 3
(1,0đ) Tính tích phân: I = 4
0
cos sin
3 sin 2
dx x
π
+ +
2 0
cos sin
4 (sin cos )
dx
π
+
∫
0,25
Đổi biến: t=sinx−cosx⇒ =dt (cosx+sin )x dx;
4
x= ⇒ = −t x= ⇒ =π t
Ta có
0
2
dt I
t
−
=
−
∫
0,25
6
Ta có :
0
2 6
2cos
4 4sin
udu I
u
π
−
=
−
∫
0.25
2 cos
udu
du u
π
Trang 4(1,0đ)
M
N A1
B1
C1
B
Gọi M,N là giao điểm của BC1 và B1C,AC1và A1C MN là giao tuyến của
(ABC1) và (A1B1C) Đặt V1=V CMNC1;V2 =V C MNB A1 1 1;V3 =V CMNBA;V4 =V MNABB A1 1
Gọi V là thể tích khối lăng trụ ta có: 1 1 1 1
3
CA B C C ABC
V
0,25
Tacó: V CA B C1 1 1 = +V V1 2;
1 1 1
CA B C
1 1 1
0,25
3 12 4
C ABC CA B C
12
V
1: 2: 3: 4 1: 3: 3: 5
Câu 5
(1,0đ) Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng:
a b c
0,25
Áp dụng BĐT Côsi : Ta có
0,25
0,25
a b c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
0,25
Trang 5KL: Với mọi a,b,c > 0 ta luôn có: 2
Câu6a
(2,0đ) 1 Gọi 1 2
N = ∩d d Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:
1
( ; )
3
x
x y
N
x y
y
TH1: Lấy điểm N’ sao cho:MNuuuur' = −2MNuuuur Ta tìm được toạ độ điểm ' 16 5
( ; )
3 3
N
Viết phương trình đường thẳng d’ qua N’ và song song với đường thẳng d2:
0,25
Đường thẳng d’cắt đường thẳng d1tại A, toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương
trình:
10
( ; )
3
x
x y
A
x y
y
=
+ − =
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và M Ta có ( ;4 10)
uuur
Đường thẳng đi qua điểm M và nhận ( ;4 10)
3 3
uuur
làm 1 VTCP nên có phương
−
0,25
TH2: Đường thẳng đi qua M căt d1và d2 lần lượt tại A,B :MA=2MB nên B là trung
điểm của MA A d∈ ⇒1 A x( ;10 −x0); B d∈ ⇒2 B x( ; 2 )1 x1 Theo tính chất trung điểm
ta có:
0
1
2
3
x
x
; Toạ độ các điểm A,B là ( 2 5; ), ( ; )2 4
0,25
( ; )
3 3
uuur
Đ ường thẳng đi qua điểm M nhận ( ;4 1)
3 3
uuur
làm một VTCP nên
có phương trình:
−
KL: Qua điểm M có hai đường thẳng thoả mãn YCBT là:
d0 : 5x+2y-12=0, d : x+4y-6=0
0,25
2.Dạng tham số của d1và d2 là: 1 2
Véc tơ chỉ phương của d1, d2 lần lượt là :uur1 =(1; 2; 1);− uuur2 = −( 7; 2;3); d1 đi qua
điểm A(7;3;9), d2 đi qua điểm B(3;1;1)
0,25
Trang 61 2
⇒d1và d2 chéo nhau
1 (7 ;3 2 ;9 ); 2 (3 7 ';1 2 ';1 3 ')
(4 7 '; 2 2 2 ';8 3 ')
uuuur
MN nhỏ nhất⇔MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1và
uuuur ur uuuur uur
0,25
Toạ độ điểm M và N lần lượt là: M(7;3;9), N(3;1;1) ;NMuuuur=(4; 2;8) 2(2;1; 4)= 0,25 Đường thẳng d đi qua N(3;1;1) và nhận ur=(2;1; 4)làm một véc tơ chỉ phương nên
phương trình của đường thẳng d là: 3 1 1
y
0,25
Câu7a
(1,0đ) Giải bất phương trình:
2
2A x− C x ≤ x C x+ (1) ĐK:x∈ Ν ≥;x 3 (2)
0,25
2(2 2)! 2!( 2)! 3!( 3)!
0,25
Từ (1) và (3) suy ra x=3;x=4 Vậy BPT (1) có2 nghiệm x=3;x=4 0,25
Câu6b
(2,0đ)
1 Đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại M Phương trình các đường phân giác của góc
2
0,25
Đường thẳng đi qua K cắt d1 và d2 tại A ,B sao cho tam giác MAB cân tại M, nên
các đường thẳng đó song song với các đường thẳng ∆1 và∆2( nếu một đường song
song với ∆1thì đường còn lại song song với ∆2)
0,25
Viết phương trình đường thẳng đi qua K và song song với ∆1:
Phương trình : 1(x-1)-8(y-1)=0 hay x-8y+7=0
0,25
Viết phương trình đường thẳng đi qua K và song song với ∆2:
Phương trình: 32(x-1)+4(y-1)=0 hay 8x+y-9 =0
Vậy qua K có hai đường thẳng: d1’ : x-8y+7=0; d2’ : 8x+y-9 =0 thoả mãn ycbt
0,25
2 uuurAB= −( 2;2;0); uuurAC= −( 2;0;1).Toạ độ trung điểm của AB là: M(1;1;0), toạ độ
trung điểm của AC là N(1;0;1/2) Mặt phẳng (ABC) đi qua A(2;0;0) , B(0;2;0),
2 2
0,25
Mặt phẳng trung trực của AB đi qua M và nhận uuurAB làm một VTPT nên có PT:
-2(x-1)+2(y-1)=0⇔x-y=0 (P)
Mặt phẳng trung trực của AC đi qua N và nhận uuurAC làm một VTPT nên có PT:
-2(x-1)+1(z-1/2)=0⇔2x-z-3/2=0 (Q)
0,25
Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là giao điểm của 3 mặt phẳng 0,25
Trang 7(ABC),(P) và (Q) Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
5 6
x
=
Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: R=IA=5 3
6 ( đơn vị dài) 0,25
Câu7b
(1,0đ) Giải hệ phương trình:
xy x
− +
2t '( ) 2 ln 2 3t 0,
biến trên R Do đó từ (2)⇒f(x)=f(y)⇔x=y
0,25
Thay x=y vào phương trình (1):x4−4x+2x2− +2x 4 = ⇔5 x4−4x= −5 2(x−1) 2+3 (3)
Đặt f x( )=x4−4x⇒ f x'( ) 4= x3−4; '( ) 0f x = ⇔ =x 1
0,25 Xét dấu f’(x) suy ra x4−4x≥ −3; mặt khác ( 1) 2 3 ( 1) 2 3
Phương trình (3) xãy ra ⇔x=1 KL: Hệ đã cho có nghiệm x=y=1 0,25
( Thí sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)